公理化真理论研究新进展，本文主要内容关键词为：公理化论文,理论研究论文,新进展论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
公理化真理论(axiomatic theory of truth)兴起于20世纪80年代，其核心思想是把“真”作为一个初始的谓词，直接添加到一种基础理论(base theory)的语言中，并以若干刻画真概念基本事实的语句作为公理，对基础理论进行扩充。这里所谓的基础理论是一种句法理论(syntactic theory)，用于提供研究真概念所必需的精确而严格的形式语言。公理化真理论以克服说谎者悖论及其各种变体为目标，在系统研究真概念的功能和规律的基础上，逐渐形成了四大理论①，本文称之为“经典理论”，分别是：去引号理论(disquotational theory，记为DT)、经典组合理论(classical compositional theory，记为CT)、“弗里德曼-希尔德”理论(Friedman-Sheard theory，记为FS)，以及“克里普克-费菲曼”理论(Kripke-Feferman theory，记为KF)。其中，DT以塔尔斯基双条件句(Tarskian bi-conditional)的所有实例为真公理(axiom of truth)；CT是通过对塔尔斯基真之语义定义的递归说明进行公理化而得到；FS取消了CT中真谓词受到的层级限制；KF则是对克里普克语义理论的公理化。前两种理论的真谓词只能作用于基础理论的语句，称为类型理论(typed theory)；后两种理论则允许真谓词作用于本身已包含真谓词的语句，称为无类型理论(type-free theory)。经典理论的主要特征是，以皮亚诺算术PA为基础，注重真理论的构建和元理论研究，其成果十分丰富。但经典理论亦各有不足：DT缺乏足够强的演绎力；CT面临因坚持语言分层而导致的真谓词层级上的无穷倒退；FS不适合PA的标准解释，因而是“ω-不相容”的；KF的内、外逻辑不一致；等等。然而不可否认，公理化方法相比语义方法仍然有很多优势。②2012年以来，对公理化真理论的研究在多个方向上取得了新的进展，本文将对这些新成果进行梳理，并予以评析。 一 基础理论从PA到集合论的推广 2012年，藤本(Kentaro Fujimoto)在论文《集合论上的类与真》③中，首次以“策梅洛-弗兰克尔”集合论ZF为基础，重新构造了经典理论。 与经典理论相同，藤本仍然是通过把真谓词T添加到ZF集合论的语言
=｛∈｝中，从而得到真理论的语言
。我们知道，谓词与算子的区别在于，算子是通过作用于语句本身而得到新的语句，谓词则是通过作用于语句的名字而得到新的语句。在经典理论中，T谓词是作用于语句的哥德尔编码，在集合论中，也需要定义出类似的语句编码。藤本所采取的方法是：首先为每个集合x定义一个集合常项
，用以表示该集合的名字，比如根据德弗林(Keith J.Devlin)的定义，集合x的集合常项可以定义为＜3，x＞；④然后通过给
中的所有符号以固定的编码，从而确定出
语句e的哥德尔编码
。
应该说，藤本并没有得到多少全新的结论，他只是把过去以PA为基础的经典理论移植、推广到了ZF集合论上，并且他所证得的定理都对应于经典理论在PA上已取得的成果。但是，藤本工作的意义在于说明了以集合论为基础理论的可能性，并且迈出了在集合论中研究公理化真理论的第一步。从真理论的发展来看，这样的一步是十分必要且重要的，因为哲学家们求“真”的最终目标是要弄清自然语言的真概念，而公理化真理论需要在比PA更具包容性的语言中接受考验。 二 组合性原则的弱化处理 组合性(compositionality)是一条基本的语义原则，它的意思是说：在某个语言L中，复杂表达式e的语义值是由其句法组成模式和组成成分的语义值决定的。比如，就真概念来说，当人们不清楚语句A∧B的真假时，便可设法通过确定其成分语句A和B的真值，以及通过合取联结词的逻辑含义来间接地确定A∧B的真值。真概念的组合性对于日常的语言实践是十分重要的。为此，莱特戈布(Hannes Leitgeb)在《真理论应该是(却无法是)什么样》⑤一文中，把真概念的组合性作为“令人满意的真理论所应当具备的八个标准”之一。 在公理化真理论的构建中，组合性同样是需要坚持的标准。经典理论的CT、FS和KF都满足组合性的要求。例如，前文提到的CT
