考虑备件及维修周转的并串混联系统可用度模型

张新博, 王乃超, 肖波平, 马 麟

(1. 北京航空航天大学可靠性与系统工程学院, 北京 100191;2. 北京航空航天大学可靠性与环境工程技术国防科技重点实验室, 北京 100191)

摘 要 :给出了综合考虑系统结构、库存备件量和故障件维修周转等因素影响下的系统可用度计算模型。将由并串混联系统和备件组成的广义系统按功能划分为工作系统与库存系统两个子系统,通过引入备件平均到达率反映库存系统对工作系统的影响,并据此分别建立备件充足与缺货时的工作系统状态转移关系。利用二项分布表征期望备件短缺数的概率分布函数以计算库存系统备件的缺货概率,进而根据全概率公式计算得到系统可用度。示例表明:所提模型针对单部件串联系统所得结果比已有模型更为精确;其次,在库存备件量及维修周转时间的影响下,多部件子系统串联时并不比单部件串联时的可用度高,且可用度曲线随着库存量的增加并不是严格单调递增的凸曲线。

关键词 : 可用度; 备件; 维修周转; 一般分布; 并串混联系统

0 引 言

使用可用度是指装备或者武器系统当需要时能够正常工作的程度^[1],其大小由可靠性、维修性以及供应保障特性等因素共同决定。这其中,系统结构组成、初始库存和补给策略以及维修策略等因素对系统可用度建模有重要影响。国内外学者已经在相关领域做了大量研究,如部分研究侧重于不同系统结构及简单维修相结合的可用度建模方法:文献[2-4]在假设故障件更换时间可忽略的条件下分别给出了串联系统、k /N 热贮备系统、冷储备冗余与热储备冗余共存的k /N 系统的可用度计算模型;文献[5-6]在固定维修周期的原则下分别给出1/N 冷贮备冗余系统和k /N 热贮备冗余系统使用可用度计算模型。对于结构组成较为复杂的系统,部分学者从系统结构特性着手进行研究。如文献[7]基于系统与部件之间逻辑关系结构函数,在给定系统工作时间间隔条件下建立适用于任意结构系统的可用度计算模型。文献[8-9]在分析了系统与各组成部件间的结构关系后建立系统的动态故障树模型以及系统各组件的状态概率函数,进而建立k /N 系统使用可用度计算模型。上述研究在系统可用度建模时较少考虑备件供应因素的影响,原因在于考虑备件数量后系统状态空间极易发生爆炸。为此,有部分学者通过备件延期交货量或平均等待备件时间研究备件因素对系统可用度的影响:经典的可修复备件多级库存控制(multi-echelon technique for recoverable item control,METRIC)理论模型^[10-15]给出了以使用可用度为目标的库存优化模型,其侧重考虑库存系统中备件因素对整个系统的影响,从而弱化了工作系统对库存系统的作用,且此类模型在针对复杂系统结构进行可用度建模时存在一定的难度。除经典模型外,文献[16]建立了在给定维修间隔期条件下,考虑备件短缺影响时的k /N 热贮备系统可用度模型;文献[17-18]在文献[16]基础上建立多种不同热贮备组合情况下系统的使用可用度模型,此外,文献[19-21]分别建立了不同备件供应策略影响下系统可用度的计算模型,上述研究虽然考虑备件及维修周转因素的影响,但模型较少考虑维修策略且维修周转时间大多服从指数分布。为此有部分学者侧重研究不同的维修策略或维修周转时间分布对系统可用度的影响。如文献[22-23]分别给出k /N 系统在(m ,N _G )、(n ,r ,r )维修策略下且维修周转时间为伽马分布时的使用可用度计算模型,文献[24]在文献[22-23]的基础上将模型拓展到k /N 系统在(n ,L ,r ,r )维修策略下且维修周转时间为伽马分布的使用可用度计算模型,文献[25]建立了具有N 个不同部件且优先维修级别不同的k /N 系统可用度模型;文献[26-27]分别建立了在修复如旧的维修策略下机群可用度和k /N 系统可用度模型,此外文献[28-31]分别建立相应不同维修策略下系统使用可用度计算模型;上述研究虽然考虑了故障件维修周转因素的影响,但是在已有模型基础上考虑备件因素存在一定难度。文献[32]给出考虑备件的多部件串联系统可用度计算模型,但模型仅适用于串联系统,且故障件维修周转时间服从指数分布。

