基于数学问题的中美数学教师课堂教学比较——以“几何概型”为例，本文主要内容关键词为：中美论文,为例论文,课堂教学论文,几何论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2009年9月，在东北师范大学附属中学举行的一次中美数学教师“同课异构”活动中，一位中国教师和一位美国教师分别给该校高一年级两个不同班级的学生用英语讲授了人教版高中数学必修3中的“几何概型”这一节课.因为很多中美数学教育的比较研究是基于不同文化背景下的学生，而这次研究活动中学生的文化背景几乎完全相同，所以这是一次极具研究价值的活动.
顾泠沅先生在1999年“中美数学教育高级研讨会”上提出了这样的观点：在世界文化的东西两方共同寻找中间地带的重要时期，寻找中间地带，不仅是当今数学教育改革的大策略，也是整个教育改革的大趋势.时隔10多年以后，中美数学教育之间是否找到了彼此满意的“中间地带”呢？下面，我们将根据中美数学教师分别任教的“几何概型”课（录像），作比较和分析，并试图初步回答上述问题.
一、问题
数学家保罗·哈尔莫斯曾经说过：“问题是数学的心脏.”包括TIMSS1999（第三次国际数学与科学水平测试）录像研究在内的很多关于数学课堂教学的研究，都将数学问题作为关注的焦点.因此，我们也试图对中美数学教师在“几何概型”录像课中给出的数学问题（见下表）进行精细的比较和分析.
二、比较
下面我们分别从问题呈现方式和问题解决策略两个角度来分析上述中美数学教师在“几何概型”录像课中给出的数学问题.
1.问题呈现方式
中国教师在上课过程中充分地运用了信息技术.在她的教学过程中，自始至终使用了一个卡通视频，通过其中的一个卡通人物（朱迪）在星期日的活动设置数学问题，中国教师给出了表1中的数学问题1、2、3、4、8，问题5是由教师以口头语言的形式给出，而问题6、7则是通过一个独立的计算机文件呈现.所有数学问题，都没有以书面符号的形式写在黑板上.中国教师在卡通视频中设置了几个虚拟情境，从而使得问题1、2、3、4能够串成一个“故事”，这种呈现方式可能会使学生容易记住这些问题，但是这个故事“纯属虚构”，远离现实.
美国教师在上课过程中完全没有用到信息技术.上课一开始，他借助一个地球仪，让全班学生参与了一个抛接地球仪的活动，并通过这个活动（问题1），成功地模拟得到了地球仪上的海洋与陆地的面积比为35∶15.活动结束后，他问全班学生：“最容易处理的几何图形是什么？”有一位学生回答说：“正方形.”此时，美国教师根据学生的回答，当场以口头语言的形式给出了问题2，并在黑板上画出了相应的几何图形.在此基础上，他不断地在黑板上改变图形的特征，分别给出了问题3、4、5、6，然后，他以口头语言的形式给出了整堂课的焦点问题——问题7，并在黑板上简单地写下了该问题的已知条件.最后，他将问题7作了变式，改成了问题8，并作为学生家庭作业.
我们认为，中国教师试图在她的课堂中体现《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念——“注重信息技术与数学课程的整合”，她在课堂中所使用的卡通视频设计得非常精美，能够吸引学生的注意力，提高学生的学习兴趣.而且，几乎每一个问题她都通过计算机屏幕完整地呈现出来，让学生看得很清楚.然而，如果从突出重点、突破难点并且有利于学生认识数学的本质的角度来考查，这个卡通视频似乎并没有发挥出相应的功能，她的问题呈现方式显得有些牵强附会，不够真实和自然.
