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中图分类号：B813文献标志码：A文章编号：2095-0047(2012)05-0049-11
一、开篇
弗雷格的逻辑主义试图把数学还原为逻辑，然而，罗素悖论的出现打破了逻辑主义的美梦。悖论的主要原因在于：弗雷格的公理V与二阶逻辑的概括公理是不一致的。具体来说，一方面，概括公理是
其中X≈Y表示X和Y等数(equinumerous)。休谟原则不仅与二阶逻辑是一致的①，而且可以推出皮亚诺算术公理。②但是，休谟原则受到很多批评，主要来自两个方面：恺撒问题(Caesar Problem)和良莠不齐反驳(Bad Company Objection)。既然罗素悖论主要来源于公理V和概括公理，因此，一般来说，拯救弗雷格矛盾的措施可以分为两类。第一，限制公理V。例如，布勒斯(Boolos)③根据“限制大小”的思想，把公理V限制为新公理V，由此得到的理论可以解释普通集合论(General Set Theory)，所以可以解释皮亚诺算术公理。第二，限制概括公理。例如，赫克(Heck)④和博格斯(Burgess)⑤分别证明直谓概括公理(断定概念存在的公式不包含二阶量词)和公理V是一致的，由此得到的理论可以解释Robinson算术。
本文尝试从新的角度拯救弗雷格的矛盾，即从模态逻辑的角度，不仅限制公理V，而且限制概括公理。本文的第二节在哲学上重新分析了罗素悖论的原因，将其归结为弗雷格的两个哲学信条：“数的给出包含着概念的断定”和“数是独立自主的对象”。这两个信条分别表现为“上升的道路”和“下降的道路”。第三节对涵义和指称的区分提出了新的解释，即这个区分不仅是为了解决空名问题，而且是为了解决0这个数所带来的问题，由此尝试从涵义角度解决罗素悖论。第四节给出了模态的形式系统IG(Intensional Grundgesetze)，它是由内涵公理V和内涵概括公理构成的。第五节证明了IG的一致性，并且证明IG可以解释Robinson算术。第六节是全文的总结，并且提出尚未解决的问题。
二、悖论：上升的道路和下降的道路
在弗雷格那里，不仅对象可以落在概念中，而且概念也可以落在更高的概念中，也就是说，一层概念可以落在二层概念中；因此，不仅可以区分概念和对象，而且可以区分不同层次的概念。相应地，还可以区分不同层次的陈述：一层陈述是指“对象落在一层概念中”；二层陈述是指“一层概念落在二层概念中”。
然而，这种理解与弗雷格的哲学观念相冲突，数不是概念而是独立自主的对象(die Zahlen sind selbst
ndige Gegenstnde)，所以弗雷格要想在他的逻辑系统中表达包含数的陈述，就必须找到一种方法，可以把高层的概念化归为低层的对象，这种方法就是引入数算子和外延算子。在《算术基础》中，弗雷格引入了数算子#，它是通过休谟原则给出的，但是休谟原则无法解决凯撒问题。在《算术基本规律》中，弗雷格又引入了外延算子ε，它是通过公理V给出的。但是，也正是公理V导致了众所周知的罗素悖论。
在文本研究的基础上，赫克⑥认为，弗雷格并没有因为外延算子的引入而放弃数算子，相反，弗雷格通过外延算子定义数算子，并且通过公理V推出休谟原则，然后从休谟原则推出算术公理。新弗雷格主义认为，既然二阶逻辑和休谟原则是一致的，也就可以放弃与二阶逻辑矛盾的公理V而诉诸休谟原则，从而在某种程度上拯救弗雷格的逻辑主义。但是，鲁芬诺(Ruffino)⑦指出，弗雷格认为外延属于逻辑的范围，无需对它进行深入的解释，而数不属于逻辑的范围，恰恰需要在弗雷格的“逻辑系统”中对它进行深入的解释。我认为，从休谟原则推出算术公理的新弗雷格主义背离了弗雷格逻辑主义的精神实质，因为从外延到数的过程才是把算术还原为逻辑的真正过程。
在外延算子的帮助下，可以把高层概念转化为低层对象；相应地，也可以把高层陈述转化为低层陈述。为了讨论的方便，首先作出如下约定：[]表示概念，而｛｝表示外延或者集合。在外延算子的作用下，ε[a，b]= ｛a，b｝，它表示外延算子作用于一个概念而得到一个集合，这个集合本身是对象而非概念。令
