对分形几何初步进入普通高中数学课程的思考，本文主要内容关键词为：几何论文,普通高中论文,数学课程论文,分形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 问题的提出
在数学课程改革中，几何学科的改革历来是人们关注的焦点。作为对高中课程设计的探讨，笔者想提出的一个问题是：在设计新世纪的高中课程时，我们是否应该以一种创新的精神，挣脱传统欧氏几何体系的羁绊，站在时代和整个几何学发展的高度，全方位地审视对几何内容的处理，通过对现代数学新分支——分形几何学的初步知识在高中课程中的安排，使学生能更多地了解几何学的新发展，开拓几何思维的新空间。
分形几何是20世纪70年代创立的一门数学新分支，它研究的是广泛存在于自然界和人类社会中一类没有特征尺度却有自相似结构的复杂形状和现象，自然界的众多形状都是如此的不规则和支离破碎，对这些形状的认识，欧几里得并未能给后人留下更多的启示。对大自然的这种挑战，二千年来，激励着一代又一代的数学家上下求索，探寻从欧氏几何体系中解放出来的道路。终于在1975年，美籍数学家曼德尔布罗发表了被视为分形几何创立标志的专著《分形：形、机遇和维数》。从此，一门崭新的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林。经过近二、三十年的开拓和发展，分形研究现已深入到各个科学技术领域，在哲学、数学、物理学、材料科学、计算机科学、地学、医学等众多领域，甚至在电影、美术和书法等艺术领域都得到了广泛的应用，对现代科学产生了深远的影响，所以美国著名物理学家惠勒说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人！”
2 分形几何进入高中课程的必要性探讨
2.1 分形几何的创立是数学发展史上的又一次进步
欧几里德几何《原本》从公元前三世纪诞生以来直到十八世纪末，在几何领域一直是一统天下。但它研究的只是用圆规和直尺画出的图形，这样的图形是简单的或平滑的。牛顿、莱布尼茨以后，由于微积分和几何学的结合，使较为复杂的形状得以表现，但这些形状仍是具有特征长度的或平滑的。而自然界存在着大量极不规则、极不光滑的图形，如何刻划和研究这类对象。分形几何的产生提供了相应的思想方法，是数学史上一次重大进步。
2.2 分形理论是描述现实世界的有力工具
现实世界绝大多数形状与现象都是不规则的，随机的，复杂的，欧氏几何无法对它们作出客观、准确的描述。在这样的背景下诞生的分形理论，使人们能以新的观念，新的方法来处理这些问题，有效地描述自然界和科学研究中遇到的各种各样的复杂形态，然后通过对这些不规则形态的研究，揭示隐藏在各种复杂现象后面的规律，揭示局部和整体之间的本质联系。所以分形几何提供了这种新型的几何，就有了处理分析各种不规则图形和复杂现象的新方法。分形几何的理论也使混沌在自然和社会科学各领域的研究成果令人目不遐接。日本著名分形专家高安秀树说，分形“这一概念绝不仅是专家需要掌握的，而是在高中高年级或大学低年级时就应该开始学习，因为描述形状和现象是自然科学要走的第一步。”
2.3 分形几何是培养创新思维的极好材料
曼德尔布罗在酝酿、思索、研究到最终创立分形几何的过程，是冲破了传统几何观念束缚的过程，在这一过程中充满着创造性的思维和灵感，从而诞生的是一种异于传统几何的新型几何。
分形几何给学生带来的是一种全新的几何观念。让他们学习分形几何初步知识，帮助他们实现从欧氏几何领域向分形几何领域的认知的初步跨越，创新思维必将得到很好的培养。
