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笔者近期先后参加了几次小学数学教学研讨会，感到与先前的类似活动相比，研究的氛围有所增强，参与者所关注的主要问题也有所转移。以下就从这样的角度淡一点自己的想法，希望能对促进相关的工作发挥一定的作用。
对新增内容的两个质疑
就数学教学研究而言，教学方法无疑是人们最为关注的一个问题。当前我们可看到这方面明显的进步，特别是在一定程度实现了对形式主义倾向的超越。[1]例如，在现今的观摩课上，我们已看不到任课教师花费很大的力量去布置一个“小超市”，人们通常也不会真的在教室中组织学生进行跳绳等比赛以达到引进某个数学概念（如“平均数”）的目的。这已在很大程度上成为一线教师的共识：“情境设置”不应仅仅起到“敲门砖”的作用，也不应简单地将其等同于“生活情境”；进而，相对于“数学教育的生活化”的片面提倡而言，我们又应更加重视如何处理好“日常数学”与“学校数学”的辩证关系，包括由“日常数学”上升到“学校数学”以及由“学校数学”向现实生活的“复归”。
也正是从这样的角度去分析，以下现象值得鼓励，因为这体现了积极探究的精神，而不是盲目地去追随潮流，或是完全拘束于某种人为的规定。
在近期的一次观摩课上，任课教师不是通过“实物分配”来引入分数，而是以数的运算(1÷2)作为直接背景；另外，在“倍数与因数”的教学中，另一位老师不仅引入了“完美数”这个概念，更明确地提出了这样一个问题：“到目前为止完美数并没有找到任何实际的应用，人们又为什么要去从事这种研究？”
更为一般地说，这或许是当前小学数学教学研究的一个热点，即如何去进行诸多新增内容的教学。例如，在2005年10月于安徽黄山市举行的“全国第七届深化小学数学教学改革观摩交流会”上，此类内容就占据了全部观摩课的50%。[2]
具体地说，新增内容可分为两种不同的类型：
第一，诸如“左右”“上下”“前后”“时钟的认识”等教学内容，其共同特点是：可在很大程度上看成是一种生活知识，即学生可以通过日常生活自然而然地形成相关的知识，从而，相关教学活动的关键就在于：我们究竟应当如何去区分所说的生活知识与相应的数学知识？进而，数学课程的具体目标又是什么？特别是，我们是否应当（或应在多大程度上）实现对日常生活知识的超越？
也正是基于这样的考虑，笔者愿意特别推荐上海静安区教师进修学院曹培英老师的一篇文章《关于左右概念教学的研究》，因为，通过深入的理论学习与积极的教学实践，文中对应当如何去进行“左右”概念的教学提出了明确的意见，特别是，我们应充分考虑到学生认知发展的规律：“‘实验表明，儿童左右概念的发展，有规律地经过三个阶段：第一阶段——儿童比较固定化地辨识自己的左右方位（5～7岁）；第二阶段——儿童初步、具体地掌握左右方位的相对性.（7～9岁）；第三阶——儿童比较概括地、灵活地掌握左右概念’……（由于）小学一年级学生大多数正处于上述左右概念的第二阶段，我们不应该对他们要求过高。同时，实验结果还告诉我们，随着年龄的增长，儿童能自然而然地进入掌握左右概念的第三阶段。”[3]
第二，如“平移与旋转”“负数”“方程”等这样一些由中学下放到小学的内容。正因为这部分内容是由中学直接下放的，因此，除去仍然直接涉及“日常意义”与“数学意义”的关系以外（注：例如，从这一角度去分析，在负数的教学中，将“相反方向上的量”——这是负数的直观背景——说成“相反意义上的量”就是不够恰当的。详见[5]。），如何能够依据学生的接受能力对相关内容作出适当的安排就更为重要，特别是，什么是适当的“度”？什么又是适当的教学方法？例如，普遍的看法是：单纯凭借学生自身的努力要把握平移和旋转的性质是比较困难的，从而，我们就应认真地研究教师在此究竟应当如何去进行适当的“铺垫”或引导？
