三角函数化简求值问题面面观论文_胡爱芬

三角函数化简求值问题面面观论文_胡爱芬

摘要:三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。由于三角求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力,且题目的答案可以简单明了,所以,高考三角求值题倍受命题者的青睐,使得成为一个命题热点。为了帮助学生巩固知识、提高能力,现通过典型例子题组赏析,感悟化简和求值问题的解题规律和变形技巧,特别是要掌握化简和求值的一些常规思想方法,以优化我们的解题途径,做到事半功倍。

关键词:三角函数;化简求值;教师;学生

一、给角求值

我们称三角函数式中出现一些不能通过诱导公式化归为像300,450,600,900,1800,2700,3600的角为非特殊角,像这类的求值问题,我们归结为给角求值问题。

例1.【2013重庆第9题】4cos500-tan400= .

解析:4cos500-tan400= 4cos500- = =

= = cos100-,2) sin100, cos400) = (,2) cos100-sin100), cos400)

= (cos300cos100-sin300sin100), cos400) = cos(300+100), cos400) =

点评:本题解题思路为切化弦通分→统一角为400→通过二倍角正弦逆向使用化简→分子通过诱导公式和和角公式统一成100→通过辅助角公式又统一到400上来→整体约式即求得原式的值。

【触类旁通·练习】不查表求(1+tan210) (1+tan220) (1+tan230) (1+tan240)的值。

解析1:(1+tan210) (1+tan220) (1+tan230) (1+tan240)

= (1+) (1+) (1+) (1+)

= ···

= sin660,cos210) ·sin670,cos220) ·sin680,cos230) ·sin690,cos240)

= cos240,cos210) ·cos230,cos220) ·cos220,cos230) ·cos210,cos240)

= 4

解析2:(1+tan210) (1+tan220) (1+tan230) (1+tan240)

=[(1+tan210)(1+tan240)][(1+tan220) (1+tan230)]

=(1+tan210+tan240+ tan210 tan240) (1+tan220+tan230+ tan220 tan230)

1+tan(210+240)(1-tan210tan240)+tan210tan240] [1+tan(220+230)(1-tan220 tan230)+ tan220 tan230]

=2×2=4

点评:解法1思路为每个因子切化弦通分→分子通过辅助角公式合成一个角→分子分母约式化简得原式的值. 解法2思路为观察式子结构特点重组→利用两角和正切公式的变形使用tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)由简变繁→通过tan450=1由繁变简求得值.利用这两种解法均容易求得(1+tan200) (1+tan210) (1+tan220) (1+tan230) (1+tan240) (1+tan250) =23=8;(1+tan10)(1+tan20)(1+tan30)……(1+tan430)(1+tan440)(1+tan450)= 223

二、化简求值

当三角函数式中出现一些用字母表示的角,而角的范围就是使式子有意义的所有角,像这类的求值问题,我们归结为化简求值问题。

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例2.【2013高水平大学(北约)自主选拔学业能力测试】

对于任意角θ,求32cos6θ –cos6θ–6cos4θ -15cos2θ的值.

解析:32cos6θ –cos6θ–6cos4θ -15cos2θ=32()3- cos(4θ+2θ)-6(2cos22θ-1)-15 cos2θ

= 4(cos32θ+3cos22θ+3 cos2θ+1)- cos4θcos2θ+ sin4θsin2θ-12 cos22θ+6-15 cos2θ

=4cos32θ-3cos2θ+10-2cos32θ+cos2θ+2sin22θcos2θ

=2cos32θ-2cos2θ+10+ 2cos2θ-2cos32θ=10

点评:利用cos6θ=(cos2θ)3,结合平方降次公式和完全立方公式,将cos6θ中的角θ统一到2θ上来;利用两角和的余弦公式,二倍角正、余弦公式及同角三角函数基本关系式将cos6θ展开统一到2θ上来;利用二倍角余弦公式将cos4θ展开统一到2θ.最后化简整理便得结果,另外该题可利用特值法,比如令θ=0,检验结果正确与否。

三、给值求值

给值求值是指已知某个或某些角的三角函数值,求与之存在和、差、倍、半关系或诱导关系的角的三角函数值,给值求值是条件求值的一种。

例3. 【新课标全国卷2第15题】设θ为第二象限角,若tan(θ+)=,则sinθ+cosθ=_________。

解析1:∵θ为第二象限角,tan(θ+)= ∴θ + 应在第三象限 ∴sin(θ+)= - ,5)

