云南省昆明市轿子山实验中学 655000
摘 要：本文根据自己的教学实践，从一道双曲线探究问题链变式教学这个方面具体阐述了一个教师在高中数学课堂教学中如何实现课堂动态生成，使高中数学课堂教学更具丰富性、开放性、创造性与鲜活性的一些思考。
关键词：双曲线 探究 课堂动态生成
《普通高中数学课程标准》（实验）指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，数学课堂应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式，力求通过各种不同形式自主学习，探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。”这一新的理念说明：数学教学活动是学生经历一个数学化的过程，是学生自己建构数学知识的活动。数学课堂是动态的，教学不再是教师主宰，学生跟着教师走，而是根据教师与学生教学活动的具体情况，随时调整教学过程，学生真正成为学习的主人。因此，随着新课程改革的不断深入，数学课堂教学应更加强调教师根据学生学习的实际需要，不断调整，构建一个师生互动的动态生成式数学课堂。
下面我结合人教版A版《数学（选修2-1）》第二章圆锥曲线与方程，双曲线及其标准方程第二课时，关于“和两定点连线斜率之积为定值的轨迹方程”探求的一节解题课的教学实践做些分析思考。
一、创设情景导入课题
我：同学们我们学过椭圆、双曲线、圆的方程，给定一个方程，就能判断它表示什么曲线．请看这个方程表示什么曲线？
方程＋=1能表示什么曲线？为什么？
设计意图：引例的设计，一方面让学生意识到参数的变化会带来曲线类型的变化，为下面的变式训练做好准备，另一方面让学生初尝变式的乐趣。
学生思考，解答，组内交流，说明答案。
投影学生1的答案：
（1）当m＜-2时，2+m＜0，4-m＞0，曲线表示焦点在y轴的双曲线。
（2）当-2＜m＜1时，4-m＞2+m＞0，曲线表示焦点在y轴的椭圆。
（3）当m=1时，2+m=4-m=3，曲线表示圆。
（4）当1＜m＜4时，2+m＞4-m＞0，曲线表示焦点在x轴的椭圆。
（5）当m＞4时，2+m＞0，4-m＜0，曲线表示焦点在x轴的双曲线。
（6）当m=-2或m=4时，不表示任何曲线。
我：你主要考虑了哪些因素？
学生1：主要考虑了x2，y2系数的正负及大小关系．
我：很好，抓住了问题的关键，从这个引例，我们看到参数m的变化带来曲线类型的多种变化。我们看一个由动点的轨迹确定曲线方程的问题如何求解（出示探究性问题）。
二、自主探究引发变式
探究性问题：△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-6，0）和（6，0），边CA、CB所在的直线的斜率之积为 ，求顶点C的轨迹。
设计意图：人教版（A版）《数学（选修1-1）》第二章2.2双曲线，探究问题的变式题。为便于学生计算，将学习重心放在题目变化上，我对数据进行了优化，条件改为三角形，让学生注意轨迹的纯粹性。
学生独立解答，我实物投影学生2的答案。
学生2：设顶点C的坐标为（x，y），由题意得：KCA?KCB= ，
即?= ，整理得 － =1，
因为，A、B、C三点构成三角形，所以 － =1(y≠0)，
所以，顶点C的轨迹为焦点在x轴的双曲线（除去A、B两点）。
我：这位同学的解答非常全面，利用斜率找到了动点满足的等量关系，并且考虑到了三角形这个容易忽视的条件．大家来观察，如果我们将条件中的 改变为- ，结果会怎样呢？
三、变式训练逐步拓展
变式1：△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-6，0）和（6，0），边AC、BC所在的直线的斜率之积为- ，求顶点C的轨迹。
学生练习，我对个别学生存在问题指导。
我投影解答：设顶点C的坐标（x，y），由题意得：KCA?KCB=- ，
即?=- ，整理得 ＋ =1，
因为，A、B、C三点构成三角形，所以 ＋ =1(y≠0)，
所以，顶点C的轨迹为焦点在x轴的椭圆（除去A、B两点）。
我：我们没有改变原题基本数据，只是将斜率之积稍加改变，变成如上的变式1，解题的方法没有发生改变，结论有变化吗？请同学们说明，为什么变化？
学生3：结论变了，由（除去A、B两点）的双曲线变为除去两点（除去A、B两点）的椭圆。变化的原因是 变为- 吧！
我：回答非常到位，哪个同学还能对这个题目加以变化，做一个小命题专家呢？
同学们的兴趣立刻被调动了起来，大家争先恐后的议论起来。