更为一般地说，我们应深入地思考这样一个问题：究竟为什么要将这些内容下放到小学数学课程之中？特别是，如果相关的内容在小学教材中只是昙花一现，却要迟至几年以后等学生升入了中学才会再次接触到，那么，我们就不仅应当关注“教什么(what)”，并且也应更为深入地去思考“为什么要教这一内容(why)”“在学生实际学习了这一内容以后究竟又有什么样的进步与变化 (how)”。
容易看出，也只有从后一角度去进行研究，教师与教材（乃至“课程标准”）之间的关系才能发生真正的变化：教师不再只是教教材，而是用教材去教，并能通过自己的积极实践与研究对教材编写工作作出实质性的贡献。
“探究”的过程性意义何在？
如果说在“情境设置”等问题上人们现已达成一定共识，特别是超越了课改初期的简单化和片面性做法而取得了明显的进步，那么，学生的自主探究仍然可看成是小学数学教学研究的一个持续热点，或者说，在此仍有很多基本的问题需要我们深入研究。例如，究竟什么是真正的探究活动？什么又是数学教学中提倡学生自主探究的主要意义？
为了清楚地说明问题，我们可以先举出这样一个实例：
这是四年级教材的一项内容：“三角形任意两边的和大于第三边”，教材中设计了这样一个具体情境以引出这一内容：小明上学时究竟是走中间的直路较近，还是分别绕道位于直路两侧的邮局和商店较近？然而，尽管从一开始被提问的学生就能立即对上述问题正确作答，大多数学生并能依据“两点间直线最短”对此作出必要的论证，任课教师却仍然坚持要求学生用实物（纸条或小棒）对上述结论进行检验，包括重新提出“三角形任意两边的和大于第三边”这一猜想。在课后的点评中，有的教师还提出：在此重要的并非上述的具体结论，而是要让学生体会发现的过程。
显然，此例就直接涉及“究竟什么是真正的探究”这样一个问题，而这又正是科学的探究活动的一个基本特征，即明确的目的性。从而，如果我们将过程与结果绝对地对立起来，并认为可以唯一地集中于所谓的“过程性目标”而完全不用顾及相关活动意义的话，那么，相关的活动就根本不能被看成真正的探究。（注：就以上的实例而言，我们还应进一步去思考：我们在此究竟是将学生教聪明了、还是教笨了？!）
另外，以上的例子还直接涉及这样一个问题：我们究竟应当如何去看待实物操作在数学认识活动中的作用，特别是，我们能否仅仅依据个别的实例直接去引出相关的普遍性结论？
也正是从后一角度去分析，笔者以为，南京市北京东路小学的张齐华老师在关于“加法交换律”的教学中（见《人民教育》2006年第11期）所采取的以下做法就是更为恰当的。
教师在此首先通过一个故事引出了“3+4=4 +3”这样一个等式，并提出了这样一个问题：“观察这一等式，你有什么发现？”一个学生（生1）回答道：“我发现，交换两个加数的位置和不变。”尽管这一结论正是老师所希望的，但他没有立即肯定，而是追问道：“其他同学呢？”而且，在没有获得直接回答的情况下，教师又写出了如下的结论以供学生进行对照比较：“交换3和4的位置和不变。”进而，作为必要的启发，教师又提出了这样一个问题：“比较我们俩给出的结论，你想说些什么？”这时一个学生回答道：“我觉得您（教师）给出的结论只代表了一个特例，但他（生1）给的结论能代表许多情况。”另一学生紧接着又补充道：“我也同意他的观点，但我觉得单就黑板上的这一个式子，就得出‘交换两个加数的位置和不变’好像不太好。万一其他两个数相加的时候，交换它们的位置和不等呢！……我还是觉得您（教师）的观点更准确、更科学一些。”显然，这事实上也就清楚地表明了对相关结论进行验证的必要性。
其后，教师又组织学生对“怎么验证”进行了讨论，并通过适当的归纳（“我觉得是不是可以这样，我们每人都来举三四个例子，全班合起来那就多了。同时，大家也留心一下，看能不能找到‘交换加数位置和发生变化’的情况”）引导学生进行了实际的举例和验证。然后，通过有意识地选取几位同学作全班汇报并加以适当的引导，教师使学生清楚地认识到了这样一点：“举例就应该这样，要考虑到方方面面。”（即所选取的数不应只是一位数，也应当包括一位数加两位数、两位数加两位数……乃至小数和分数的例子。）