为解决以上问题,本文在文献[32]所给模型的基础上进行了延伸和拓展,建立了考虑库存备件量、系统更换维修、故障件维修周转等因素的并串混联系统的可用度计算模型,而且模型还允许假定故障件维修周转时间服从适用范围更广的一般分布。在计算结果方面本文所给模型就串联系统计算得到的使用可用度,比运用文献[32]所给模型得到的计算结果准确性更高(更加接近Simlox仿真结果)。

1 系统工作描述及条件假设

如图1所示,本文研究对象为多个并联系统串联的混联系统。

对于电气自动化控制设备而言，其投入应用的作业环境较为复杂，或处于利于电气设备运行的环境，或处于较为恶劣的运行环境。尤其在较为恶劣的作业环境中，电气自动化控制设备极易受环境因素的影响，从而导致运行可靠性降低问题的出现。如环境因素中的温度、湿度、压强等方面，都能够对电气自动化控制设备造成运行上的不利影响，不仅会对电气自动化控制设备的运行可靠性产生波动，更会导致电气自动化控制设备的元器件等受到损坏。

图1 系统工作过程
Fig.1 System working process

对于图1所示的系统工作过程,可以将其分为2个子过程:故障系统的更换维修过程和故障件的维修周转过程,与之相对应的是工作系统与库存系统,二者通过故障件的更换维修相关联。对工作系统而言,当工作系统的任一子系统停机,工作系统也随即停止工作,其子系统部件在运转过程中会发生故障,发生故障的部件(简称故障件)被拆卸下来后将被送至库存系统进行维修。如果故障件拆卸完成时若库存系统中备件充足,则立即进行备件的安装,否则须等待停留在维修周转过程中的故障件修复返回后再进行安装工作。对库存系统而言,库存系统接收从工作系统输入的故障件并立即进行维修,故障件在修复后将作为备件储存在库存系统中。

考虑到建模的复杂程度及模型参数对计算结果的影响,不失一般性本文作如下假设:

(2)加强生产要素的自由流动和高效配置 行业龙头企业、高等院校、研究机构、行业协会、金融机构等主体应深化合作，加快构建支撑融合发展的创新载体，集结创新资源，并探索建立资源交易的市场化运行机制，进一步促进数据资源、制造能力、行业知识的自由流动，改善资源配置效率，提升行业全要素生产率。

(1) 子系统及其部件之间相互独立;

内蒙古大唐国际新能源有限公司目前拥有卓资一号风电场、卓资二号风电场、红牧风电场，公司在役、核准待建总装机容量为66.175万kW，其中在役总装机容量为31.225万kW，核准待建装机容量为34.95万kW，随着公司开发“新能源+”应用工程项目相继建设，给企业安全生产管理带来新的要求，重视事故预防和加强安全管理，无论从企业发展、公司文化的角度，还是从国家、社会和家庭角度，都是事关重大的问题[1]。

式中,d 为运用式(4)并根据图3所得状态概率计算所得备件需求率。

7例患者均先行CT定位囊内引流：健侧卧位，CT扫描后确定穿刺部位及插管深度，利多卡因局部浸润麻醉生效，穿刺针经皮肤逐步进入脓腔，回抽出脓液后放置引导钢丝，退针，扩皮，置入猪尾导管引流，再次CT扫描确认导管位置后固定。插管引流后选择敏感抗生素治疗及加强营养支持治疗。引流1～3月后行胸腔镜肺楔形切除术，7例均在双腔气管插管全麻下完成。

及早化学防治：对发病区实行化学药剂防治。用77%可杀得可湿性粉剂800-1000倍液、50%代森铵1000-1500倍、600-1000单位/mL的农用链霉素＋1%酒精辅助剂、25%叶枯宁可湿性粉剂宁1000倍。

(4) 故障件为单件送修且修复如新,维修周转时间服从一般分布;

(5) 不考虑维修设备/设施、人员等其他保障资源的约束。

(3) 工作系统的修复过程只由备件的安装过程组成即瞬间拆卸,且备件安装时间服从指数分布;