∴sinθ+cosθ=sin(θ+)= - ,5)

解析2:∵tan(θ+)= ∴= ∴tanθ= - 又∵θ为第二象限角 ∴sinθ= ,10)

cosθ = - ,10) ∴sinθ+cosθ= - ,5)

点评:解法1是通过观察发现运用辅助角公式可将θ统一到θ+,即未知走向已知. 解法2是通过观察发现由已知条件易求得tanθ的值,而已知一个角的三角函数可求得其余三角函数的值,即已知走向未知。

【触类旁通·练习】

已知<β<α<,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,则sin2α= ( )

解析:∵<β< ∴-<-β<- 又<α<且β<α ∴α-β∈[0, ] ,又 cos(α-β)= ∴sin(α-β)= ,同理分析得α+β∈[ π,],∴cos(α+β)= - ∴sin2α=

sin[(α+β)+ (α-β)]= sin(α+β) cos(α-β)+ cos(α+β) sin(α-β)= - - =-

点评:通过观察待求式中的角2α与已知条件中的角α-β、α+β有和的关系,利用整体的思想,化归转化为和角公式解决.本题有的学生会将条件通过两角和与差的三角函数展开,这样就变得很复杂,几乎做不出来.该题启示我们当待求角与已知条件中的角有和、差、倍、半或诱导关系时,常采用整体的思想结合我们学过的基本公式,这样显得干净利落.

四、给式求值

给式求值是指已知一些三角函数式,求与之相关的另一个三角函数式的值.给式求值是条件求值的一种.当条件中的三角函数式或待求式比较复杂时,通常要将条件和待求式先化简,再通过观察、思考、联想、转化找衔接点.

例4【2013高水平大学(华约)自主选拔学业能力测试】

已知sinx+siny= ,cosx-cosy = ,求sin(x-y) ,cos(x+y)的值.

解析:联立sinx+siny= 1和cosx-cosy = 2,12+22得2-2 cos(x+y)= , cos(x+y)= .1×2得sinxcosx - siny cosy -(sinx cosy-cosx siny)= ,即sin2x–sin2y–

sin(x–y)= ,即sin[(x+y)+(x-y) ] - sin[(x+y)–(x-y) ]–sin(x–y)= ,应用和差角三角公式展开整理得cos(x+y) sin(x-y)–sin(x-y) = ,即–sin(x-y)= ,sin(x-y)= –

点评:在给式求值这类题型中,当条件中的两个式子是很整齐对称的齐次式时,通常是联立两式观察,通过四则运算或平方后再四则运算寻求已知与未知的联系.在新课程标准和考试大纲下,学生不知道和差化积化式,所以该题对sin2x–sin2y的化简是一个难点,涉及2x =(x+y)+(x-y),2y=(x+y)-(x-y)的拆分、拼凑,从而架起从未知到已知的桥梁.

【触类旁通·练习】 已知3sinα+cosα=0,求= .

解析:∵3sinα+cosα=0 ∴tanα=- ∴= = =

点评:将条件化简得tanα的值,已知tanα的值求其它较复杂三角函数式的值时,通常巧用“1”的代换,将待求式转化为关于tanα的一元表达式,再代入tanα的值,便可求值. “1”有时还用tan450代换,比如==tan(450+150)= ,类比可求得+ 3 tan150,3 - tan150) = ,3) +tan150,1 - ,3) tan150) == tan450=1.

三角函数式的化简和求值是高考命题的热点,学生学习的难点,许多学生只满足于对题目一招一式的拆解,所以尽管做了大量题目,还是“只见树木,不见森林”,只是凭感觉、凭运气做题,准确率难以得到保证。这块内容由于公式多、方法多,学生一定要养成反思、总结的习惯,树立相关的解题意识,比如化简与求值的基本思想方法有升幂降幂法,切化弦法,“1”的代换法,寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确灵活地运用公式(正用、逆用、变用),可做到观念先行,在观念指导下的解题,可以有效避免解题的盲目性,提高解题的准确性与解题效率。

(作者单位:浙江省磐安中学 322300)

论文作者:胡爱芬

论文发表刊物:《中学课程辅导.教学研究》2015年10月上供稿

论文发表时间:2015/12/1

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