让我们看看美国教师的问题呈现方式.通过抛接地球仪的活动（问题1），美国教师在他的课堂中让学生充分体验了概率（随机性）和统计（收集数据）的思想.从学生的回答（最容易处理的几何图形是正方形）出发，美国教师很自然的给出了问题2以及后面的一系列问题.与中国教师的问题呈现方式相比，美国教师的问题呈现方式显得更真实和自然.然而，美国教师在引入部分（问题1）所花费的时间过长（约10分钟），使得整节课前松后紧.美国教师主要借助口头语言和在黑板上的书面符号来呈现数学问题，由于表述得不够清楚或者学生听得不是很清楚，学生较为费解.美国教师虽然主要使用黑板来板书，但是他似乎并不擅长合理利用黑板的空间.一个典型的现象是，美国教师在整节课中有7次擦黑板的动作，有时刚在黑板上写完就擦去，而中国教师在整节课中从没有擦过黑板.美国教师对问题7进行变式得到了问题8，但是问题8的难点已经从确定几何概率模型转到了不等式组的求解，偏离了本节课的重点.
2.问题解决策略
中国教师在解决问题1、2、4时都使用了相应的实物操作模型作为教具，并将学生分成若干个小组进行合作学习.例如，在解决问题4时，中国教师采用了如下教学策略：
先把全班学生分成若干个小组，并给每个小组发放一套实物操作模型（包括一个装满豆子的纸杯和一个画着内切圆的正方形硬纸板）.几分钟后，中国教师请某位学生分享他的解法.该生回答说：“可以通过计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比解决这个问题.”中国教师在纠正了该生的一些不严谨的表述后（主要是将“近似相等”说成“相等”），转而提出可以用计算机模拟这一过程，并且用一个应用程序进行了演示.
美国教师的问题5与中国教师的问题4的背景十分相似，然而，美国教师在解决问题5的过程中未使用任何实物操作模型或者计算机模拟程序，他的策略是搭建“脚手架”，从问题2到问题5，构成了一个“问题串”.在解决了一个又一个的“简单”问题之后，问题5的解决就显得水到渠成了.
我们认为，中国教师试图在她的课堂中体现《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念——倡导积极主动、勇于探索的学习方式.她希望学生能够体验到自主探索、动手实践和合作交流等学习数学的方式.因此，她制作了精美的实物操作模型分发给学生进行小组合作学习.然而，问题1、2的知识背景是中国学生所熟悉的.我们认为，没有必要制作相关的教具让学生动手操作，直接画图就可以讲清楚，教师应该留出更多的时间解决更为重要的问题3.而中国教师在问题4中使用实物操作模型的教学策略存在两方面的不足：一是学生在撒豆子时很难做到随机化，因而得到的结果不够准确；二是教师最后并没有要求学生汇报实验结果，而只是问学生应该如何解决这个问题，学生的回答只是解决这个问题的一般策略，并不是具体的实验结果.这使得这个基于实物操作模型的数学实验形同虚设.
美国教师搭建“脚手架”的策略——从简单到复杂、一步一步地逼近一个较难的问题，这是符合西方教育理念的.然而，美国教师设置的这些问题对于中国的高中学生而言显得过于简单，无法给他们带来太多的思考和挑战.
中国教师的问题3和美国教师的问题7几乎相同，都可以称为“会面问题”.这个问题是“几何概型”这一节课中的重点和难点问题，学生可能存在着从一维向二维转化的疑难，还可能存在着不知如何确定平面区域的困惑.在解决会面问题时，中美两位教师采用的教学策略惊人的一致：都是请一位学生到黑板上板书解题过程，学生解完题后，教师并没有进一步解释和评论.我们认为，对于这个经典的会面问题，两位教师请学生到黑板上板书的策略欠妥，较好的策略是教师先讲解并示范如何解题，然后再布置另一个与之类似的问题让学生练习.
三、结语
中美数学教育的“中间地带”在哪里？我们现在处于什么位置？这是值得中美双方的数学教育工作者共同思考的问题.从中美两位数学教师在“几何概型”这节课中的问题呈现方式和问题解决策略来看，双方似乎已经迈开了互相学习的步伐，然而尚未真正学到对方的精髓.例如，使用实物模型演示和小组合作学习是美国数学教师常用的教学策略，然而中国教师在使用过程中却流于形式；而使用变式教学被认为是中国数学教师常用的教学策略，但是美国教师在使用过程中也缺乏挑战性.我们希望能够通过一系列的合作与交流，找到中美数学教育之间彼此满意的“中间地带”，从而取长补短，提高各自国家的中学数学教育水平.