2 系统可用度建模

假定工作系统由I 个并联系统串联而成,其中第i (1≤i ≤I )个子系统内部件的平均故障间隔时间服从参数为λ _i 的指数分布,备件的安装时间服从参数为μ _i 的指数分布。那么在初始库存量为s _i 时子系统的稳态可用度可以表示为

(1)

式中,表示对子系统i 库存系统稳态时应得备件量；P (A )表示系统稳态时A 发生的概率；P (A |B )表示在条件B 下A 发生的概率。则整个系统的稳态可用度计算公式为^[32]

(2)

式中,A _o 表示使用可用度。

2.1 工作系统可用度建模

对于工作系统中任一子系统定义状态n (0≤n ≤N )表示其中存在的故障件个数,这其中N 表示此子系统中并联部件个数。当s _DI ≤s 即库存系统备件充足时,系统状态间转移关系如图2所示。

图2s _DI ≤s 时工作系统状态转移图
Fig .2 Image of working system state transition when s _DI ≤s

图2中,状态N 为工作系统停机状态。定义状态N +n (1≤n ≤N )表示备件到达正准备安装、w 表示备件平均到达率,那么当s _DI >s 即库存系统备件缺货时,系统状态间转移关系如图3所示。

一是采取了财政投入、支票转让、土地划转、收入上交等方式，形成财政资金空转循环方式，使土地使用权发生转移，公司获得了土地，但是财政因投入后，土地局又上缴了土地批租收入款，也没有发生多支的问题。这件事在三大公司完成了各自的开发规则、土地丈量、定级确权后，于1991年6月实施了财政空转、土地使用权实转的手续，三大公司由此解决了土地资本金问题。

图3s _DI >s 时工作系统状态转移图
Fig .3 Image of working system state transition when s _DI >s

图3中状态N 和2N 为工作系统停机状态。因为故障件维修周转导致的备件等待时间远大于安装时间,所以可以默认系统修复速率为μ 且在备件安装过程中,系统不产生故障件。此子系统的可用度可以表示为

(3)

根据图2和图3,计算备件需求率表达式为

(4)

由于故障件为瞬间拆卸,因此可以认为备件缺货时工作系统产生的故障件数量等于库存系统中处于维修周转过程中的故障件数量D ,其均值为

(5)

因为稳态时备件缺货时库存系统中处于维修周转过程中的故障件数量介于[s ,s +N ]之间,所以可以用二项分布代替泊松分布来以计算备件延期交货量。定义p 为任一部件处于维修周转过程的概率,则p 的计算表达式为

(6)

继而可以得到备件延期交货量的均值为

(7)

根据Little公式^[33]计算备件平均到达率为

(8)

(2) 部件的平均故障间隔时间服从指数分布。

2.2 库存系统维修周转过程建模

对于三维湍流流动, 主控方程为三维Reynolds平均Navier-Stocks方程, 在计算坐标系下可写为:

对于库存系统定义状态m (0≤m ≤s +N )表示其中存在的故障件个数。状态转移图如图4所示。

图4 库存系统状态转移图
Fig.4 State transition of inventory system

图4中d 为运用式(4)并根据图2所得状态概率计算所得备件需求率、T 为故障件维修周转时间均值。库存系统备件缺货的概率及库存系统备件充足的概率分别为

(9)

P (s _DI ≤s )=1-P (s _DI >s )

模型1为本文模型,模型2为文献[32]模型。根据案例1、案例2数据绘制的可用度曲线分别如图6和图7所示。

(10)

3 系统可用度计算流程图

当工作系统处于稳态时,由压缩映射原理可知系统可用度解存在且唯一,因此可以通过构造w 的柯西序列{w _i }近似得到系统的稳态可用度。具体计算流程图如图5所示。

图5 算法流程图
Fig.5 Algorithm flow chart

步骤1给定w 初值w ₀;步骤2根据式(3)计算出备件充足时系统可用度步骤3中根据式(4)得备件充足时的备件需求率d ;步骤4中根据式(9)和式(10)分别计算库存系统备件缺货概率备件充足概率步骤5中根据式(3)计算出备件缺货时系统可用度步骤6中根据式(4)得库存系统备件缺货时备件需求率d ;步骤7中根据式(7)得EBO均值;步骤8中根据式(8)计算w _i ;步骤9中判断|w ₀-w _i |是否小于等于计算精度,若判定为“否”,进入步骤10中对w ₀重新赋值进行迭代,若判定为“是”,进入步骤11中根据式(1)计算系统综合可用度。

