基于(r，Q)策略的易腐品M/M/1/N排队库存系统论文

基于(r ，Q )策略的易腐品M /M /1 /N 排队库存系统

张 鹤

(燕山大学理学院，河北 秦皇岛 066004)

摘 要： 基于(r，Q)订货策略研究了易腐品的M/M/1/N库存模型。假设顾客的达到时间间隔，服务时间，易腐品寿命，进货时间都服从指数分布，首先，利用拟生灭过程理论得到了系统的稳态平衡条件，然后利用矩阵几何解得到了系统的稳态概率，从而得到了一些系统的性能指标，最后，利用系统的性能指标得到成本函数，再利用遗传算法求解了模型的最优库存策略。

关键词： 易腐品；(r，Q)策略；拟生灭过程；矩阵几何解；遗传算法

1 引言

易腐性产品是指那些必须在有限时间内售出，否则将发生变质、损坏、挥发、过期且必须进行清仓处理的商品，其显著特点是在储存和流通的过程中其数量会因为变质、挥发、失效等而逐渐减少。如生鲜食品，水果，蔬菜，牛奶，鲜花，药品等，存储过程中随存储时间的增加，商品会因为发生腐烂、变质等原因使得数量减少。目前我国的易腐性产品在流通过程中造成的各种损失非常大，每年易腐产品造成的各种损耗之和高达千亿。所以对易腐品库存系统的分析是很重要的，易腐品的库存问题也引起了广大学者的关注。

Schwarz等研究了分别基于随机订购策略，(r，Q)策略，(s，S)策略，等待空间有限或无限的排队库存系统，给出了每个系统的平稳分布。Sivakumar研究了基于(s，S)策略的顾客源有限的易腐品库存系统，在稳态情况下，给出了库存水平和需求量的联合概率分布。推导了各种系统性能指标，并用数值方法对结果进行了说明。Manuel等研究了基于(s，S)策略的等待空间有限的两类顾客的易腐品库存系统，给出了系统的各种性能指标以及成本函数并求解。Ravichandran研究了基于(s,S)策略具有马尔可夫需求，Erlangian寿命和损失销售的连续盘点易腐库存系统，给出了系统的性能指标以及成本函数。Mohamed 等基于(r,Q)策略研究了具有不耐烦顾客的易腐库存系统的服务率最优控制问题，利用线性规划算法对平稳最优策略进行了计算，并给出了数值算例。Perry和Stadje基于(S-1,S)策略研究了具有有限等待空间的延期销售的易腐品库存系统，给出了成本函数并求解。Melikov和Shahmaliyev研究了基于(S-1,S)策略等待空间有限的延期销售的易腐品库存系统，给出了系统的性能指标以及数值结果，解决了成本最小的优化问题。

上述文献多是基于(s，S)策略或是(S-1,S)策略进行研究，本文基于(r，Q)订货策略研究了易腐品的M/M/1/N库存模型。第二节给出了模型的描述，第三节求解了系统的平衡条件，第四节利用拟生灭过程求出了系统的稳态概率向量，第五节给出了系统的性能指标，第六节利用遗传算法求解出成本函数的最优解，第七节给出了结论。

2 模型描述

模型的基本假设如下：

顾客需求的到达时间间隔服从参数为λ 的指数分布，顾客到达后按到达先后顺序形成一个队列，并且等待空间是有限的，若系统中有N个顾客，其他顾客将不会进入队列。每位顾客的需求量为一个单位的库存。

系统中只有一个服务员，采用先到先服务的服务规则。服务需要一定的时间，服务时间服从参数为μ 的指数分布。商品的寿命服从参数为θ 的指数分布，商品变质后不能出售，库存数量相应减少。

系统采用(r,Q)进货策略，即当系统的库存水平下降到安全水平r时，系统立即向供货商发出订货请求，每次订货量为Q，进货时间服从参数为β 的指数分布。

系统是延期销售的，即当库存为零时，允许顾客可以进入系统进行等待。需求到达，服务过程和进货过程是相互独立的。

3 系统平衡条件

3.1 状态过程

我们规定系统的状态过程为{X(t)，Y(t)；t≥0}，其中X(t)表示t时刻系统中的顾客数量，Y(t)表示t时刻的库存数量。

状态空间为：

Ω={(i ,j )，0i N ,O j r +Q }

无穷小生成元为：

其中

其中

根据拟生灭过程定义可知过程{X(t)，Y(t)；t≥0}是拟生灭过程，令F=B+C+D，有

B =λI ₁

D =A -G

其中

E =D +λI ₁

其中α 是r+Q+1维列向量。求解上述方程组可得：

3.2 系统平衡条件

(1)Cpv是指施工项目在考核期内，基于拟投入的安全成本，在确保计划安全保障水平的基础上安全成本的计划费用值。

其中

定义F的平稳概率向量为：

π =(π (0)，π (1)，…，π (r +Q ))