ZF
，其公理所体现的正是真概念的组合性。但是从公理的复杂程度看，CT、FS和KF都不如DT简洁。DT是把塔尔斯基双条件句的所有实例作为公理添加到PA中，即公理模式(T)。然而如前所述，DT缺乏足够强的演绎力，以至于它虽然能够证明模式(T)的所有实例，却无法证明与之相应的全称量化语句。因此，DT的弱演绎力使得它无法满足CT的经典组合公理，也就使得DT作为最直观和自然的公理化真理论顿时黯然失色。 2013年，埃德尔(Günther Eder)在论文《组合性与弱公理化真理论评论》⑥中，提出了削弱组合性原则的想法。埃德尔认为，虽然从内容上看，按照组合性原则的表述，组合公理必须表达为全称量化语句，但是从实际效果上看，将其弱化地表达为公理模式也未尝不可。例如，CT的组合公理
，将其弱化成模式就变为
，很明显，
仍然能够体现组合特征。这就好比在表达PA的归纳公理时，为避免使用二阶量化语句，我们可以用一阶公理模式来表达，且不会造成归纳原则失效。不难验证，DT可以证明
。但是对于CT的量词公理
的弱化版本
，DT同样无能为力。这就说明，确实可能存在介于DT和CT之间的弱组合理论。埃德尔发现，那个通常是被忽视了的所谓一致去引号理论(uniform disquotational theory，记为UDT)恰是这样一种弱理论。UDT以模式(UT)为真公理，是与DT同样直观和简洁的理论，但比DT更具普遍性，而更为重要的在于它能够满足真概念的组合性要求。 弱组合理论并不是单纯通过从技术上把强组合理论(CT、FS、KF)的公理进行弱化处理而获得，它要寻找一种像UDT那样能够在某种程度上兼具DT和CT的优点，既能满足弱组合性，又具有简洁性的理论。从这种意义上说，弱组合理论是值得进一步研究的。埃德尔所研究的只是一种类型的弱组合理论，但是从真理论的发展来看，无类型的弱组合理论将更有研究的价值。 三 直觉主义逻辑上的新尝试 为克服语义悖论，并最终提供一个无矛盾的真概念，哲学家们通常需要对真概念作一些限制。一般说来，可以有三种方式：限制语言、限制逻辑、限制真原则(principle of truth)。限制语言的典型代表是塔尔斯基的语言层次理论；关于限制逻辑，费菲曼认为，除了经典逻辑和直觉主义逻辑，其他逻辑恐怕“连普通的推理都难以维系”，⑦因而代价过于沉重；限制真原则乃是最常见的做法。 早在1987年，弗里德曼和希尔德就曾详细地考察过基于经典逻辑的12条可接受的真原则，并形成了关于这些原则的9个极大相容组合。⑧著名的FS理论就是从这9大组合中脱颖而出的。2010年，利(Graham E.Leigh)和拉特延(Michael Rathjen)给出了这9大组合的证明论强度。⑨但是对于不相容的组合，他们注意到，其不相容性的证明大多是因为依赖了经典逻辑，而不是因为真原则本身，所以不应该急于抛弃这些不相容的组合。对此，利和拉特延在2012年的论文《直觉主义逻辑中的弗里德曼-希尔德方案》⑩中，重新考察了真原则的各种可能组合。在新的逻辑背景下，他们以海廷算术HA为基础理论，一共提出了15条可接受的真原则。通过使这些原则与HA相结合，最终得到了15个互不等价的极大相容组合。 这一结果初步表明，基于直觉主义逻辑的真理论研究将有着很大的拓展空间。目前，该方向进一步的研究可以从两个方面展开：一是给出这15个极大相容组合的证明论强度，也即是尽可能地找到与之等价且较为人们熟知的数学理论；二是将其彻底地公理化，按照公理化真理论的框架进行系统的研究。从真理论的发展来看，第二个方面尤为重要。虽然经典逻辑始终是真理论研究的首选，但直觉主义逻辑却能为我们提供审视真概念的另一个平台。毕竟我们所要探究的乃是真概念的功能和规律，所以真概念在经典逻辑基础中暴露出的每一个问题，都有必要换一个基础再行检验。这样才有利于我们区分出哪些问题是源自于人们对真原则直观把握的漏洞，哪些问题则是源自于真概念之外。更何况，直觉主义逻辑不会面临费菲曼的担忧。 