数学活动理论探求与实践反思，本文主要内容关键词为：理论论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
现今教育研究中对“活动课程”盲目的推崇之风已经逐步消退，这种消退在理论和实践中都有其必然性.但是活动课程毕竟产生了很大的影响，在数学教学中的突出体现是课程与教学领域对数学活动经验的关注越来越重，到底什么是数学活动？本研究试图探求其理论框架与现实意义.
一、理论探求
在课程领域中，活动课程与学科课程是截然对立的两种课程形式，这种对立仅仅是学术界争论之下的一种表象，实际课程实施中两者是相互依存的，脱离学科知识的活动课程只在德育教育中存在，不依赖于学生活动的课程也因其教育失效而一定受到抵制.课程与教学一定离不开学生活动，以活动为主线或以讲授为主线，这是不同教学流派分歧的主要体现之一.有学者指出，讲授并非脱离活动，就学生的思维活动而言，讲授法中仍十分重视师生合作活动[1].无论是直接经验的获得还是间接经验的获得，只有使学生亲历活动，才能真正将知识内化为学生自己的经验.因此，活动是课程内容不可缺少的一部分，活动是向学生传授作为课程内容的学科知识的媒介，是体现学生主体地位的方式，是教与学目标达成的主要途径.
对数学活动的定位不可简单化地由活动的概念类比而来，数学活动不仅限于调查、实验、生产、制作等活动，也不仅限于学生对客观事物进行动手操作.学生个体的实践操作或群体的合作交流是数学活动的一种形式，学生进行数学知识体系内部的探索也是数学活动的一种形式.丁尔陞认为“数学活动”即把实际问题转化为数学问题，把数学问题逐级模式化、形成数学理论系统，从而形成数学能力和数学观点、获得数学素养[2]；这样的界定可以说是数学活动最理想的形态，它有助于增进我们对数学活动的认识，但是由于没有涉及具体的数学活动内容，对实际的数学教学缺乏明确指导.
活动是十分复杂的过程，数学活动的目的、参与者、对象、方式等诸方面构成错综变化的复合体.综合考查数学活动的特征，本研究尝试将其分为两个层面：数学活动包含理论探究和实践操作，即数学思维活动和数学实践活动.一方面是在数学领域内的思维发展活动，通过活动学生对数学问题有充分的认识和分析；另一方面是指学生在现实生活中研究数学，可以是从生活中提取问题，运用所学数学思想解决问题，也可以是在现实生活中发现数学规律.正如数学教育家波利亚指出的：“数学具有两个面，以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学.”[3]理论与应用的两重性在很多学科都存在，中小学阶段，数学的理论性与应用性的并重十分突出，在数学思维活动中可以出现必要的实践，在实践活动中也不能缺少思维参与.数学活动有形或无形地存在于数学教学之中，与其说数学活动是数学与活动的有机结合，不如说数学活动是数学与教学的必然产物.
二、数学思维活动的现状与反思
数学思维活动的特征是以数学符号为载体，通过抽象、概括、演绎、归纳、分析、综合、反省等进行的头脑中的操作活动.我们常说数学教学是思维的教学，因此思维活动在数学中必然已经受到非比寻常的重视，但现实情况中，思维活动在数学课程中所处的地位如何？课堂上进行的是真正的思维活动还是伪思维活动？下面以“二元一次方程组的解法”教学为例进行分析.
1.数学思维活动教学案例
教学中，教师常用如下的方式来进行二元一次方程组加减消元法的教学：
此外，通过观察我们发现，如果直接将两式相加，①+②，-y与y抵消，就可以消去y，得到5x=10，这样的过程将二元方程简化为一元方程，从而得到方程组的解.
这种方法叫做加减消元法，对于解决某些类型的二元一次方程组十分方便.
此过程在一般人看来十分正常，认为方程组解法的教学不过如此.但研究了学生实际的思维活动后会发现问题并非如此简单.虽然思维活动属于意识层面，不易把握和控制，但其必然会表现为一个过程，通过适当的方式可以将这个过程显性化.在一次课堂教学中，北京市昌平区姬老师对学生进行开放式的教学，在给出了方程组后，不是直接呈现加减消元法的过程，而是设计了学生提出问题、师生共同回答、学生讨论等环节，给学生充分的空间对加减消元法进行研讨.该环节在一定程度上折射出了思维活动的真实情景，放大了学生的思考过程.在此过程中，学生提出的各种各样的问题可归纳为以下几类：
（1）会了代入消元法就可以解决此问题了，为什么还要找其他方法？
（2）有学生提出“①②两式含有-y与y，两式相加就可以消去y，只剩下5x”之后，其他学生提问：两式能相加吗？我们只学过等式两边同时加上一个数，等式仍成立，但没有试过两式相加.