第二步：个体评价：计算群体P(t)中各个个体的适应度。

α =(1，1，…，1)^T

其中A是(r+Q+1)×(r+Q+1)维矩阵，C是(r+Q+1)×(r+Q+1)维矩阵，I ₁是(r+Q+1)维的单位矩阵，I ₂是r+Q维单位矩阵。

迭代到R的差的范数满足ε 为止。

Q <i ≤r +Q

由[10]可知，过程{X(t)，Y(t)；t≥0}正常返的充分必要条件是πCα >πDα 。计算得：

P _i =|P (i ，0)，P (i ，1)，…，P (i ，r +Q )}，0i N

2010～2015年山东省基层医疗卫生机构数量呈现持续增长状态，增幅为12.91%，其中，社区卫生服务中心数量增幅最大，为37.43%，其次是村卫生室，为6.80%，社区卫生服务站数量有所减少，减幅为4.27%，乡镇卫生院数量保持稳定。截止2015年，山东省基层医疗机构中公立机构占69.35%，非公立占30.65%；政府办的占22.84%，社会办的占55.45%，个人办的占21.71%。(详见表1)

所以

μ (1-π (0))>λ

(1)

所以，公式(1)就是系统到达稳态平衡的充分必要条件。πDα 表示系统中顾客的到达率，πCα 表示系统库存不为零时的服务率，即当系统的到达率小于服务率时系统到达稳态平衡。

4 矩阵几何解

定义稳态概率为：

当ρ <1时，存在Q的平衡稳态概率向量P。

P =(P ₀，P ₁，…P _N )

厂房建设以发展联合建筑为主，内部空间进行合理、明确的功能分区，将功能相近又互不影响的空间布置在一起，工作区域与非工作区域分开，工作线路与参观线路用不同道路线表示，生产车间与其辅助用房的安全出口分开设计。做到厂房内部动静分明，工艺流程一目了然，人员疏散线路安全流畅。

稳态概率向量P满足的平衡方程为：

其中e ₁是元素都为1的适当维数的列向量，整理得：

P ₀A +P ₁C =0

P _i-1 D +P _i B +P _i+1 C =0，1≤i ≤N -1

P _N-1 B +P _N E =0

然后我妈抓着我跟刘佳的爸妈道歉加道谢，我趁她不注意扭开她的手跑进洗手间，把洗发水偷藏在衣服里面，我妈火眼金睛地发现了，揪着我耳朵让我放下，我死抱着就是不肯撒手，刘佳的妈妈尴尬地说一瓶洗水发而已，送她好了。

其中e ₂是元素都为1的r+Q+1维的列向量，由[11]可知，稳态概率向量有矩阵几何解

P _i =P ₀R ⁱ ，1i N

(2)

其中率阵R是矩阵二次方程

R ²C +RB +D =0

1.2.3 寻找实证 根据提出的循证问题，查阅相关书籍和科学文献，在全面了解国内外上消化道出血患者治疗和护理情况、健康教育的内容和方式后，结合研究对象的实际需要，确定最适宜的健康教育方案。

的最小非负解，谱半径sp(R)<1。P ₀是方程组

(3)

的唯一正解。

由于城市GDP是评价城市政府政绩的重要指标[8]，因此，当城市政府作为港口的实际投资者时，其投资的主要目标是增加GDP，需量化港口投资对GDP的拉动效果与港口城市的投资收益函数。

为了得出系统的稳态概率向量，必须先求出率阵R。在[12]中给出了一种循环简约算法，通过数值方法来逼近R，具体步骤如下：

第一步：令

2.1 患者基线资料 结果(表1)表明：与≥90分组相比，<70分组患者年龄较大、女性比例更高、既往消化性溃疡比例较低、入院时收缩压较低、白细胞计数更多、STEMI比例更高、进行急诊介入治疗的比例更高、术后左心室射血分数(LVEF)更低、脑钠肽前体(pro-BNP)水平更高，差异均有统计学意义(P<0.05)。

第二步：利用迭代的方法求解：

B ⁽ⁱ+1) =B ⁽ⁱ) (-D ⁽ⁱ) )^-1B ⁽ⁱ)