四 基于公理化真理论的模态理论设计 研究公理化真理论，固然有其重要的哲学意义，但是得到一个严格而精确的真概念，究竟能有怎样的实际应用呢?在本领域过去近30年的研究中，应用问题一直无人问津。2014年4月，斯特恩(Johannes Stern)的两篇系列文章《模态性与公理化真理论》(11)终于填补了这一空白。 在哲学逻辑中，算子和谓词都是表达模态概念的可能方法，且通常的研究更倾向于采用算子方法。但斯特恩认为，谓词方法的表达力强于算子方法，至少是强于标准的算子方法，而且“真”与“模态”同为语法概念，理应同等处理。然而，当我们在谓词背景下重新表达模态算子逻辑的基本原则时，我们很容易陷入悖论。比如，以谓词方法重述模态公理
重述必然化规则
。根据蒙塔古定理(Montague’s theorem)，(12)以上两个谓词表达式是不相容的。过去之所以不采用谓词方法，最大的困难就在于此。但斯特恩认为，这并不意味着谓词方法会使直观的模态原则失效，而是因为我们不恰当地赋予了模态谓词以去引号的功能。因为很明显，在上述模态公理和规则的谓词版本中，其中一个
是位于引号中的，另一个才是
本身。而去引号只是真谓词的功能。所以，斯特恩提出了一种用谓词方法构造模态理论的一般性策略：一个处于引用形式中的语句，想要与对该语句自身的断言进行转换，只能通过真谓词来间接地实现。比如，上述模态公理和规则可以分别表达为：
。如此，模态概念导致悖论的可能性就被消除了，故而只需确保真概念的无矛盾性。而这样的真概念恰能由公理化真理论提供。 斯特恩以PA为基础理论，以FS为基础真理论，把由两个一元谓词“T”和“N”扩充之后的PA语言
作为模态理论的语言。接下来，按照一般性策略的要求，斯特恩改造了模态算子逻辑的公理(K)、(T)、(4)、(E)及规则(Nec)，并将它们连同其他一些必需的技术公理添加到已被
重新表达过的FS中，从而得到了模态FS理论(简称MFS)。从MFS的构造过程来看，它十分类似于模态算子逻辑S5。那么，如果MFS是一种令人满意的模态理论，它就应该能够通过某种翻译保持S5的定理集。对此，斯特恩的做法是在PA之上重新表达S5(即得到所谓的PAS5)。 在MFS的语义学方面，斯特恩把FS的修正语义学(revision semantics)和模态算子逻辑的可能世界语义学相结合，提出了模态修正语义学(modal revision semantics)，从而给出了MFS的真谓词和模态谓词的合适解释。基于FS的模态理论MFS的成功建立，只能说明斯特恩策略确实具有可行性；而基于KF的模态理论MKF的再次成功，则说明了斯特恩策略的确具有广泛的适用性，因为FS和KF是两种完全迥异的公理化真理论。 斯特恩的工作向我们展示了公理化真理论的一个实际应用。但不得不承认，斯特恩所构造的模态理论太过于复杂，并不利于更进一步的研究。虽然谓词方法的表达力可能最终会强于算子方法，但算子方法的简洁性却使得其实用性远远超越于谓词方法。时至今日，模态算子逻辑已经有了非常广泛的用途，对哲学、逻辑学、数学和计算机科学也产生了十分积极的影响。很难想象，一种复杂的模态理论还会像现在这样受到青睐。更何况，斯特恩的工作本身就依赖于一个有待商榷的前提：应该同等地对待各种不同的语法概念。然而，不同的语法概念其实际作用是不尽相同的。不过，我们还是应该看到，斯特恩的工作仍然具有重大的理论意义。因为它很好地说明，真概念何以称得上西方哲学的基本概念，而追求一种精确严格且无矛盾的真概念又是何等重要。这就好比，尽管我们完全没有必要真正用纯粹的公理集合论重建微积分，但这并不能否认“公理集合论可以作为数学分析的基础”这一事实。 总的来看，公理化真理论的最新研究已经不再局限于公理体系本身的构建，而是开始向多个方面拓展开来。虽然在这个过程中伴随了新系统的诞生，但我们却应更多地留意它们背后的哲学动因。从基础理论向集合论的推广，这是哲学家们求“真”的最终目标使然；弱化组合性原则，其实是希望真理论的形态能够更加贴近直观；直觉主义逻辑上的新探，归根结底是对每一条可接受的真原则保持审慎的态度；而基于真理论的模态设计，则是为了彰显“真”作为基本哲学概念的理论地位。 