建立不等式模型的三步曲，本文主要内容关键词为：不等式论文,三步曲论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《标准》在总体目标中指出：学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”。因而，在各地的中考试卷中，对建立数学模型解答实际问题的考查力度不断加大，实际问题情境的设计也是在不断地推陈出新，尤其是建立不等式模型类应用题就显得更为突出和难以解决。
本文拟谈如何运用数学的思维方式，将实际问题“数学化”的三个步骤：①挖掘条件的“半数学化”的实际意义；②发现背后所隐含的不等关系；③“符号化”翻译为不等式。即分析的程序可简叙为：
下面按问题中不等关系的隐含程度，将问题分为隐性不等关系型和显性不等关系型，并着重解析较难的隐性不等关系型问题。
一、隐性不等关系型
1.原材料型
例1 小亮妈妈下岗后开了一家糕点店。现有10.2千克面粉和10.2千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒。已知加工一盒一般糕点需0.3千克面粉和0.1千克鸡蛋；加工一盒精致糕点需0.1千克面粉和0.3千克鸡蛋。
(1)有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；
(2)若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为1.5元和2元，那么按哪一个方案加工，小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？
分析 剖析题中条件“现有10.2千克的面粉和…计划加工…50盒”，挖掘实际意义：10.2千克的面粉、鸡蛋未必恰好全部用完，可能会剩余；发现不等关系：所制作的50盒糕点中，鸡蛋质量总和不大于10.2千克，面粉质量总和不大于10.2千克；翻译建
。
因为x为整数，所以x=24，25，26。因此加工方案有三种：加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；加工一般糕点26盒、精制糕点24盒。
(2)由题意知：加工精制糕点数越多利润越大，故当加工一般糕点24盒、精制糕点26盒时。可获得最大利润，且最大利润为24×1.5+26×2=88（元）。
例2 某小型企业获得授权生产甲、乙两种奥运吉祥物，生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表：
该企业现有A种材料900
，B种材料850，用这两种材料生产甲、乙两种吉祥物共2000个。设生产甲种吉祥物x个，生产这两种吉祥物所获总利润为y元。
(1)求出y（元）与x（个）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)该企业如何安排甲、乙两种吉祥物的生产数量，才能获得最大利润？最大利润是多少？
分析 (1)剖析题中条件“现有A种材料900，…用这两种材料生产…共2000个”，挖掘实际意义：900的A种材料和850的B种材料未必恰好全部用完，可能会剩余；发现不等关系：所生产的2000个吉祥物中，A种材料总量不大于900，B种材料总量不大于850；翻译建立：
(2)求最大利润的方法：①利用第(1)问建立的函数关系式和自变量x的取值范围，运用函数的性质，确定最大利润；②从表中，不难发现加工乙种吉祥物数越多利润越大，结合x的取值范围，列出最大利润的算式。
解(1)根据题意得y=10x+20(2000-x)，
即y=-10x+40000。
解得1000≤x≤1500。
所以自变量的取值范围是1000≤x≤1500，且x是整数。
(2)由(1)y=-10x+40000中的h=-10＜0，
得y随x的增大而减小。
因为1000≤x≤1 500，且x是整数，
所以当x=1000时，y有最大值，且最大值为
-10×1000+40000=30000（元），
所以生产甲种吉祥物1000个，乙种吉祥物1000个，所获利润最大，最大利润为30000元。
2.生产流水线型
例3 某蔬菜基地加工厂有工人100人，现对100人进行工作分工，或采摘蔬菜，或对当日采摘的蔬菜进行精加工。每人每天只能做一项工作，若采摘蔬菜，每人每天平均采摘48千克；若对采摘后的蔬菜进行精加工，每人每天可精加工32千克（每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出）。已知每千克蔬菜直接出售可获得利润1元，精加工后出售，每千克可获得利润3元。设每天安排x名工人进行蔬菜精加工。
(1)求每天蔬菜精加工后再出售所获得利润y（元）与x（人）的函数关系式；
(2)如果每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出的利润为w元，求w与x的函数关系式，并说明如何安排精加工人数才能使一天所获得的利润最大？最大利润为多少？