C ⁽ⁱ+1) =C ⁽ⁱ) (-D ⁽ⁱ) )^-1C ⁽ⁱ)

D ⁽ⁱ+1) =D ⁱ +B ⁽ⁱ) C ⁽ⁱ) +C ⁽ⁱ) (-D ⁽ⁱ) )^-1B ⁽ⁱ)

R ⁽ⁱ) =B (-D ⁽ⁱ) )^-1

但也有人持乐观态度。尽管“生态植物”计划曾经失败，但它显示，农民可以有更多强有力的选择，比如混种作物、选择种植新品种和利用数据分析系统帮助确定最佳喷洒时间等。有了正确的激励和支持措施，这一次的“生态植物”计划可能会产生不同于上一次的更大影响。法国没有放弃其雄心勃勃目标这一事实激励了许多观察人士。“你会感觉到，某些事情正在我们面前真实发生，”瑞士苏黎世联邦理工学院农业经济学家罗伯特·芬格（Robert Finger）说道。

第三步：由公式(2)和方程组(3)可得系统的稳态概率向量。

5 稳态性能指标

5.1 平均等待队长

=P ₀R [(I -R ^N-1 )(I -R )^-2-(N -1)R ^N-1 (I -R )^-1]e ₂

5.2 平均库存

其中e ₃=(0，1，…，r +Q )^T

5.3 平均订货率

其中e ₄=(a ,b )^T ，a 是r+1维的行向量，所有元素都是1，b 是Q维行向量，所有元素都是0。

5.4 平均库存损失率

(5)顾客平均损失率

6 成本分析

系统的成本假设主要由顾客平均等待成本，库存保管成本，每次订货成本，产品腐坏成本和顾客损失成本组成。假设每位顾客平均等待成本是C₁，单位时间单位库存的保管成本是C₂，单位时间每次订货成本是C₃，单位时间产品腐坏成本是C₄,单位时间顾客损失成本C₅。所以系统的成本函数是：

C (r ,Q )=C ₁El +C ₂Ei +C ₃Ep +C ₄Er +C ₅Eli

遗传算法是模拟达尔文生物进化理论中自然选择和遗传机制的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程来寻找最优解的方法。本文采用[13]中的遗传算法来进行最优解的搜索，具体步骤如下：

增能理论的另一个核心观念是“增能”或翻译成“增强权能”。对于什么是“增强权能”不同学者的看法也是存在差别的。

第一步：初始化：设置进化代数计数器t=0，设置最大进化代数T，随机生成M个个体作为初始群体P(0)。

平衡概率向量π 满足：

第三步：选择运算：将选择算子作用于群体。选择的目的是把优化的个体直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代。

第四步：交叉运算：将交叉算子作用于群体。判断个体的有效性，如果是有效个体，则保留；如果是无效个体，则随机生成一个交叉位置进行交叉，直至有效。

1907年，德国神经病学家艾洛斯·阿尔茨海默报告了第一例老年神经认知退化的病症，阿尔茨海默病由此而得名。该病随着年龄的增长而患病率增高，例如，80岁以上的老人患病率高达15%。作为一种神经功能障碍性疾病，阿尔茨海默病从发作到恶化通常持续几年时间。初期症状为健忘，后发展为认知障碍，表现为记忆障碍、注意障碍、学习障碍、空间认知机能障碍等。

本研究所使用的遥感影像数据来源于中国资源卫星应用中心，分别使用2017年的高分一号(GF-1)卫星数据和2018年的高分二号(GF-2)卫星数据，本文利用遥感影像来提取研究区域背景影像和各计算指标[5，6]；空气质量指数来源于南京市环保局2017-2018年全年数据；区域人文属性等相关指标通过实地调研获得；主干道行道树等植物种类调查通过实地调研分析获得。通过查阅文献或从其他部门获取的数据包括主干道坡度等数据。