4 示例分析

4.1 对比分析

选取文献[32]中的6部件系统作为研究对象,输入数据见表1。

表1 系统中各部件可靠性参数

Table 1 Reliability parameters of components in the system

目前我国未成年人阅读状况并不乐观，少儿启蒙教育缺失，不同地区未成年人文化服务水平参差不齐。图书馆未成年人公共文化服务实施的目的之一，就在于消除区域文化服务的不均衡性，让更多的未成年人能够享受到优质服务，切实保障他们的合法权益［5］。作为图书馆特殊的服务形式，发挥未成年人服务的文化治理功能，坚持“资源下沉、服务下移”的原则，更多地向贫困、偏远地区倾斜，依托各地区基础文化设施建设，满足更多用户的文化需求，进一步体现了图书馆服务的平等性、普惠性。同时图书馆未成年人服务，也有助于优化公共文化服务流程，丰富公共文化资源供给，促进文化服务资源的多向流动，形成完善的公共文化资源服务体系。

图6 3种计算方法下的使用可用度曲线(案例 1)
Fig.6 Usage availability curves under three calculating methods (Case 1)

图7 3种计算方法下的使用可用度曲线(案例 2)
Fig.7 Usage availability curves under three calculating methods (Case 2)

图6中,模型1计算结果比模型2更接近仿真结果。图7中,模型1计算结果明显优于模型2,且两种案例中模型1均与仿真结果更为接近。其原因在于:模型2在考虑备件缺货后,备件等待时间等于故障件维修周转时间,但实际过程中,库存系统初始备件量的增大使得备件等待时间小于维修周转时间均值。本文模型利用迭代方法,使备件等待时间不断逼近稳态值,故计算误差小于模型2,从而得到更精确的系统可用度;另外在初始库存足够多时,备件供应延误对故障件更换维修过程影响极小,故此时两模型与仿真计算结果基本相同。

选取6个1/2系统串联与案例1进行对比,其他参数保持不变,可用度曲线如图8所示。

图8N =1与N =2时的使用可用度曲线
Fig.8 Usage availability curves under N =1 and N =2

图8中可用度出现比单部件串联系统低的原因在于:由于故障件的维修周转导致备件等待时间大于系统修复时间时,多部件子系统对备件的需求相比单部件会增加,当备件的安装不足以弥补工作系统对备件的消耗时,可用度会相应减小。两种计算结果均趋向于1,只是在趋近速率上有所不同。

石门县大部分区域土壤硒含量较高，低值区仅分布在壶瓶山镇、三圣乡、维新镇以及蒙泉镇的局部区域，其余乡镇均分布有大面积富硒土壤，其中白云乡、新关镇、新铺乡以及易

随着无人机飞控系统的完善，虽然可有效保证其作业效率，但是操作不当和故障失控等问题的滋生，使无人机面临毁机和摔机风险。相关数据显示，辽宁省共有4起植保无人机碰触高压线事件，3辆无人机处于报废状态。而在此过程中，摔机引起的零部件损坏问题，导致其维修成本相对较高，几千至上万不等，二者也会增加购机户的成本投入［6］。

4.2 实例分析

假定工作系统由6个子系统串联而成,故障件维修周转时间选取威布尔分布,具体参数如表2所示。

可用度曲线如图9所示。

图9 系统使用可用度曲线
Fig.9 Usage availability curves of system

图9中,可用度曲线存在拐点,在拐点前为随库存量增大的单调递增凹曲线,在拐点后为随库存量增大的单调递增凸曲线并且随着故障件维修周转时间的减小,可用度曲线上的拐点会逐渐趋于零点。