最后，作为全课的结束，教师又引导学生对“通过今天的学习有哪些收获”进行了讨论。由于在这一课中“过程”与“结果”较好地得到了结合，因此，学生能谈出如下的感受和体会就不足为奇了：“我发现，有了猜想，还需要举很多例子来验证，这样得出的结论才准确。”“举例验证时，例子应尽可能多，而且，应尽可能举一些特殊的例子，这样，得出的结论才更可靠。”……
当然，学生的主动探究毕竟又不同于真正的科学研究，而这事实上也就是教师何以应当在此发挥重要的指导作用的一个主要原因；进而，与单纯地强调主动探究相比，我们又应更为深入地认识到这样一点：学生的自主探究主要应被看成一种“文化继承”的行为。[6]
学生提出问题的能力能否自然形成
任何人只需稍加留意就一定会发现，积极鼓励学生去提出问题自课程改革以来也得到了大力提倡和广泛采用。不仅很多教师往往就以“这堂课你们想学些什么”作为课堂教学的直接开端，而且在学生从事了一定的解题活动之后常常也会要求学生自己去编题；另外，各种教材对于“你还能提出什么（数学）问题”这一用语的使用频度无疑也会使人印象深刻。
当然，在此我们也可看到某些简单化的做法甚至是形式主义的倾向，如将教学思想的发展简单地归结为由“教师问、学生答”经由“学生问、教师答”最终演变成为“学生问、教师帮、学生答”；或是绝对地去肯定“学生所提出的任何问题都是有用的”，等等。与此相反，我们应当深入地去思考这样一些问题：我们在教学中究竟为什么要提倡“由学生自己去提出问题”？这样做究竟又产生了什么样的效果？
显然，这方面的一个基本立场是为了努力提高学生提出问题的能力，特别是，20世纪80年代在世界范围内盛行的“问题解决”这一数学教育改革运动曾给予我们一个重要启示或教训，即我们不仅应当注意提高学生解决问题的能力，也应同样重视学生提出问题的能力的培养。（注：详见郑毓信编著的《关于“问题解决”的再思考》，《数学教育的现代发展》，江苏教育出版社，1999年版；第175～185页。）另外，与美国学生相比，中国学生在提出问题的能力方面也表现出了一定的差距（注：这方面的一个实例可见郑毓信的《国际视角下的小学数学教育》，人民教育出版社，2004年版，第7.1节。）。
但是，现在的问题是：学生提出问题的能力是否可能自然而然地得以形成，还是有一个逐步养成的过程，更需要教师有意识地去加以引导和培养？
显然，就如解决问题的能力必然有一个后天的学习过程，并可被看成“数学思维”的具体体现一样，学生提出问题能力的提高在很大程度上也要依靠教师的培养与引导，并且同样应当被看成学会数学地思维的又一重要内涵。
例如，数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，总是希望能获得更为深入的理解，而这不仅直接导致了对于严格的逻辑证明的寻求，而且也促使数学家积极地进一步研究诸如此类的问题：在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论，这些事实能否被纳入某个统一的数学结构，等等；他们也总是希望能达到更大的简单性和精致性，如是否存在有更为简单的证明，能否对相应的表述方式（包括符号等）做出适当的改进，等等。
容易看出，以上的论述事实上也就从最为一般的角度指明了我们究竟应当如何去提出问题，特别是，我们不应满足于已经成功地解决了所面临的问题，还应当积极地去进行新的探索，包括提出各种新的有意义的研究问题。
例如，笔者以为，张齐华老师在上述课例中所采取的以下一些做法就是十分可取的。