第五步：变异运算：将变异算子作用于群体。判断个体的有效性，如果是有效个体，则保留；如果是无效个体，则随机生成一个交叉位置进行交叉，直至有效。

杨译：...since men have long ceased learning from teachers...[5]151

第六步：对新种群适应度评价，找到最好的染色体,将它与上一次进化中最好的染色体比较，记录每一代进化中最好的适应变和平均适应度。

第七步：终止条件判断：如果满足算法终止的条件，输出当前最优个体，算法结束；如果不满足算法终止的条件，转到第三步。

本文研究了λ ，μ ，θ ，β 对最优策略和最优成本的影响，令C₁=2，C₂=5，C₃=20，C₄=50,C₅=15，N=50。

表1 到达率 λ 对最优策略和最优成本的影响

其中参数设置为μ =5，θ =0.1，β =2，由表1可知，随着λ 的增大，最优成本，最小库存，订货量都在逐渐增大。

数学学科中的青年教师大多毕业于985、211等高校，教师的专业基础扎实，但缺乏一定的教学实践经验，申请项目和发表文章的能力也有待提高。而民办院校中的学生数学基础一般较弱，理解理论知识的能力不高。在这样的前提下，要确立的共同目标就是提高数学学科青年教师教授数学知识的应用能力，将复杂问题简单化，使学生能学好数学、爱上数学，进而提高学生的整体数学素养，最终提高青年教师个人的专业素质和科研水平。

表2 服务率 μ 对最优策略和最优成本的影响

其中参数设置为λ =2，θ =0.1，β =2，由表2可知，随着μ 的增大，最优成本逐渐减小，最小库存，订货量无明显改变。

表3 腐坏率 θ 对最优策略和最优成本的影响

其中参数设置为λ =2，μ =5，β =2，由表3可知，随着θ 的增大，最优成本，最小库存，订货量都逐渐增大。

表4 订货率 β 对最优策略和最优成本的影响

其中参数设置为λ =2，μ =5，θ =0.1，由表4可知，随着β 的增大，最优成本逐渐增大，最小库存无明显改变，订货量都逐渐减小。

7 结论

本文基于(r，Q)订货策略研究了易腐品的M/M/1/N库存模型。根据系统符合拟生灭过程得到了系统的稳态平衡条件，采用矩阵几何解方法得到了系统的稳态概率，从而得到了一些系统的性能指标，最后，利用系统的性能指标得到成本函数，再利用遗传算法求解了模型的最优库存策略，研究了系统各个参数对成本，最低库存以及订货量的影响。

参考文献

[1] S.K.Goyal,B.C.Giri.Recent trends in modeling of deteriorating inventory[J].European Journal of Operational Research,2001,134(1):1-16.

[2] 谢如鹤,刘霆保鲜链-食品链物流的后起之秀[J].中国物流与采购,2004,6:14-16.

[3] M.Schwarz,C.Sauer,H.Daduna,R.Kulik,R.Szekli.M/M/1 Queueing systems with inventory[J].Queu-eing Systems,2006,54(1):55-78.

[4] B.Sivakumar.A perishable inventory system with retrial demands and a finite population[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,224(1):29-38.

[5] P.Manuel,B.Sivakumar,G.Arivarignan.A perishable inventory system with service facilities,map arrival and ph-service time[J] Journal of Systems Science and Systems Engineering,2009,224:29-38.

[6] N.Ravichandran.Probabilistic analysis of a continuous review perishable inventory system with Markovian demand,Erlangian life and non-instantaneous lead time[J].OR Spektrum,1988,10:23-27

[7] H.Mohamed,A.Hamadi,N.Sangeetha,B.Sivakumar.Optimal control of service parameter for a perishable inventory system maintained at service facility with impatient customers[J].Annals of Operations Research,2015,233(1):3-23.

[8] D.Perry,W.Stadje Perishable inventory systems with impatient demands[J].Mathematical Methods of Operations Research,1999,50:77-90

[9] A.Melikov,M.Shahmaliyev.Analysis of Perishable Queueing-Inventory System with Positive Service Time and ( S-1,S ) Replenishment Policy[J]Information Technologies and Mathematical Modelling.Queueing Theory and Applications,2017:83-96.

[10]M F.Neuts.Matrix-geometric solutions in stochastic models:an algorithmic approach[M].Baltimore:Johns Hopkins University press,1981.

[11]牛莉.负顾客造成服务率变化的M/M/1可修排队[D].秦皇岛:燕山大学,2012.

[12]郭兴国.拟生灭过程平稳分布的计算实验[D].上海:上海大学,2004.

[13]王小平,曹立明.遗传算法一理论，应用与软件实现[M].西安:西安交通大学出版社,2002.

中图分类号： TB

文献标识码： A

doi： 10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.33.103

基金项目： 河北省高等学校科技计划重点项目(ZD2018042)。

作者简介： 张鹤(1994-)，男，硕士研究生，燕山大学理学院，主要研究方向：排队论。

标签：易腐品论文;  (r论文;  Q)策略论文;  拟生灭过程论文;  矩阵几何解论文;  遗传算法论文;  燕山大学理学院论文;