（3）如果两个等式可以相加，那么两个不等式可不可以相加呢？
（4）什么情况下用加减消元法？这道题是两式含有-y与y，可以相加；如果y的系数互为相反数，也可以相加；如果y的系数相等，则可以相减消元；那么如果字母系数绝对值不相等，该怎么办呢？
认真思考可以产生很多为什么，但在日常教学中教师常常忽略学生的思维，仅仅是将解题方法教授给学生，并在学生运用方法上起到督促作用，这样的运用只是机械运用，最终结果只能培养出善于模仿的学生.要记住不少数学公式、数学法则对很多学生来说可是头疼不已的呀！
姬老师在课堂上鼓励学生思考讨论上述问题，在教师的引导下，全班同学作了如下探讨：
问题（1）：举例解释代入消元法的局限性.
问题（2）：考虑将“两式相加”问题转化为已学过的“等量加等量，和相等”问题.将②式记为3x+y=7=T，在①式等号两边同时加上T，等式仍成立.即2x-y+T=3+T，T既可以代表3x+y，又可以代表7，它们是一对等量，代入式中得到2x-y+（3x+y）=3+7，即可消去y.这个过程简记为①+②，但不表示将两式相加.
问题（3）：上述方法的依据是等式的基本性质，在不等式中，我们可以尝试证明结论仍然成立，或举出反例说明结果不成立.
这组解必定同时满足①③两式，由于③式与②式是同解的，因此这组解也同时满足①②两式，即它是原方程组的解.
数学定理或数学方法的形成需要理解，每一步都是在前面学习基础上发展起来的，没有不能解释的定理，只有学生清楚了知识的来源，才能避免生硬记忆带来的负面效果.数学知识可以直接接受，也可以由已有认知逐步生成.在数学教学中，无论是教科书的设计还是教师的课堂生成，都缺乏对数学知识形成过程及深层思考的重视.
2.启示与反思
结合理论的梳理和实践的积累，研究者认为数学思维活动教学中应注意以下几点：
第一，要进行真正的思维活动，而不是伪思维活动.
活动内容要具有一定的探索性和新异性，容易引发学生的好奇心和求知的动力.要留给学生充分的思维空间，为此，教师设置的问题要适当开放，以激发学生的创造思维和发散思维，刺激学生产生有意义的数学思考.面对一些有难度或容易混淆的问题时，如果教师急于给出解答，很容易造成学生的思维活动沦为“伪思维活动”，如上述问题（2），对这个问题的认识是掌握加减消元法解法的基础，应鼓励学生思考该解法与等式的基本性质的联系.要相信学生的潜力，使之借助于观察、尝试、归纳、类比、概括等活动开展完整的思维探索，完善学生认知结构.数学思维活动中要以学生为主体，鼓励学生独立思考、主动思考.
第二，要充分发挥数学交流的作用.
问题解决的四个重要组成部分是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，数学交流可以促进问题解决的有效达成.在上述教学案例中，教师鼓励学生向全班同学提出疑问，再通过一定的师生互动及生生讨论来分析问题的前后联系，找到解决问题的依据.按照斯滕伯格的理论，数学思维分为分析性思维、创造性思维和实践性思维.有的学生善于分析性思维，他们在通常的学业测试中会取得较好的成绩；有的学生善于创造性思维，他们在提出问题和方法的突破上会有所长；有的学生善于实践性思维，在数学定理的认识中会找寻示例来促进理解.在学生的相互交流中，三种不同的方式都会出现，彼此启发或弥补，从而使得数学思维活动兼顾三种思维的培养.学生的思维交流十分有价值，在进行数学活动的教学时，是独立操作，还是集体研究或小组讨论？是先独立研究再相互交流，还是带着问题看书自学？这与数学思维活动的内容特点和问题情境的难易程度有关，教师可以合理安排.
第三，探究活动的目的是同时获得过程性经验和结果性经验.
通过初中阶段对二元一次方程组解法的学习目标落实在掌握方法和运用方法上，而上述教学案例中教师将教学重点放在学生对解法的理解上，意在突出知识探索的过程，使学生对解法的认识更全面深入，在思考的过程中积淀数学活动经验.数学活动教学的目的是在问题的解决过程中培养学生的数学能力，获得过程性经验和结果性经验.因此，教师要在数学问题解决后的总结时，将触发思维的因素进行外显化，如你是怎样想到的？是什么使我们这样想的？为什么这样想？将引导思维的思想方法、思维策略进行提炼，上升为数学思维活动的过程性经验，让学生学会思维，提高提出问题、自我探索、灵活运用和发现创造的能力.