师：从个别特例中形成猜想，并举例验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如（教师指读刚才的结论，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”那么，在——
生：（似有所悟）减法中……
……
师：通过联想，同学们由“加法”拓展到了减法、乘法和除法，这是一种很有价值的思考。除此以外，还能通过其他变换，形成不一样的新猜想吗？
生：我在想，如果把加法交换律中“两个加数”换成“三个加数”“四个加数”或更多个加数，不知道和还会不会不变？
……
类似的，笔者从实际倾听和阅读黄爱华老师的诸多课发现，黄老师教学的一个重要特点也就在于善于通过提出适当的问题以引出课程，特别是，尽管他经常采用由学生主动提出问题的做法，但这绝非放任自流，而是十分注意必要的引导与归纳。例如，在“百分数的意义”[7]的教学中，黄老师就突出了“百分数有什么好处”“百分数的意义”“在什么情况下用百分数”“百分数与分数比较有什么不同”等问题。
最后，笔者愿突出地强调这一点：如果教师本身不善于在教学中提出适当的问题，我们就不可能很好地帮助学生学会“数学地提出问题”，因为，提出问题能力的养成在很大程度上是一个潜移默化的过程，而教师在这一方面的表现则又无疑会对学生思维方式的养成产生十分重要的影响。进而，笔者以为，教师能否在教学中提出适当的问题，又不仅取决于对教材的很好把握，而且也与教师本身的数学素养有着很大的关系。也正是基于这样的认识，笔者以为，小学数学教师专业化发展的当务之急就是努力加强数学方法论的学习，因为，笼统地说，数学方法论即是关于数学思维方法的研究，其中不仅包括了所谓的“解题策略”，而且也包括了“提出问题的方法”。[8]
关于教师做研究的三条建议
作为全文的结束，笔者再从一般角度对教师如何加强教学研究提出三点具体的建议。
1.加强问题意识
正如前面提及的，问题应当被看成一切真正的研究工作的直接出发点，就如我们应当努力提高学生提出问题的能力一样，努力培养自身的问题意识也应被看成积极开展教师教学研究的一个关键因素。当然，开展教师教学研究并非指漫无边际地空想、乱想，恰恰相反，我们应当切实立足于实际的教学活动，这也就是说，教学中所遇到的问题应被看成教师教学研究最为重要的一个源泉。
由江苏省海安县实验小学仲海峰老师所撰写的《追问学校数学与生活数学的分野》就是这方面的一个很好例子。[9]具体地说，以下两个在教学中所发生的实际事例就构成了这一研究工作的直接出发点：第一，“老师，我发现有的三角形没有稳定性！”（因为这个学生手中的木架三角形有一条边是由两条小木棒钉成的。）第二，“这个车架虽然是四边形，但它是铁的，也有稳定性。”进而，这一文章事实上也很好地体现了“教师教学研究”的一个基本途径或普遍模式：“问题——分析、学习、思考——结论——新的实践”。
再者，尽管我们应当充分肯定积极探究同一内容（如“分数的初步认识”）的多种不同教学方法的意义，但是，就如对于解题方法多样化的提倡一样，我们在此显然也不应以设计出新的不同教学方法作为主要的研究目标，更不应停留于“多样化”而忽视了必要的“优化”，恰恰相反，新的教学方法的设计应以问题也即现存的各种教学方法的不足之处作为直接的出发点，进而，我们应更加重视各种教学方法（包括新设计的方法）的比较与“优化”，从而真正促进实际的教学活动。
2.努力做到“小中见大”
这正是国际数学教育界关于“教师研究”的一个共识：教学研究不仅应当切实立足实际的教学活动，而且也应采取更为广泛的视角，即应当从更为一般的角度去指明研究工作的普遍意义，从而真正做到“小中见大”。[10]
