摘要：艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。所以对艾滋病相关用药的时间、疗法的选择、费用的考虑具有重要意义。本文主要主要运用了层次分析法以及数据的差值和拟合来解决问题。
关键词：数据拟合；层次分析法；艾滋病疗法
一、问题重述
艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。
请你完成以下问题：
（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。
（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。
(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。
二、基本假设
1.患者身体初始状况会对药效产生影响；
2.患者的年龄层不同；
3.费用和治疗效果对总体方案选取的权重都是0.5
三、问题分析
3.1 问题一的分析
问题一要求求出最佳治疗终止时间，它的意义是治疗效果无明显提升，而治疗的目的是使HIV病毒浓度尽可能减小，CD4浓度尽可能增大。所以我们将患者分为轻度患者、中度患者、重度患者三类，分别对HIV病毒浓度和CD4浓度进行拟合，并观察拟合函数值，求取在哪一时间段内，CD4的浓度不再明显提升，HIV浓度也不再明显下降，则该时间段为所求最佳治疗终止时间。
3.2 问题二的分析
问题二要求我们评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果。所以我们仅以治疗后CD4在体内的浓度作为标准来作出最优疗法的判别。将患者群体分为三个年龄段：14-35,35-60,60以上分别为青少年，中年和老年。分别对着这三个群体的四种疗法作出函数拟合，观察拟合图发现，一次函数对第一到第三种疗法的拟合性较好，二次函数对第四种疗法的拟合性较好，观察最终拟合图的CD4浓度变化趋势和数值便可确定最佳治疗方案。
3.3 问题三的分析
问题三要求我们将费用列为考虑因素，进行最优方案的选择。考虑到有费用和治疗效果双重因素的影响，我们决定使用层次分析法来解决问题。将患者群体分为三个年龄段：14-35,35-60,60以上分别为青少年，中年和老年。由于准则层中的费用和疗法在最优方案的选择中具有相同重要的地位，故将其权值设为0.5和0.5；由于费用越低，方案越好，故在构造判断矩阵时采用价格的反比作为矩阵的元素；由于治疗效果越好，方案越好，故在构造判断矩阵时采用治疗效果的比值作为矩阵的元素。根据两个判断矩阵求出不同治疗方案在费用和治疗效果上的权重，并与准则层的因素所占权重相乘求和，分别取最大者即为最优治疗方案，
四、模型的建立和求解
4.1问题一的模型和求解
4.1.1划分患者类型并分别作出拟合图
◆划分患者类型
通过查阅资料，我们将CD4浓度在0—100（）的患者划分为免疫力严重缺陷患者，我们将CD4浓度在100—200（）的患者划分为免疫力严重缺陷患者，我们将CD4浓度在200（）以上的患者划分为免疫力轻度缺陷患者。
◆作出拟合图
在作出散点图后，观察可发现数据较符合二次函数的拟合，我们便使用Matlab的cftool函数拟合工具箱将散点图的二次函数拟合出来，得到图形如下：
图1 免疫力轻度缺陷患者HIV浓度图
4.1.2求取拟合函数的极值
分别求出六个拟合图的极值，即在不同患病状况下患者体内CD4浓度最高的时期和HIV浓度最低的时期，取同一时期的两个极值作为该身体状况下患者最佳治疗终止时间段的左右端点。
4.1.3确定最佳治疗终止时间
治疗的目的是使HIV病毒浓度尽可能减小，CD4浓度尽可能增大，而上述区间的左右端点是在不同患病状况下患者体内CD4浓度最高的时期或HIV浓度最低的时期，所以我们可将上述区间作为该患病状况下患者最佳治疗终止时间时间段：
由于只有27周都包含于上述三个不同患病状况下最佳治疗终止时间段中，所以我们认为，可将27周作为整个艾滋病患者群体的最佳治疗终止时间。
4.2问题二的模型和求解
4.2.1划分年龄段并分别进行拟合
● 在查询了不同阶段的年龄划分后，我们将患者划分成三个年龄段：14-35岁为青少年，35-60岁为中年，60岁以上为老年。分别对着这三个群体的四种疗法作出函数拟合，观察拟合图发现，一次函数对第一到第三种疗法的拟合性较好，二次函数对第四种疗法的拟合性较好，所以我们最终确定以一次函数作为第一种、第二种、第三种疗法的拟合函数，以二次函数作为第四种治疗方案的拟合函数，得到的最终拟合图如下：
图2 青少年第一种疗法CD4浓度
图3 青少年第二种疗法CD4浓度图
图4 青少年第三种疗法CD4浓度图
●将每个年龄段的四张治疗效果图，即以上的CD4浓度图进行整合到一张图中：
图5 青少年疗法整合图
中年和老年的治疗效果图也可以用类似的方法得到。
4.2.2观察拟合图确定最优治疗方案
●我们观察拟合图可以发现，无论在三个年龄层中，只有疗法四可以使CD4浓度达到最大并且还有增长趋势，而其他三种疗法仅仅是使CD4的浓度不再减小，所以我们可以确定，对于三个年龄层，最佳治疗方案都是疗法四。利用SPSS数据分析工具，进行Kruskal-Wallis的H分析，根据得到的平均秩可以验证疗法四为最佳治疗方案。
●疗法四的三个年龄层CD4浓度拟合方程为：
根据二次函数其最大值的求根公式可以得到最佳治疗终止时间：
青少年：17周
中年：18周
老年：54周
4.3问题三的模型和求解
由于老年患者过少，无参考价值，故在本题不考虑老年患者。
4.3.1构造准则层和方案层的判断矩阵并计算权值
●构造准则层
由于准则层中的费用和疗法在最优方案的选择中具有相同重要的地位，故将其权值设为0.5和0.5。
●构造方案层
1.由于费用越低，方案越好，故在构造判断矩阵时采用价格的反比作为矩阵的元素；
2.由于治疗效果越好，方案越好，故在构造判断矩阵时采用治疗效果的比值作为矩阵的元素；
4.3.2解出判断矩阵最大特征值对应特征向量
进行层次单排序求得的特征向量即为各方案在准则层中所占的权重
4.3.3根据权重选出最佳治疗方案并确定最佳治疗终止时间
进行层次总排序算出方案层所有治疗方案对于总目标相对重要性的权值，权值最高者为最佳治疗方案，即方案一。
图6 青少年的总权重 图7 中年的总权重
五、模型的分析
5.1模型的分析
●模型的优点：
1.合理地对患者的年龄和身体状况进行分类，增强了对治疗效果分析的准确性；
2.模型三的建立充分考虑了各个因素对方案选取的影响，使得结果比较准确。
●模型的缺点：
1.经过显著性分析，发现模型一数据拟合的程度有较大偏差；
2.由于关于艾滋病的医学知识不足，对于最佳终止治疗时间的判断依据可能存在误差。
参考文献
[1]祁海萍，申希平《Kruskul-Wallis H 检验平均秩多种重比较在SPSS软件中的实现》
[2]骆正清.层次分析法中判断矩阵构造的新方法[J].电子科技大学学报,1999(05):557-561.
论文作者:章文卓1 何皓明2
论文发表刊物:《知识-力量》2019年10月40期
论文发表时间:2019/8/29
标签：浓度论文; 疗法论文; 患者论文; 函数论文; 矩阵论文; 艾滋病论文; 方案论文; 《知识-力量》2019年10月40期论文;