第四，合理把握数学思维活动中教师的引导作用.
数学活动既强调学生的主体地位，也重视教师的指导作用.从建构主义观点看，问题是为知识系统和认知结构的建构准备的素材和创设的情境，而活动是建构的操作过程，建构的过程必须是探索、发现和创造的过程，其主体当然是学生.因此，只要学生有能力通过活动解决的问题，就尽可能让学生独立地完成，教师加以总结提升.遇到有一定难度的问题，教师可作适当引导和启发，或让学生之间互相讨论，进行信息交流.启发重在引导而非灌输，重在激励而非压制学生，重在给学生点拨而非代为理解.例如在上述教学案例中，学生认识解法的实质性难点为两式相加的意义是什么，处理这一难点的过程突出体现了教师的引导作用.在学生可能会产生疑惑的地方给学生留白，鼓励学生提出质疑，这体现了教师的引导；学生的回答不到位时，给予提示或追问：“这里的两式都是等式，关于等式与加法，你能想到我们已学的什么知识？”这也体现了教师的引导；在学生体会到“两式相加”与等式的基本性质的联系时，及时总结：“两式相加只是形式，其本质仍是等量加等量，和相等.”这也是教师的主导的体现.
三、数学实践活动的现状与反思
1.数学实践活动的形式
数学实践活动的形式多样，且互相渗透，相互联系，常见的数学实践活动有以下几种形式：
（1）数学课题学习
课题学习作为初中数学内容领域之一，是一种新型的教学模式，它将生活中的数学与课堂上的数学联系起来，为研究性学习提供了课程平台，对培养学生的创新意识与实践能力有较强的促进作用.学生在进行课题学习的过程中，能够接触到一些有探索价值的题材和方法，有利于学生全面认识数学、了解数学，使数学在学生的生活中发挥重要的作用.
（2）数学建模
数学建模是寻求建立数学思想模型的方法的过程.数学建模可以看成是问题解决的一部分，它的作用对象更侧重于非数学领域，但需用数学工具来解决的问题.如来自日常生活，经济、工程、理、化、生、医等学科中的应用数学问题.数学建模对培养学生的数学应用意识、数学思维能力和数学品质都具有重要作用.
（3）数学实验
数学实验是指为了获得某些数学知识、形成或检验某个数学猜想、解决某类数学问题，学生应用有关工具（如测量工具、作图工具、实物模型以及计算机等），在数学思维活动的参与下进行数学验证或探究活动.数学实验的特征是实际操作，它对锻炼学生的动手能力、提高数学研究意识都有很大帮助.
（4）数学主题阅读
数学主题阅读指学生在教师的指导下就一个确定的数学内容或主题自主地进行阅读学习，并达到一定的阅读目标的过程.其意义在于培养学生合理有效地寻找信息、加工信息、利用信息、表达信息、分享信息的能力，使学生能实现对数学的全面认识和自我的可持续发展.
2.数学实践活动实施现状调查
《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“综合与实践”定为数学四个领域之一[4]，凸显数学实践活动的重要性.它对教师来说是一个挑战，这种挑战体现在教师经验不足和资源匮乏上，同时更考察了教师的知识和综合能力.数学实践活动所学习的内容涉及生活中的各个方面，因此需要教师不断提高自身能力，不断完善，掌握不同学科的内容和生活中的知识，即教师的知识面要宽并且要与时俱进.这种新的教学方式体现了一种新的教学理念，但在具体实践中也存在着许多困难.
为了解初中教师对数学实践活动的看法，笔者走访了一些一线教师，通过问卷方式了解他们的看法.设计的问卷包括15道选择题和1道开放性问题，内容涉及：教师对数学实践活动的认识、实际教学中数学实践活动的实施情况、实施效果、推广中所存在的问题及数学实践活动的发展趋势等.此次调查问卷共发放30份，被调查人员为来自北京市海淀区的5所学校，包括一所示范校、一所薄弱校和三所普通学校.教师中教龄最长的36年，最短的1年，平均教龄11.55年.教龄在10至20年的所占比例最大，有15位教师.对部分问题的分析如下：
当被问及“您一学期会开展多少次数学课题学习、数学建模、数学实验、数学主题阅读等数学实践活动”时，选择“不会开展”的有26.7%，“开展三次或三次以上”的有23.3%，一半教师每学期开展一次或两次.在和教师的访谈中我们发现，有个别教师并不清楚课题学习是数学课程的必要组成部分.还有些教师表示，虽然教科书上有课题学习，但很多学校不会将这部分内容纳入教学计划中.即使是有兴趣开展数学实践活动的教师也表示次数不宜过多.