例如，前述仲海峰老师的文章以“三角形稳定性”的教学作为直接的论题，但是相关的分析并没有局限于这一主题，而是由此引出了“生活数学”与“学校数学”的关系这样一个普遍性的问题，作者力图从后一高度去引出一些普遍性的结论，如“‘生活数学’与‘学校数学’之间存在着本质的区别。……数学应该与生活经验建立起联系……生活化的最终目的还是要实现‘形式化’思维的提升。”
类似的，在前面所提及的《关于左右概念教学的研究》这一文章中，曹培英老师也没有局限于“左右概念”的教学这一直接的主题，而是提出了如下的一般性问题：“对于像‘左右的认识’此类学生经由日常生活即可自然获得的生活知识，是否真有必要列为数学课程的专门教学内容？或者说，这些内容是否仍可按照旧教材那样只是作为相关学习内容的附带成分得到恰当的处理？”从而也就较好地做到了“小中见大”。
值得指出的是，我国教师教学研究较为严重的一个弊病，就是普遍地充塞着一些“大而空”的文章。也就是说，这些工作并没有真正立足于实际的教学活动并以改进教学作为基本的目标，而只是希望依托某些“宏大理论”（如建构主义、后现代主义的教学理论等）就能“短平快”地生产出一定的研究成果。这些文章往往就以相关理论的简单表述作为开端，而真正的工作则只是提供了几个简单的例子——然而，仔细分析又可看出，不仅这些例子往往有牵强附会之嫌，人们甚至不得不因此而怀疑作者对于所说的理论是否真的有了很好的理解。
3.加强理论学习
加强学习显然应被看成不断提高研究水平的一个重要条件，特别是，就当前而言，这更有利于教师判断（和批判）能力的增强，从而切实防止对于时髦潮流的盲目追随。
例如，尽管以下一些学习心得来自一位小学语文教师，但其对于数学老师显然也有着直接的启示和借鉴意义[11]：
对照苏霍姆林斯基的以下论述：“不应当过分追求直观性。不要在儿童早已知道的东西周围‘摆满’各种直观手段——这会阻碍抽象思维的发展……”这位教师写道：“这让我想到了公开课上色彩缤纷的课件、形式多样的游戏活动。它们的出现，更多是作为刺激、调动学生的手段而使用的。平凡如我，不敢问‘从那样的课堂走出来的学生，如何可以做到沉思静读，如何可以在白纸黑字的中间感受到美和激动’——但大师的当头棒喝，我愿不惮其烦地录下：
“一切鲜明的、非同寻常的事物，作为激发学生兴趣的手段来看都是很诱人的，但是如果教师不善于运用，却会转化为它的对立面……
“经验证明：讲课当中过分地追求激动人心的、鲜明的、形象的东西，会使得少年过度兴奋（喧哗、手舞足蹈）……采取很原始的办法来激起学生的兴趣，在这件细致的事情上缺乏教育素养——这正是使人们感到少年是‘最难对付的人群’的严重原因之一。”
以下则是日本学者佐藤学在《静悄悄的革命》一书中的一段话：“教学是由学生、教师、教材、学习环境四个要素构成的，在这四个要素中，最近的倾向可以说是都集中在学生这一要素上。特别是重视学生的需要、愿望、态度的‘新学力观’提倡之后，学生自主地设定课题、主动探索、自己解决问题的‘自我学习’形式等，均被树立为理想的教学形态……这种将学生的个体性绝对化的倾向，在现在所有的教学中几乎都能看到。”这位教师由此引发了如下的思考：“在海的这边——由于过分强调学生自主，也将‘主体性’推至了颇具讽刺意味的神话境地。课堂上，教师噤若寒蝉，不敢说话，不敢‘告诉’——连‘我认为这是一篇好文章’都不能说……难怪有人说，为反对‘教师专制’而出现的新课标，由于是自上而下强行推动，而非来自每一间教室和每一个教师的‘静悄悄的革命’，已经衍生出一种新的专制：将学习当闹剧的低水平的师生对话、生生对话的专制。”
其次，笔者以为，加强学习也应被看成小学数学教学“专业化”的必需。数学教师不应被看成一种普通的职业(job)，而是像医生、律师等一样是一种“知识性的专门职业”(profession)，从而，必要的专业学习就是成为合格的小学数学教师的一个必要条件，特别是，如前所述，就当前而言，我们更应当努力加强数学思维的学习与教学。