【摘要】圆系方程是一种特殊的方程，在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。圆系方程在高中数学的应用较为常见，这其中若能充分利用公共弦所在直线方程，灵活使用圆系方程，便可以进一步优化解题过程。
【关键词】圆系方程 公共弦 优化
中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1672-2051（2019）05-098-01
圆系方程在解题中的应用大家并不陌生，通过设圆系方程，可以减少计算量，解题简便易行。熟知，过直线 ＋ ＋Ｃ＝０与圆 ＋ ＋ ＋Ｆ＝０交点的圆系方程为： ＋ ＋ ＋Ｆ＋ （ ＋ ＋Ｃ）＝０（ Ｒ），而过两圆 : ＋ ＝0， : ＋ ＝０交点的圆系方程为： ＋ ＋ （ ＋ ）＝0（其中 ≠-１，该圆系中不含圆 : ＋ ＝０）
特别地，当 ＝－１时，以上方程化为 ,当两个圆相交时，其表示两个圆公共弦所在直线方程，而当两个圆相切时，其表示两圆的公共切线方程。
值得注意的是，当利用上述圆系方程时为了避免讨论圆 ，可将上述圆系方程等价转化为过圆 和两个圆的公共弦所在的直线交点的圆系方程:
，其在解题中的应用更具优越性。
例1、求过两圆 的交点，且经过 的圆的方程。
解析：若利用圆系方程，则可设所求圆的方程为 进一步将 代入，却得到 ，显然 无解。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆此处利用圆系方程受到一定的阻碍，但若先利用两圆方程作差求出其公共弦所在直线方程为 ，则可设所求圆的方程为 将 代入可得 ，于是所求的圆即为 。
注：通过以上解法对比，利用两圆构造圆系解题有一定的局限性，那么在可能的情况下，把两圆的圆系转化为圆与直线的组合更为简捷完整一些。
例2、求过两圆 和 的交点，并且面积最小时的圆的方程。
解析：此处要求面积最小时的圆的方程，如果利用过两个圆的交点的圆系方程来处理，虽然可行，但较为繁琐，而如果能先求出已知两个圆的公共弦所在的直线方程，利用圆与两圆公共弦建立圆系方程解题，便可减少计算量。
解：圆 和 的公共弦所在直线方程为
过直线 与圆 的交点的圆系方程为 ，即
，依题意，若所求圆的面积最小，则圆的半径要最小，于是两圆的公共弦即为所求的圆的直径，则要满足圆心 在公共弦所在直线 上即可，由 ，得 代入圆系方程便可得所求得圆的方程为 。
解析：为了避开计算复杂的常规解法，只需考虑到前面的方程 的含义：当两个圆相交时，其表示两个圆公共弦所在的直线方程，而当两个圆相切时，其表示两圆的公共切线方程，则解决此题就显得快捷多了。
解：由于过 的圆 的切线为 ，便可与已知圆构造圆系，设所求的圆的方程为 ，代入 可得 ，所以所求的圆方程为 ,整个过程简单明了，一气呵成。
从以上几例不难发现，解题中碰到需要利用圆系方程时，若能借助公共弦所在直线建立圆系方程，往往能优化解题过程，缩减计算量，取得更好的解题效果。
参考文献：
［1］谢维勇．巧用圆系方程简化解题过程[J]．中学教研（数学），2008（4）
论文作者:郑燕燕
论文发表刊物:《中小学教育》2019年5月4期
论文发表时间:2019/5/9
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