上海市嘉定区震川中学 201805
摘 要：数学学习的主要目的是让学生能用数学的方法解决数学问题，从中积累数学思维活动和实践活动的经验，感悟数学的基本思想。笔者整理了近三年上海16个区的一模、二模卷，以24题综合题为研究对象，谈谈如何运用数形结合思想解决二次函数中求点的坐标问题。
关键词：二次函数 数形结合 点的坐标
恩格斯说：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”数学的发展历史悠久，它的内涵随着时代的变化而变化，但始终是围绕着“数”与“形”两个基本概念的抽象、提炼而发展的。“数形结合思想”是义务教育阶段数学教学的一个重要思想方法，借助数形结合的思想解决二次函数问题在现阶段教学中具有重要的价值意义。
一、“数形结合”与二次函数中求点的坐标问题
初中数学知识分为“数与运算”“方程与代数”“图形与几何”“函数与分析”和“数据整理与概率统计”五大部分内容。
其中函数是“数形结合”的典型，二次函数作为初中数学和中考的重要考查内容之一，这部分内容的特点是知识点多、涉及面广、综合性强、难度大、占分多。教学中需重点突出数学思想，注意各知识点间的内在联系，加强数形结合的观点看问题。如解析式y=ax2+bx+c(其中a≠0)中a、b、c的不同取值决定着抛物线的开口方向、大小、对称轴的位置、与坐标轴的交点坐标、顶点坐标等等，这些都是“数”对“形”的影响；反之，由抛物线的位置形状我们也能判断出a、b、c的符号，这又是“形”与“数”的关联。
近3年来，上海市各区初三第一学期期末质量抽查考试（简称一模）与上海市各区中考考前质量抽查考试（简称二模）及上海市初中毕业生统一学业考试（简称中考）中24题绝大部分以二次函数为背景。 这些题目分值多，难度大，考验综合能力强。笔者就2017年、2018年和2019年三年来上海16个区县的一模卷和二模卷的96份试卷进行统计，只有一份试卷的第24题不以二次函数为背景。
我对另外95份试卷中在第二问或第三问中直接涉及“求点的坐标问题”的试卷数量进行了统计，如下表：
由此可见点的坐标的求解在“压轴题”中的地位，而我们对求“点的坐标”问题常常可采用定义法、代入法、交点法、设参法这几种基本方法。
二、实例探讨
笔者整理了77份“求点的坐标”试卷，其所给条件大部分大致为这样几种情况：
1.特殊图形。例如以平行四边形、菱形、矩形、梯形、等腰梯形、直角三角形等为条件。
2.两三角形相似。
3.角的关系。两个角相等或和差倍关系。
4.已知线段数量关系的或位置关系的。
5.面积关系。例如两三角形面积相等或倍半关系或直接给定图形面积大小。
6.特殊角：45度、135度或给定某个角的三角比的值。
7.其他。
例题1（2019宝山二模）：如图，已知对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+3与轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)。
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式。
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度。
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标。
解析：（1）问中求点B的坐标，方法①：观察图像从“形”的表征上易发现A、B两点是抛物线与轴的两个交点，利用二次函数图像的性质，A、B两点是关于对称轴直线x=-1对称的，利用中点公式x= 易求得。方法②：利用已知“数”、对称轴及A点坐标可先求出抛物线解析式，因为点B在x轴上，其纵坐标为0，用代入法求得。（3）问中△BPC是直角三角形这一条件，所带来的信息是这一特殊图形的三边数量关系满足勾股定理。因为P在对称轴x=-1上，可设P(1,m)，B、C坐标确定，那么可用两点之间距离公式计算出三边的长度，其中BP、CP边用含m的代数式表示。再进行分类讨论哪个内角为直角，代入三种情况下的勾股定理公式中，求出m，得点P坐标。
小结：（1）问中点B的坐标的两种不同解法，正是从“形”“数”两种不同的角度看问题。由“形”中看出两点的特殊关系，或是先求出点所在图像的解析式，再根据B的特殊位置，用代入法求出坐标。（3）问中利用了特殊三角“形”三边特殊的“数量关系”，用“设参法”来解。这一解法是根据横坐标和纵坐标所满足的条件，设定相应的参数，再根据点所在的函数解析式，或满足的其他条件，得到相应的方程，求出所设参数，从而获得点的坐标。
例题2（2018崇明区二模）：已知抛物线经过点A(0,3)、B(4,1)、C(3,0)。
(1)求抛物线的解析式。
(2)联结AC、BC、AB，求∠BAC的正切值。
(3)点P是该抛物线上的一点，且在第一象限内，过点P作PG⊥AP交y轴于点G,当点G在点A的上方且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标。
解析：解决第（3）问时，题目给出的条件是两个三角形相似。在解第（2）小问中，我们已经发现△ABC是一个直角三角形，且∠BAC的正切值为 。若要△APG与△ABC相似，则△APG必定也是直角三角形且有一个内角等于∠BAC，也就是说其正切值也是 。我们就以这个为突破口，因为可确定的就是直角，那么另外两个锐角哪个角的正切值为 则需要分类讨论。于是过点P构造“母子型”的基本图形后可转化为这个等量关系。①如果tan∠AGP=tan∠BAC= ，那么即可转化为tan∠APH= = 。利用设参法，可设AH=a，PH=3a,则OH=a+2；再根据定义可得点P的坐标为(3a,a+3)，将其代入（1）所求的抛物线中，即可得到关于a的一元二次方程，解出方程解，根据形与数的统一，最终确定坐标。②若tan∠GAP=tan∠BAC= ,解法雷同。