学生4：我发现，刚才A、B恰好是双曲线的顶点，我们可以变化A，B点的位置到y轴上。
变式2：△ABC一边的两个端点的坐标分别为A（0，-6）和B（0，6），另两边所在直线的斜率之积为 ，求顶点C的轨迹方程。
我：很好，改变已知点所在坐标轴，总体说来，计算过程应该相似。现在，大家能否根据上面的题目，直接类比得结论吗？
设计意图：至此，学生已经基本掌握此类问题的精髓，改变已知点所在坐标轴，虽然适当加大了题目的难度，但总体说来，这种变式，学生还是容易接受的。
学生5：相当于变化了焦点所在的轴吧！我想方程应该是 － =1。
解：设顶点C的坐标（x，y），由题意得：KCA?KCB= ，
即?= ，整理得 － =1，
因为A、B、C三点构成三角形，所以 － =1(x≠0)，
我：解题方法没有改变，结论变化了。但仍然为除去两点的双曲线，把探究问题中的 改为1呢？
变式3：△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-6，0）和（6，0），边CA、CB所在的直线的斜率之积为1，求顶点C的轨迹。
学生6：还是双曲线，方程为x2-y2=1（y≠0）。
我：好，在下一节我们将要看到，这样的双曲线叫做等轴双曲线。如果把探究性问题中的 改为-1呢？
学生7：这实际上就是以AB为直径的圆，除去与x轴的两个交点。
我：从上面的题目解答和观察，你能得出什么结论呢？
学生8：从探究性问题及其变式，我们可以知道：边AC、BC所在的直线的斜率之积为负数，则顶点C的轨迹为椭圆，特殊情况下为圆；边AC、BC所在的直线的斜率之积为正数，则顶点C的轨迹为双曲线，与A,B所在坐标轴无关。
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我：从斜率之积为 ，变化到- 、1、和-1，这是偶然的巧合，还是其中存在着一定的规律呢？于是，我们容易想到下面的变式，将斜率之积变为一个一般的参数m（m为非零常数）呢？
设计意图：至此学生对在具体数字方面的变化已不再感兴趣，必须有一个较大的变化才会引起学生更大的兴趣，从具体数字到抽象的一般参数m，是思维的一次飞跃。
变式4：△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-6，0）和（6，0），边AC、BC所在的直线的斜率之积为m（m≠0），求顶点C的轨迹方程，并说明曲线形状。
（学生小组讨论，在得到方程后，有的学生陷入了困惑，该怎么说明呢？）
我：对于出现的问题，请同学们先独立思考，然后再进行小组交流、讨论，解决不了的问题，提出困难在什么地方，并说明能解决到哪一步。
经过一段时间的合作学习，全班8个小组普遍能够求出方程，在分析曲线形状时，也找到了切入点，与引例是相似的。
投影解答：设顶点C的坐标（x，y），由题意得：KCA?KCB=m，
即?=m，整理得 －=1，
因为A、B、C三点构成三角形，所以 －=1(y≠0)，
当m＞0时，方程 -=1(y≠0)是焦点在x轴的双曲线，除去A、B两点。
当-1＜m＜0时，方程 -=1(y≠0)是以AB为长轴，离心率 1+m为的椭圆，除去A,B两点。
当m=-1时，方程 -=1(y≠0)是以AB为直径的圆，除去A,B两点。
当m＜-1时，方程 -=1(y≠0)是以AB为短轴，离心率为 的椭圆，除去A,B两点。
学生9：老师，我们还可以让A,B点坐标更一般化，A(-a,0),B(a,0)(a＞0)。
我：好，字母增多了，要注意仔细计算。
变式5：设A(-a,0),B(a,0)(a＞0)是曲线C上两定点，点P是曲线上除A、B以外的动点，直线AP、BP的斜率分别为KAP，KBP且KAP?KBP=m（m为不为零的常数），求曲线C。
学生9板演：设C的坐标（x，y），由题意得：KCA?KCB=m，
即?=m，整理得 －=1,
当m＞0时，方程 -=1是以AB为实轴，离心率 1+m为的双曲线，除去A,B两点。
当m=-1时，方程是 -=1以AB为直径的圆，除去A,B两点。
当-1＜m＜0时，方程 -=1表示以AB为长轴，离心率 1+m为的椭圆，除去A,B两点。
当m＜-1时，方程 -=1是以AB为短轴，离心率为 的椭圆，除去A,B两点。
学生惊喜之极，问题得到顺利解决。
我：刚才我们主要是对题目条件变化，如果我们将条件和结论互换呢？我们来看新的命题：
变式6：若A，B是双曲线C： - =1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PA，PB的斜率都存在，并记为KAP,KBP，证明：KAP与KBP之积是与点P无关的定值。
