汤敏[1]2003年在《寻找关于前几个素数基的强伪素数》文中指出定义ψ_m为关于前m个素数基的最小强伪素数。如果知道了ψ_m的准确值，那么对小于ψ_m的整数n，我们就有了一个确定性素性测定算法，它不仅容易实现而且比Jacobi Sum测试和椭圆曲线方法都要快。Pomerance等(Math. Comp.,Vol 35, 1980, pp. 1003-1026; MR 82g: 10030)和Jaeschke(Math. Comp., Vol. 61, 1993,pp. 915-926; MR 94d: 11004)给出了ψ_m(1≤m≤8)的准确值及ψ_9，ψ_(10)和ψ_(11)的上界。因此，目前流行的数学软件包都是以强伪素性测定(Miller测试)方法为主并伴以一些辅助测试，来判定大整数是否素数。对于较小的数，例如小于某个已知准确值的ψ_m，它们的测定结果是正确的，但对较大的数就有可能出错，尽管出错的概率很小。Arnault(J. Symbolic Comput., Vol. 20, 1995, pp. 151-161; MR 96k: 11153)就构造过四个被Maple V．2误认为是素数的合数，其中最小的为十进制29位数。张振祥(Math. Comp., Vol. 70, 2001, pp. 863-872; MR 2001g: 11009)用四次剩余特征和叁次剩余特征为主要工具找出了所有小于10~(24)的关于前9个或10个素数基的K2-，K3-，K4-强伪素数，即具有形式n=pq其中p，q是奇素数，且q-1=k(p-1)，k=2，3，4的强伪素数，结果把ψ_(10)，ψ_(11)的上界从十进制28位和29位降为22位数，并得到了ψ_(12)的一个24位上界。 本文接着张振祥的工作，继续用四次剩余特征和叁次剩余特征为主要工具，又找出了所有小于10~(24)的关于前5个或6个素数基的K4／3-，K5／2-，K3／2-，K6-强伪素数，其中有157个被Maple V．2误认为是素数的合数，最小的只有十进制16位，比Arnault的四个例子小得多。此外，本文得到的这些强伪素数启发我们得到了降低ψ_9，ψ_(10)，ψ_(11)上界的一种新思路，在张振祥和汤敏合作的论文(Math. Comp.,to appear)中，ψ_9，ψ_(10)，ψ_(11)的上界从十进制20位数和22位数降到了19位。
刘先蓓[2]2006年在《几个同余式的解及其在素性测定中的应用》文中提出本文的主要工作包含两部分。第一部分关于整数环Z上的同余式2~(n-2)≡1 mod n的解。加拿大数学家Richard．K．Guy在他的名着《Unsolved Problems in Number Theory》的第二版(1994)和第叁版(2004)中都提到问题：同余式2~(n-2)≡1 mod n是否有个位数字为9的解?本文先表列出我们用计算机在区间[3，3037000499]上搜索得到同余式2~(n-2)≡1 mod n的所有的解，共有31个，其中只有一个解的个位数字是9，它是叁个素因子之积。然后根据张明志给出的关于这个同余式解的一个充要条件，运用试除法、Pollard ρ、Pollard p-1等整数分解方法找到另一个个位数字是9的解，一个12位数，两个素因子之积。 第二部分是整数环Z的扩环上的同余式在素性测定中的应用。张振祥[Mathematics of Computation，71(2002)，1699-1734．MR 2003f：11191]给出了单参数二次基概(伪)素数和强概(伪)素数的定义。设u(＞2)∈Z，并记T_u≡T mod(T~2-uT+1)。则同余式T_u~(n-ε)≡1 mod n的正整数解n就称为对基T_u的单参数二次基概素数，简记prp(T_u)，这里ε=((u~2-4)／n)∈{1，-1}，符号(*／*)均表示Jacobi符号。而同余式T_u~q≡1 mod n或对某个r(0≤r＜k-1)，同余式T_u~(2~rq)≡-1 mod n的正整数解n就称为对基T_u的单参数二次基强概素数，简记sprp(T_u)，这里n-ε=2~kq，q为奇数。显然，素数都是(强)概素数。(强)概素数中的合数称为(强)伪素数，记作psp(T_u)(spsp(T_u))。另外张还以单参数二次基概素数和强概素数为基础给出了单参数二次基概率素性测试(OPQBT)，即对一个非平方数测试其是否为sprp(T_u)和sprp(T_ν)，这里((u~2-4)／n)=-((v~2-4)／n)。本文首先定义了ξ_m=min{n∶n是spsp(T_u)，u=3，…，m+2}，称为通过前m个基的最小的单参数二次基强伪素数，然后给出了单参数二次基强伪素数的一些性质，并通过这些性质算出了ξ_i，i=1，2，3，4，5。若我们称对一个基T_u检测n是否为sprp(T_u)为一次测试，则本文使得在给定范围内该测试变为确定性测试，即对n＜ξ_m，最多只需做m次测试就可判断n的素性。
季益贵[3]2006年在《寻找是强伪素数的Carmicheal数》文中进行了进一步梳理令N=q1q2q3,q1<q2<q3是叁因子的Carmicheal数,定义C3,1-及C3,2-数,它们分别指qi=5 mod 8,i=1,2,3及qi≡5 mod 8,i=1,2,q3≡9 mod 16时的情况,它们有着较高的成为强伪素数的概率.本文首先给出成为这些数的充分必要条件然后给出算法,最后经过上机计算得到1024以内的有58个对于前5个素数基的C3,1-强伪素数,其中有一个是对于前8个素数基的强伪素数;以及27个对前4个素数基的C3,2-强伪素数,只有一个是对于前4个基的强伪素数.
参考文献：
[1]. 寻找关于前几个素数基的强伪素数[D]. 汤敏. 安徽师范大学. 2003
[2]. 几个同余式的解及其在素性测定中的应用[D]. 刘先蓓. 安徽师范大学. 2006
[3]. 寻找是强伪素数的Carmicheal数[J]. 季益贵. 安徽师范大学学报(自然科学版). 2006