小结：本题中将点P看作是直线AM与直线CD的交点，只要分别求出这两条直线的解析式，就可以用联立方程组的方法来解。这种方法叫做“交点法”。也就是说：如果一个点同时处在了两个函数图像上，那么这个点可以看作是这两个图像的交点，那么就可以将这两个函数解析式联立方程组，通过解这个方程组，得到x和y的值，即所对应的横坐标和纵坐标。
同样，本题也可以像例题2一样，过点P向坐标轴作垂线段，根据三角比的含义设参，代入直线CD的解析式中求解，反之亦可。情况②中P的坐标同理可得。本题在解题过程中多次体现了“以形助数，以形辅数”的思想，其中也包含分类讨论思想。
例题4（2018松江一模）：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在B的左侧），且AB=4；又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线交于点E，设点P的横坐标为t。
（1）求点A的坐标和抛物线的表达式。
（2）当AE∶EP=1∶2时，求点E的坐标。
（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM为等腰梯形时，求t的值。
解析：第（1）问求点A的坐标，与例题1类似。由抛物线的性质可知，A、B两点是关于对称轴对称的，由对称轴是x=1，且AB=4，可推算出A、B两点到对称轴的距离为2，则A点坐标为(-1,0)。
第（2）问“当AE∶EP=1∶2时”，对于这一条件，如果能将其与三角形一边的平行线性质定理中的基本图形联系起来，问题解决起来就方便多了。过点P作PH⊥x轴交于点H,因为EN∥PH，即 = = 。由P在抛物线上，横坐标为t，则P可表示为（t,t2-2t-3）。因为PH⊥x轴，因此AN=2,HN=t-1，代入比例方程中，t为5，即P坐标为(5,12)。又因为E在直线AP上，那么可获得直线AP的解析式，且E在对称轴上，其横坐标为1，可用代入法求得纵坐标为4，所以E(1,4)。
第（3）问求t的值，实质上也就是求P的坐标。因为四边形CDEM为等腰梯形，根据点C、M的坐标及等腰梯形与平行线的相关性质，过顶点C、D作下底边EM的垂线段，可知∠FCM=∠EDG=∠PAH=45°，所以△PAH是等腰直角三角形，所以PH=AH，可得方程t+1=t2-2t-3，所以t=4。
小结：第（2）问是利用代入法求E的坐标，P的坐标利用比例关系，用“设参法”求得后，即可得直线AP的解析式。又可知E的横坐标为1，代入其所在的直线解析式中可求E的坐标。第（3）问是用方程思想“设参法”来解。
例题5（2019嘉定一模）：在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y=ax2+bc+2经过点A(4,0)、B(2,2)，与y轴的交点为C。
（1）试求这个抛物线的表达式。
（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积。
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE=45°，求点E的坐标。
解析：特殊角45°，通常会让人联想到等腰直角三角形，很多二次函数背景的题中都有这样的特殊角，如果善于发现，那么利用等腰直角三角形的性质或特殊角的三角比，解决起问题来就简便很多。本题中最后一问的解决方法有很多，其中一种方法是，联结OB发现△OCB、△OBA都是等腰直角三角形，底角都为45°，即∠DOE=∠AOB=45°，通过等量减等量可得∠DOE=∠AOB。又因为∠OBD=∠OAE=45°，△OBD与△OAE相似。由对应边 ＝ ＝ ，BD=1，所以AE= 2，继而得AH=EH=1,再OH=3得E(3,1)。
小结：这一题主要是用“定义法”来解。根据点坐标的定义，通常可以过一个点分别作轴与轴的垂线段，垂线段的长即是该点到两坐标轴的距离（其中点到轴的距离即纵坐标的绝对值，点到轴的距离即横坐标的绝对值）；再根据所在的象限确定符号，最终确定点的坐标。这也是最常规的一种解法。
数学家华罗庚先生说过：“数无形时不直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”上述5个例题分别讲述了用不同的方法求点的坐标问题，虽然所给条件不同，但万变不离其宗，利用“形”和“数”的辩证统一来解决问题，不仅是求点的坐标问题，其他问题亦如此。在初中数学中，我们正是可以通过函数及其对应图像之间的转化，来培养学生数形结合的思想。
参考文献
[1]史宁中 等 义务教学数学课程标准（2011年版）解读[M].北京师范大学出版社。
[2]曾庆丰 求点的坐标的常用方法[J].语数外学习，2004，7，(8)，69-70。
论文作者:薛欢
论文发表刊物:《中小学教育》2020年第385期
论文发表时间:2019/11/4
标签：坐标论文; 抛物线论文; 角形论文; 对称轴论文; 直角论文; 函数论文; 直线论文; 《中小学教育》2020年第385期论文;