其次，由于分形是一类无特征长度的几何形体，所以无法用通常的长度或重量或体积等参数去刻划其特征，而只能用分数维作为其复杂程度的定量表征，这是和学生已形成的传统维数观念相悖的。在欧氏几何里，点是0维的，线段是1维的，正方形是2维的，正方体是3维的；而分形的维数却一般是分数：三分康托尔集、三元科赫曲线、门杰海绵的维数分别是0.6309、1.2618、2.7268。对学生的固有的维数观念将产生强劲的冲击。尽管在高中阶段给学生介绍分数维只能达到“浅尝辄止”的脚步，但这种对传统观念的突破，无疑的将对学生创新思维的形成大有裨益。
2.4 有利于学生掌握数学思想方法，发展辩证思维， 提高审美情趣
学生的数学学习，不仅仅是理解数学知识，更重要的是掌握数学的思想方法，在计算机科学极度发达的新世纪里，递归思想，迭代方法显得尤为重要，分形几何初步进入高中课程，通过用计算机作分形图，则为学生体会递归思想，掌握迭代方法提供了广阔的空间；同时，在分形的计算机生成中，学生会发现，许多结构复杂的分形图，都以非常简单的方法定义（即对应着一个简单的映射），经过反复的迭代产生，从而昭示“简单中孕育着复杂”的深刻哲理，使学生辩证思维得以发展。另一方面，形形色色、千姿百态的分形问题，透溢出一种美的情趣，使学生在学习过程中受到美的熏陶。
2.5 教材现代化的需要
早在1977年，“十年动乱”刚刚结束，邓小平就敏锐地抓住了教育改革的核心——课程教材问题。他指出：“关键是教材，教材要反映出现代科学文化的先进水平。”经过二十多年的坎坷之路，教材现代化取得了可喜的进展；微积分初步终于在现行高中教材中赢得了一席之地，向量、概率与统计也成为高中学生的必修或选修内容。但这样的进展与数学学科本身和现代科技的发展仍有较大差距。因此，接受第三次国际数学和科学研究（TIMSS）对我们的重要启示：“面对21世纪的挑战， 数学课程内容要反映现代科学技术中的核心数学知识，新的数学研究成果应在数学课程内容中得到一定的体现”，将数学学科的新发展——分形几何初步知识安排进入高中课程是十分必要的，这也是对教育部今年7 月颁布的《基础教育课程改革纲要》中“加强课程内容与现代科技的联系”要求的具体落实。
将学科最新发展溶入课程方面， 国外的一些做法可以借鉴。 始于1983年的美国芝加哥大学中学数学课程设计（UCSMP）中， 高中代数第14章“维数和空间”的第8节安排的就是分形内容。 它首先是通过几个具体例子来说明什么是分形以及它的自相似结构，然后从分析海岸线的测量问题引出分数维的概念，并指出分数维是分形特征的一种量化度量。用了不长的篇幅，就使学生对刚刚创立不久的研究大自然中广泛存在的复杂结构的分形几何有了一个初步的了解。有消息报道，在美国，分形内容现已不止在一种教材中出现。
3 分形几何进入高中的可行性分析
3.1
观念的准备——专家们呼声鹊起：分形几何应进入中学课程
任何改革都必须以观念的更新为先导。近年来，我国一些课程专家在许多场合，以各种方式呼吁分形几何应进入中学教材。
3.2
分形几何内容具备新世纪课程设计理念所要求的“具有现实性、趣味性、富有挑战性”
美丽的分形图，是大自然景物的抽象，它无比丰富的细节，绚丽多彩的结构会使学生流连忘返。而分数维却因悖于学生原有的维数认识，对学生传统的维数观念提出了挑战。
3.3 中学数学内容中容易找到分形几何的生长点