公理化真理论的发展，不可能只是单方面受到形式化理论发展动力的驱使，它还需要不断地在哲学中吸取养分。因为真概念毕竟不同于其他公理化理论的初始概念。虽说我们可以做到视之为“初始”，但它却无时无刻不与其他哲学问题紧密相连。所以，我们真切地希望公理化真理论能够受到哲学界更加广泛的关注。 注释： ①李娜、刘大为：《公理化真理论研究述评》，《哲学动态》2012年第8期。 ②L.Horsten,The Tarskian Turn:Deflationism and Axiomatic Truth,MIT Press,2011,pp.19-22. ③K.Fujimoto,“Classes and Truths in Set Theory”,Annals of Pure and Applied Logic,163,2012,pp.1484-1523. ④K.J.Devlin,Constructibility,Springer,1984,pp.31-44. ⑤H.Leitgeb,“What Theories of Truth Should be Like(but Cannot be)?”,Philosophy Compass,2(2),2007,pp.276-290. ⑥G.Eder,“Remarks on Compositionality and Weak Axiomatic Theories of Truth”,Journal of Philosophical Logic,2013,URL:http://link.springer.com/article/10.1007/s10992-013-9279-1. ⑦S.Feferman,“Toward Useful Type-free Theories Ⅰ”,Journal of Symbolic Logic,49(1),1984,pp.75-111. ⑧H.Friedman and M.Sheard,“An Axiomatic Approach to Self-Referential Truth”,Annals of Pure and Applied Logic,33,1987,pp.1-21. ⑨G.E.Leigh and M.Rathjen,“An Ordinal Analysis for Theories of Self-Referential Truth”,Archive for Mathematical Logic,49(2),2010,pp.213-247. ⑩G.E.Leigh and M.Rathjen,“The Friedman-Sheard Programme in Intuitionistic Logic”,Journal of Symbolic Logic,77(3),2012,pp.777-806. (11)J.Stern,“Modality and Axiomatic Theories of Truth Ⅰ:Friedman-Sheard”,“Modality and Axiomatic Theories of Truth Ⅱ:Kripke-Feferman”,The Review of Symbolic Logic,FirstView Articles,2014,URL:http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9219535;http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9219538&fulltextType=RA&fileId=S1755020314000069. (12)R.Montague,“Syntactical Treatments of Modality,With Corollaries on Reflection Principles and Finite Axiomatizability”,Acta Philosophica Fennica,16,1963,pp.153-167.
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