表2 系统具体参数

Table 2 System parameter

原因在于:故障件维修周转时间相比备件安装时间长,备件供应延迟造成的备件等待时间对故障件更换维修过程影响大,可用度曲线增长速率随着初始备件量暂时增多会增大,当初始库存量足够多时,备件供应延迟对故障件更换维修过程影响变小,可用度曲线增长速率也随之减小;因此可用度曲线存在拐点;当维修周转时间减小时,相同时间间隔内,修复返回库存系统的故障件数量增大,等同于备件数量增多,故可用度曲线拐点左移。

5 结 论

本文模型利用迭代方法,使备件供应延迟时间不断逼近稳态值,在针对单部件串联系统所得结果比文献[32]模型更为精确(与仿真结果更为接近);其次,在备件数量有限且故障件维修周转时间长时,多部件子系统串联时可用度并不严格的比单部件串联时可用度高;最后,在库存备件量及维修周转时间的影响下,使用可用度曲线随着库存量的增加并不是严格单调递增的凸曲线,曲线会随着库存量的逐渐增大出现拐点,且维修周转时间越小,拐点会左移且越接近零点。

最终纳入研究的对照组40例患儿年龄为1.5-11.0岁,平均年龄为(3.21±0.52)岁,其病程为1个月-3个月,平均病程为(2.35±0.31)个月,患儿中男女分别为18例和22例。观察组40例患儿年龄为1.5-12.0岁,平均年龄为(3.43±0.51)岁,其病程为1个月-4个月,平均病程为(2.42±0.33)个月,患儿中男女分别为19例和21例。两组患儿的基本情况比较均无显著差异(P>0.05),故组间可实施对比。

在后续的研究中,该模型可以进一步推广到结构更加复杂的系统,如k /N 系统,或者适合更多不同结构组成的混联系统。

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Availability modeling of parallel -series system under influence of spare parts and maintenance turnover

ZHANG Xinbo, WANG Naichao, XIAO Boping, MA Lin

(1.School of Reliability and Systems Engineering ,Beihang University ,Beijing 100191,China ;2.National Science Key Laboratory of Reliability and Environmental Engineering Technology ,Beihang University ,Beijing 100191,China )

Abstract : Availability modeling of parallel-series system is proposed with the consideration of system structure, the number of spare parts, and maintenance turnover. Therefore, the whole system composed of parallel-series system and spare parts is divided into operation system and inventory system according to its function. By introducing the average rate of arrival of spare parts to reflect the influence of the inventory system on the operation system, state transfer relationship of the operation system is given under the conditions that spare parts are sufficient and insufficient. And the binomial distribution is used as the probability distribution function of expected backorder to calculate spares shortage probability’s, further to calculate system availability with the formula of full probability. Ultimately, the example shows that, firstly, aiming at series system, the results of the proposed model is better than those of the former model; secondly, under the influence of the number of spare parts and maintenance turnover, availability of multi 1/N system is not higher than series system and the availability curve is not strictly monotonically increasing convex curve with the increase of inventory.

Keywords : availability; spare parts; maintenance turnover; general distribution; parallel-series system

中图分类号 : V 215.7

文献标志码: A

DOI: 10.3969/j.issn.1001-506X.2019.01.31

收稿日期 :2017-12-11;

修回日期: 2018-06-12;

网络优先出版日期： 2018-12-03。

网络优先出版地址： http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20181203.0943.018.html

作者简介 ：

张新博 (1994-),男,硕士研究生,主要研究方向为可修系统建模和备件优化。

E-mail:zxb666@buaa.edu.cn

王乃超 (1978-),男,讲师,博士,主要研究方向为保障效能分析和综合保障工程。

苔藓和地衣下面的冻土层好比是北极的一座天然冰箱，寒冷的气候冷冻了土壤，也顺带冷冻了土壤里的各种有机物。然而，由于人类活动导致的全球气候变暖，使得冻土和周围的海冰逐渐融化。土壤中的微生物被释放出来，参与化学反应，向大气释放二氧化碳、甲烷等气体，而这些气体反过来又加速了全球气候的变暖。也许你会说，天气变暖，驯鹿迁徙的路就不那么难走了，可出人意料的是，天气变暖会让驯鹿饿肚子！

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肖波平 (1968-),男,高级工程师,主要研究方向为综合保障工程和可靠性信息系统。

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马 麟 (1974-),男,高级工程师,博士,主要研究方向为系统工程、综合保障工程及维修性工程。

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