正是由于外延算子的化归作用，弗雷格所需要的逻辑仅限于二阶逻辑，而不需要三阶逻辑或者更高阶的逻辑。如果放弃这种化归，就会导致无穷倒退：为了表示越来越高层次的陈述，需要越来越高层次的概念。例如，我们不仅需要数对象(count objects)，而且需要数数(count the numbers)，甚至还要数数的数(count the numbers of numbers)，这些计数活动只能表达在更高阶的逻辑中，这类似于罗素的类型论，而非弗雷格的“逻辑系统”。
综上所述，罗素悖论的原因在于：一方面，弗雷格在他的“逻辑系统”中严格区分了概念和对象这两个不同的类型；但另一方面，他又试图通过“外延”在这两个不同类型之间建立一个桥梁，也就是说，弗雷格试图通过外延算子在概念和对象之间建立一一对应。从实质上看，悖论的产生与弗雷格的上升之路和下降之路密切相关：一方面，弗雷格建立逻辑的目的是为了说明数学的先天性和分析性，而数的给出包含着概念的断定，对于数的说明必须诉诸概念，因此弗雷格的逻辑需要从低层的对象上升到高层的概念；另一方面，弗雷格的数学哲学中潜藏着柏拉图主义的传统，即认为数本身不是概念而是独立自主的对象，数本身不能通过概念而得到完全的说明，因为概念的概念会陷入无穷倒退，因此弗雷格的逻辑又需要从高层的概念下降到低层的对象。正是在这一上一下之间，悖论产生了。
三、零的指称和涵义
长久以来，人们一直认为指称和涵义的区分是弗雷格对语言哲学所作出的最重要的贡献之一，因此，对这一区分的理解经常局限在语言哲学的范围内。例如，里基茨(Ricketts)指出，解决空名问题是弗雷格区分涵义和指称的重要动因之一：
一旦承认了无意义的专名的存在，说一个表达式是一个专名和说这个表达式意指(mean)一个对象，二者就成了两回事。而且后者并不是有意义的专名和无意义的专名所共同具有的特征。因此，弗雷格把涵义(sense)归给专名。一个专名所表达的涵义就是这个专名所意指的对象对于理解这个专名的人的呈现方式。这样，成为一个专名就是表达呈现对象(object-presenting)的涵义。可理解但无意义的专名的存在，表明并非每一个呈现对象的涵义都对应于一个对象。⑧
与里基茨不同，我建议从数学哲学角度理解涵义和指称的区分，具体来说，弗雷格区分涵义和指称的最重要的动因在于说明什么是“0”。
0是非常特殊的，它不仅是第一个自然数，而且是从无中生有地构造自然数的真正“上帝”。在个体域为空的情况下，虽然不存在对象，但存在一个空概念，如果把数算子作用于这个空概念，则可以得到一个对象，这个对象是0。因此，为了保证休谟原则成立，个体域中必须存在0这个对象，这就意味着从空的个体域中生成一个对象；既然存在一个对象，也就存在仅有一个对象落在其中的概念，如果把数算子作用于这个概念，则可以得到另一个对象，这个对象是1，这就意味着从一个对象生成另一个对象，如此重复下去，就可以得到可数无穷个对象。但是，休谟原则所带来的生成不同于公理V所带来的生成，前者是良性的，而后者是恶性的。
空谓词不同于空专名：谓词的指称是概念，空谓词的指称是空概念，而空概念是没有任何对象落在其中的概念；专名的指称是对象，但是空专名没有指称，它不指称任何对象。我们可以说一个概念是空的，但不能说一个对象是空的，这类似于不能说“金山不存在”。虽然通过外延算子可以把概念化归为对象，但是在个体域为空的情况下，找不到与空概念对应的对象。为了建立对象和概念之间的一一对应，可以把空专名对应于空谓词，也就是说，空概念所确定的对象0是空专名的指称，这相当于说0不存在。然而，在区分了专名的指称和涵义之后，弗雷格让我们看到，虽然空专名是没有指称的，但是空专名是有涵义的；虽然不能让无指称的空专名与空概念对应，但是有可能让有涵义的空专名与空概念对应，也就是说，与谓词建立一一对应的不是专名的指称，而是专名的涵义。这似乎意味着，即使在个体域为空的情况下，也可以建立谓词和专名之间的一一对应。然而，什么是弗雷格的涵义？