分析 剖析题中条件“若对采摘后的蔬菜进行精加工”，挖掘实际意义：精加工的蔬菜来自于采摘后的蔬菜；发现不等关系：精加工的蔬菜总质量不大于其余工人采摘的蔬菜总质量；翻译建立：32x≤48(100-x)，解得x的取值范围，从而利用函数关系式及函数性质求出最大利润。
解(1)y=3×32x，即y=96x，
(2)w=96x+[48(100-x)-32x]×1，
即w=16x+4800。
由题意知：32x≤48(100-x)，解得x≤60。
因为w=16x+4800，k=16＞0，
所以w随x的增大而增大。
所以当x=60时，w有最大值，
=16×60+4800=5760（元），
所以安排60人进行精加工，40人采摘蔬菜，一天所获利润最大，最大利润为5 760元。
3.销售量控制型
例4 某报亭从报社买进某种日报的价格是每份0.30元，卖出的价格是每份0.50元，卖不出的报纸可以按每份0.10元的价格退还给报社。经验表明，在一个月（30天）里，有20天只能卖出150份报纸，其余10天每天可以卖出200份。设每天从报社买进报纸的份数必须相同，那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？
分析 剖析题中条件“有20天只能…其余…卖出200份，每天…份数…相同”，挖掘实际意义：报亭每天买进报纸的份数应不会少于150，且又不会多于200；发现不等关系：报亭每天买进报纸份数应不小于150，且不大于200；翻译建立：150≤x≤200（设报亭每天买进x份报纸）。
解：设报亭每天买进x份报纸，每月所获利润为了元，则150≤x≤200。
由题意得y=(0.50-0.30)(x×10+150×20)-(0.30-0.10)×(x-150)×20，即y=-2x+1200。
因为k=-2＜x，所以y随x的增大而减小，又因为150≤x≤200，所以当x=150时，
=-2×150+1200=900（元）。
评注 像以上所举的现实生活、生产的例子中，由于受原材料数量的制约、生产流水线的前后制约、销售量范围等因素的影响，决定了问题中所讨论的数量必须满足一些不等关系，需从题中发现隐含的不等关系，并由此建立相应的不等式模型。只有通过建立不等式（组），并解得变量x的取值范围，才能由变量x的取值范围结合函数的性质确定函数的最值，从而解决像求最大利润类型的实际问题。
二、显性不等关系型
1.不等术语型
例5 小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a＞8），就站在A窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
(1)此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）?
(2)此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）。
分析 由第(2)问中条件“到达B……比……到达A……时间少”，发现不等关系：到达B窗口所花的时间小于到达A窗口所花的时间；
评注 抓住题中不等术语，像本题条件“到达……时间少”中的“少”，即“小于”，进而建立不等式（组）模型解决问题。这类问题相对于前面类型的问题而言，不等关系较为明显，比较容易判断要建立不等式模型。不等术语较为常见的还有：多（＞）、不足（＜）、超过（＞）、不超过（≤）、不低于（≥）、不少于（≥）等。
2.物品分配型
例6 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果。求这一箱苹果的个数与小朋友的人数。
解析 剖析题中条件“有一个小朋友分不到8个苹果”，发现不等关系：“有一个小朋友的苹果数大于0且小于8”；翻译建立：
因为x为正整数，所以x=5或6，所以当x=5时，5x+12=37（人）；当x=6时，5x+12=42（人）。
3.合算优惠型
例7 甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同。甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收。顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？
解析 设顾客所购买电器的金额为x元，由题意得：当0＜x≤500时，可任意选择甲、乙两商场；
当500＜x≤1000时，可选择乙商场；
综上所述，顾客对于商场的选择可参考如下：
(1)当0＜x≤500或x=1500时，可任意选择甲、乙两商场；(2)当500＜x＜1500时，可选择乙商场；(3)当x＞1500时，可选择甲商场。
总之，在分析、解决实际问题时，首先要有从数学的角度思考问题、发现数学关系的意识和能力，其次凡是要刻画变化过程中同类量之间的大小的，就要用不等式模型。
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