当被问及“不组织开展数学实践活动的主要原因”（多项选择）时，选择“中考压力大，时间紧，害怕影响教学进度”的教师占90.0%；有40.0%的教师认为是因为学生基础薄弱，不易开展；33.3%的教师认为教师知识面及能力不够，不知如何开展数学实践活动是主要原因之一.教师一致认为数学实践活动难以推进的原因并非是学生对其不感兴趣、开展意义不大或学校不支持开展.可见，诸多影响数学实践活动开展的因素中，中考压力是最主要的原因.
对问题“您认为成功开展数学实践活动，最重要的一点是什么”，56.7%的教师选择“成功开展数学实践活动，最重要的一点是选择难度适中，且能激发学生兴趣的好课题”.还有一些教师认为充足的时间保障是比较重要的.教师们没有把“学生基础扎实，思维活跃，有较强的学习能力”和“学校或教研组的支持”作为成功开展数学实践活动的重点.可见在这个问题上，活动内容的选择是教师们首先考虑的问题，有了合适的素材，教学中的种种问题才能够得以解决.在对部分教师的访谈中有的教师也表示，中考压力的影响虽然是数学实践活动开展的最大阻力，如果教科书中能够提供更具有指导性的教学材料，数学实践活动一定会更加受到重视.现在教科书中的内容比较空泛，大多数教师缺乏合理开发及利用教科书资源的能力，自己再去搜集资料创设活动更是要投入大量时间.因此，素材的提供是数学实践活动推广的首要问题.
3.启示与反思
数学实践活动可以培养学生的应用意识和创新意识，结合现状调查与对实践的反思，本研究对有效开展数学实践活动提出以下几点建议：
第一，数学教学观的转变是开展数学实践活动的首要保证.
教师们认为中考压力是阻碍数学实践活动开展的主要原因，这令数学实践活动在教学中陷入尴尬的境地.实际上，数学教育的目标绝不仅限于学生对数学基础知识、基本技能的掌握，也不仅限于学生对数学方法、数学思想的运用，还包括提高学生的综合实践能力、加深对数学的意义的理解.如果教师将数学教育的目标定位于升学考试，那么必定会忽视实践能力的培养.但是如果将目标定位于学生的发展，就会认识到开展数学实践活动的必要性.同时，这一目标与升学考试并不冲突，对数学意义的进一步理解能够促进学生的数学学习，提高考试中的表现和竞争力.
第二，数学实践活动的选题要有数学探索性.
没有数学探索性的活动在数学课程中是没有意义的，数学实践活动可以从数学学科内部与数学文化中寻求情境源，也可以从日常生活实际与社会文化事件中提炼情境源，还可以从其他学科中提取情境源，总之都不能与数学学科相脱节.数学知识来源于生活，其形成过程一定以活动为基础，从生活问题提升为数学问题是抽象化的结果，所建立起的数学模型一定高于生活问题.对于学生来说，数学实践活动应具有一定的难度，与所学数学内容相辅相成，使学生能够认识到数学与生活的联系，又能感受到解决数学化问题时需综合运用所学数学知识，灵活选取所学数学方法.
第三，数学实践活动要保证合作性.
数学实践活动所达到的目标之一是发展学生合作获取知识和技能的能力.学生在活动中形成积极的相互促进关系，每位成员都要通过交流、互助、鼓励、质疑、讨论、解释等手段与他人共同进行探索，学生有可能体会不同的分工角色，在学习任务中的相互交流能够促进他们认知水平的提高.
第四，合理把握数学实践活动中教师的引导作用.
在活动设计阶段，需要教师根据学生已有认知水平确定活动目标，选择适宜的活动内容；在活动准备阶段，教师要做好物质准备，并对学生阐明活动的目的、形式，激发学生学习的兴趣；在活动实施阶段，由学生独立完成或师生共同完成，教师要及时、深入地了解学生在问题解决中的表现，给予必要的帮助、启发、激励；在活动总结阶段，教师要帮助学生进行抽象概括，实现理论上的提升，形成新的认知结构.
实践活动中，讲授是必不可少的，如果没有教师的讲授，那么实践活动就不能成为教学活动，而只是学生的自由活动，失去了其教育价值.
第五，数学实践活动不宜过于频繁.
数学实践活动只是数学教学辅助方式，它可以帮助学生增进数学理解，是数学课程不可缺少的一部分，但若过于频繁将易导致学生系统知识的零碎化，失去数学的理论探究韵味，故需要适度.
数学教学需要数学活动，结合具体内容设置合理的数学思维活动和数学实践活动体现了教师的教学能力和专业素养，教师要提高学生参与数学活动的深度和广度，为学生的数学发展创设良好环境.
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