此处，语句的涵义是清楚的，但不清楚究竟什么是专名和谓词的涵义。弗雷格在《逻辑导论》中指出：
一个出现专名的真正的句子表达一个单称的思想。我们在这个思想中区别出一个完整的部分和不完整的部分。前者相应于专名，但不是专名的指称，而是专名的涵义。我们将思想的不完整部分也理解为一种涵义，即这个句子除专名外的其他部分。按照这一规定，我们将思想本身也理解为涵义，即句子的涵义。正像思想是整个句子的涵义一样，思想的一部分是一个句子部分的涵义。因此，思想似乎与专名的涵义同属一类，但与专名的指称完全不同。⑩
基于以上引文，有人可能认为专名和谓词的涵义都是思想的一部分：
我不同意这种观点。弗雷格对于逻辑的最大贡献之一就在于把传统的主词—谓词分析改变为函数—主目分析，这使得弗雷格能够进一步深入到语句的内部结构。弗雷格认为，语句的涵义是思想，而且思想是有结构的，在《思想的结构》中他详细分析了思想的六种结构：
然而，这六种思想结构是基于对命题联结词的分析，而非基于函数—主目分析。因此，要想弄清楚什么是专名和谓词的涵义，就必须对思想结构进行函数—主目分析。但是，通过整体—部分之间的关系解释函数—主目之间的关系，这种做法是不恰当的，因为整体—部分之间的关系并没有解释清楚：思想的一个部分和思想的另一个部分如何构成一个完整的思想。
我尝试在可能世界框架下重新理解弗雷格的涵义和指称。一般认为，命题的指称是真值，而命题的涵义是从可能世界集到真值的函数。由此延伸，专名的指称是个体，而专名的涵义是从可能世界集到个体域的函数；谓词的指称是概念，而谓词的涵义是从可能世界集到个体域的幂集的函数。为了避免混淆，我把专名的涵义称为Ⅰ型函数，把谓词的涵义称为Ⅱ型函数。由此可以得到：
罗素悖论揭示在概念和对象之间无法建立一一对应，也就是说，在谓词的指称和专名的指称之间无法建立一一对应，然而有可能在谓词的涵义和专名的涵义之间建立一一对应。空专名没有指称但有涵义，也就是说，空专名的涵义是一个函数，这个函数不是没有定义而是定义为空。
四、形式系统IG
我尝试在模态逻辑中给出内涵的《算术基本规律》的形式化表述。
语言：
五、IG的一致性和解释性
博格斯已经证明(12)，Szmielew-Tarski集合论可以解释Robinson算术。Szmielew-Tarski集合论的公理包括：
证明：与定理3类似。
由此可见，IG可以解释Robinson算术。这说明IG不是一个微不足道的系统，它在某种程度上包含了足够的数学内容，因为Robinson算术本身是不可判定的，哥德尔不完全性定理适用于所有能够解释Robinson算术的理论。
六、结语
虽然弗雷格自认为关于外延的观念是清楚明白的，而且认为外延属于逻辑的范围，甚至把外延放入第三域中，但是他并没有对外延作出一个完整合理的说明。在弗雷格的《算术基本规律》中，外延导致悖论，因为他把概念看作是谓词的指称，把对象看作是专名的指称，但是无法在谓词的指称和专名的指称之间建立一一对应，也就是说，无法在概念和对象之间建立一一对应，所以谓词的指称的外延不是专名的指称。然而，在“内涵《算术基本规律》”中，“概念”是谓词的涵义，“对象”是专名的涵义，因为可以在谓词的涵义和专名的涵义之间建立一一对应，也就是说，可以建立“对象”和“概念”之间的一一对应，所以谓词的涵义的外延是专名的涵义。通过上升一个层次，从指称走到涵义，我们打通了概念和对象之间屏障，建立起二者的一一对应。
然而，IG只能解释Robinson算术，也就是说，IG还不能从根本上实现弗雷格的逻辑主义。为了加强IG的解释性，我们可以从如下两个方面着手。首先，尝试证明内涵概括公理与如下公理的一致性：
(
博格斯表明，Szmielew-Tarski集合论和标准概括公理可以解释皮亚诺算术(14)。如果(Vb)与内涵概括公理也是一致的，则由此所得到的理论可以解释皮亚诺算术；因为由(Vb)可以得到外延性公理，由内涵概括公理可以得到标准概括公理。其次，尝试证明，在不使用外延性公理的情况下，Szmielew-Tarski集合论和标准概括公理可以解释皮亚诺算术。如果这是可以证明的，则IG可以解释皮亚诺算术。我把这两个问题的解决留作另一篇论文。(15)