学生兴奋到了极点，跃跃欲试，积极观察，并进行了解题的四步曲分析，书写证明。
证明：由题意设A的坐标为（x0,y0），则B（-x0,-y0），设P的坐标为（x,y），
则KAP?KBP=?= ，
因为P、A都在双曲线 - =1上，
所以 － =1， － =1，
y2=（ -1）b2,y02=（ －1）b2，
KAP?KBP= ＝ ? = 与P无关。
我：问题解答非常漂亮，下面请同学们独立解决变式7。
变式7：试对椭圆 ＋ =1写出具有类似特性的性质，并加以证明。
性质：若A，B是椭圆C： ＋ =1上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PA，PB的斜率都存在，并记为KAP,KBP，那么KAP与KBP之积是与点P无关的定值。
学生10证明：由题意设A的坐标为（x0,y0），B（-x0,-y0），P的坐标为（x,y），
则KAP?KBP＝?＝ ，
因为，P、A都在椭圆上 ＋ =1上，
所以， ＋ =1， ＋ =1，
y2=（1－ ）b2，y02=（1－ ）b2，
KAP?KBP= ＝ ? =- 与P无关。
四、归纳总结升华提高
我：从变式6和7，大家能总结出什么结论呢？
学生11：若A，B是双曲线C： - =1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PA，PB的斜率都存在，那么KAP,KBP＝ ，
若A，B是椭圆C： - =1上关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PA，PB的斜率都存在，那么KAP,KBP＝ ，
我：总结得很好，在参考书上，AB通常称为圆锥曲线的直径，事实上，有关圆锥曲线直径的性质还有很多，请同学们课下继续探讨。
设计意图：到此，学生如释重负，有一种成功的喜悦！思维创造性的火花也已点燃。课堂教学预设的目标已经完成，我们的课堂教学也该结束了。但学生的探究还没有结束，通过探究思考性问题，引导学生在课下继续探究……
教学反思：一道课本探究题通过变式，从特殊到一般，改变背景将其推广，让学生真正感受到“源于课本，而高于课本”的深刻含义，也真正使学生品尝到探究性问题中“探究”的滋味。课本习题与资料题目很自然地结合，使学生知道了知识的来龙去脉，使他们的认知产生了飞跃，通过不同的思路，提供多种解题方法既拓宽了学生的解题思路，又从不同的角度将已学过的知识加以复习，解题方法的多样化，活跃了学生的思维，使学生增强了解决问题的信心，进而又深化了数形结合、分类讨论、函数与方程等重要的数学思想。这样将知识、能力和思想方法在更多的新情景、更高的层次中，不断地反复地渗透，达到了螺旋式的再认识，再深化，乃至升华的效果。
总之，高中数学课堂教学动态生成有深刻广泛的意义主要体现在以下几个方面：
1.体现学生的主体性。以往课堂中尽管教师想让学生自主学习，发挥学生主体性，但受教学活动计划性、预设性的影响，教师把教学过程看作是预定计划或方案的简单体现，学生的思维和活动仍被束缚在教案框架内，主体性并没有得到彻底体现。动态生成性的课堂中不再是教师主宰，学生跟着教师走，也不再是教师不管学生的实际情况，一个劲儿地按预定的教案往下教，而开始关注学生的学情，根据学生自主学习的情况，随时调整教学过程，设计和组织后续的教学活动，学生成为课堂教学的中心。只有动态生成性教学，才能真正做到以学生为主体，教师为学生的学习服务。
2.激发学生的问题意识。新课程标准要求学生能主动地探究和创造性学习，现代学习方式特别强调问题在学习活动中的重要性，一方面强调通过问题来进行学习，另一方面通过学习来生产问题。学生强烈的问题意识，激发了学生认识的冲动性和思维的活跃性，更激发了学生的求异思维和创造思维。教师要及时抓住学生在课堂中“生成”的问题，并给予正确合适地引导和回应，这将有利于培养学生自主学习能力和创新意识。
3.展现课堂教学真实性。课堂是师生生活的一部分，本应该是变化莫测、丰富多彩的，只是传统的课堂中，教师把教学过程当作一种理想状态来设计，不允许出现任何偏差，教学过程人为地教得呆板枯燥。动态生成的课堂，不图省事和形式，追求真实自然，敢于放手，敢于“暴露”意料之外的情况，师生的思想情感能得到淋漓尽致的表达，因此课堂再现的是师生真实而自然的生活情景。
论文作者:李应春
论文发表刊物:《教育学》2019年7月总第182期
论文发表时间:2019/7/3
标签：学生论文; 双曲线论文; 斜率论文; 方程论文; 顶点论文; 椭圆论文; 两点论文; 《教育学》2019年7月总第182期论文;