分形几何与欧氏几何虽然观点迥异，但它们联系密切，容易在欧氏几何的知识点中找到分形几何滋生的土壤，等比数列即为一例。例如，由正三角形构作科赫雪花曲线过程中所得一系列图形的周长与面积均构成一等比数列。利用等比数列求和公式可求得构作进行到n 步时图形的周长和面积，并且当n→∞时， 学生会发现其无限的周长却围着有限的面积！这显然与欧氏几何图形的性质迥异。所以在等比数列前n 项和公式与数列极限的求法后面，不失时机地编入揭示科赫雪花曲线这一奇异性质的内容。
3.4 普通高中开设计算机必修课为分形图的制作提供了方便
多方面的因素限定了我们在高中仅能介绍分形几何的初步知识，而对一些典型分形图的认识却应是其中一个主要内容。根据教育部今年初颁发的《中小学信息技术课程指导纲要》的要求，从2001年秋季起，普通高中都将开设计算机必修课。这就提供了便利的条件，使学生可通过用字符串替换算法递归产生分形树、科赫曲线等一些漂亮图形来加深对分形的认识，体会分形理论和计算机技术结合的威力。
4 分形几何进入高中课程的操作性研究
4.1 内容的选择
分形几何发展的历史不长，却引起了人们极大的兴趣，因而取得了丰硕的研究成果，其学科内容是十分丰富的。但限于高中数学的总课时数和学生的认知水平，只可能在课程中安排少量的、初步的知识。是否可考虑如下内容：
（1）一些经典分形图：康托尔集、科赫雪花曲线、 谢尔宾斯基垫片”、“有皮没有肉”的门杰海绵、恶魔的阶梯等；
（2）科赫雪花曲线的字符串替换算法作图；
（3）特征长度，分形的自相似性的认识；
（4）海岸线的测量问题，海岸线与科赫曲线的本质联系；
（5）皮亚诺曲线与分数维的初步知识：
（6 ）“病态”怪物画廓的回顾：分形几何简史与曼德尔布罗生平简介。
4.2 内容的安排
4.2.1 内容安排的两种构思
（1）采用美国UCSMP教材的做法，将上述内容编为一章。可将其列入高三开设的限定选修课内容，排在极限内容之后。考虑到分形理论在自然和社会科学各领域均有重大的理论和实用价值，在文、理科都应安排，文科对分数维内容处理上应与理科有区别。
（2）按上海新编高中教材对微积分的“套筒式”处理方法， 分步到位。即将内容分年级安排。上述内容（4）、（5）两项可放在高三限定选修课中，其余内容可编入高一、高二必修课中。
4.2.2 内容在教材中的呈现方式
内容安排采用上述第一种构思时，以专题的形式呈现；采用第一种构思时，可考虑以下三种形式；
（1）以阅读教材的形式呈现。例如， 分形几何简史和曼德尔布罗生平，分数维的发现等；
（2）以研究性课题的形式呈现。例， 分形的降维构造：康托尔三分集及其在二维平面和三维空间中的推广；
（3）以作业的形式呈现。例如， 科赫雪花曲线的周长和面积的探求。
4.3 操作涉及的两个问题
4.3.1 知识点配套问题
1998年教育部关于《现行普通高中数学教学内容调整范围》中，将幂函数f（x）＝x[a]的考查范围限于a在集合｛－2，－1，－1/2，1/3，1/2，1，2，3｝中取值。从2001年秋起在全国85％以上省、市、自治区使用的高中新教材中，已将幂函数删除。由于分形具有自相似特征，其状态的复杂程度可用某幂函数指数，即分数维来刻划，建议高中教材恢复幂函数内容，但可限于1998年教育部的调整范围中。
4.3.2 师资问题
由于分形几何学是数学的一个新分支，所以一般高师院校还未曾开设这门课，这就导致了高中教学这一内容的师资困难。是否可采用1997年两省一市进行高中数学新教材试验的做法，先期请专家开展培训，帮助教师尽快熟悉这一内容，减轻教学的困难。
分形几何学的创立，对整个几何学的发展产生了重大影响，其本身表现出蓬勃的生机。它之所以有活力，是因为它带来了新鲜的几何思想，开辟了几何学的新天地，所以通过具体的题材，深入浅出地让学生初步了解分形几何的特色和威力，应是普通高中课程建设引人注目的议题。