注释：
①参见George Boolos,The Consistency of Frege's Foundations of Arithmetic,in On Being and Saying,edited by Thomson,J.J.,Cambridge:MIT Press,1987,pp.3-20.
②参见Crispin Wright,Frege's Conception of Numbers as Objects,Aberdeen:Aberdeen University Press,1983.
③参见George Boolos,Saving Frege from Contradiction,in Proceedings of the Aristotelian Society,Vol.87,1986/1987,pp.137-151.
④参见Richard Heck,The Consistency of Predicative Fragments of Frege's Grundgesetze der Arithmetik,History and Philosophy of Logic,Vol.17,No.1,1996,pp.209-220.
⑤参见John Burgess,Fixing Frege,Princeton:Princeton University Press,2005.
⑥参见Richard Heck,The Development of Arithmetic in Frege's Grundgesetze der Arithmetik,Journal of Symbolic Logic,Vol.58,No.2,1993,pp.579-600.
⑦参见Marco Ruffino,Why Frege Would Not Be a Neo-Fregean,Mind,Vol.112,No.445,2003,pp.51-78.
⑧Thomas Ricketts,Generality,Meaning,and Sense in Frege,Pacific Philosophical Quarterly,Vol.67,1986,pp.172-195.Reprinted in Gottlob Frege:Critical Assessments of Leading Philosophers,edited by Michael Beaney and Erich Reck,London:Routledge,Vol.4,p.29.
⑨ Michael Beaney,ed.,The Frege Reader,Oxford:Blackwell,1997,p.149.
⑩Michael Beaney,ed.,The Frege Reader,Oxford:Blackwell,1997,p.294.
(11)Maria Aloni,Individual Concepts in Modal Predicate Logic,Journal of Philosophical Logic,Vol.34,No.1,2005,pp.1-64.
(12)John Burgess,Fixing Frege,Princeton:Princeton University Press,2005,pp.93-105.
(13)Ibid.,p.91.
(14)John Burgess,Fixing Frege,Princeton:Princeton University Press,2005,p.119.
(15)本文的最初想法来自作者与陈波老师的讨论。本文的最早版本曾经在陈波老师的逻辑哲学讨论班上报告。感谢陈波老师、叶峰老师、威廉姆森(Timothy Williamson)、赫克(Richard Heck)和李熙对本文的阅读和评论。本文的英文版曾经在北京大学举办的“弗雷格，逻辑和哲学”国际会议上宣读，感谢与会者对本文的建议和批评。