越演越烈的中考折叠型试题，本文主要内容关键词为：中考论文,试题论文,越演越烈论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近几年来，折叠型问题在各地中考试题中频繁出现，通过研究图形的形状、大小和位置等关系，考查学生思维分析能力、空间想象能力、推理能力和动手能力。解决折叠问题，首先要把握折叠的实质——折叠后的图形具有轴对称图形的性质；其次，折痕就是对称轴，并观察对称轴左右两边的元素，把握折叠的变化规律；最后运用所学知识合理、有序、全面地解决问题。这对学生学习的探索性、批判性和科学性都提出了较高要求，笔者就2009年数学中考试题中出现的折叠问题浅谈一二。
一、动手操作型
1.折叠确定形状
图1
例1 将一正方形纸片按如图1的顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形，将留下的纸片展开，得到的图形是()
（2009年山东省济宁市数学中考试题）
分析 运用轴对称知识，按照对称展开法用笔在图形上逐步画出虚线既可得到答案（如图2）。故选A。
图2
评注 本题是一道动手操作的变形题，考查学生的逆向思维能力和轴对称的性质。取一张正方形纸片照图折叠、剪裁，再展开，也可以清楚看出平面图形的形状，考查了学生的应变能力和动手能力。
2.折叠确定最值
例2 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5。如图3所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动。若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为______。
图3
（2009年河南省数学中考试题）
分析 首先要通过动手操作确定点A′在BC边上运动的起点和终点，然后再求这2个点之间的距离。
解 如图4所示，当点P与点B重合时，易知A′B=AB=3；如图5，当点Q与点D重合时，易知
A′D=AD=5，CD=AB=3。
在Rt△A′DC中，A′C=4，从而
A′B=BC-A′C=5-4=1。
故点A′在BC边上可移动的最大距离为2。
图4
图5
评注 本题考查了学生的空间想象能力和动手操作能力。
二、折叠后求值
1.求边长
图6
图7
评注 本题利用化归思想，把所求线段转化到直角三角形中去处理，用解直角三角形的知识求出未知线段。
2.求折痕长度
例4 将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图7所示的形状，那么折痕的长是()
C.
cmD.2cm
（2009年吉林省数学中考试题）
分析 由折叠的对称性和夹角60°很容易猜想到重叠的三角形是等边三角形。
解 过点P作PM⊥QH交OH于点M，过点Q作ON⊥PH交PH于点N。由已知宽为2cm的长方形纸条，可得
ON=PM=2cm。
又由△PQH的面积公式，可得QH=PH。因为∠PHQ=60°，所以△PQH是高为2cm的等边三角形，于是
cm。故选B。
评注 本题主要考查了学生的观察能力，把折叠问题融入为等边三角形的证明和求值问题。
3.求周长
例5 如图8，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC的外部，则阴影部分图形的周长为______cm。
图8
（2009年河北省数学中考试题）
分析 所求的阴影部分是由3个不规则的三角形组成的，它的周长可看成已知线段BC=1cm和未知线段BD、EC、DA′、EA′的和。由折叠图形的对应线段相等可得DA′=DA，EA′=EA，因此阴影部分图形的周长和等边△ABC的周长相等，容易求得△ABC的周长为3cm。
评注 本题运用折叠图形对应边相等这个知识点，把不规则图形的周长化归成简单的等边三角形周长，主要考查学生的思维分析能力和应变能力。
4.判断线段关系和求角度
例6 (1)观察与发现。小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如下页图9）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如下页图10）。小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。
图9
图10
图11
图12
(2)实践与运用。将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图11）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图12）；再展平纸片（如图13）。求图13中∠α的大小。
（2009年江苏省数学中考试题）
图13
解 (1)同意。如图10，设AD与EF交于点G。由折叠知，AD平分∠BAC，因此∠BAD=∠CAD。又由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，于是
∠AGE=∠AGF=90°，∠AEF=∠AFE。从而AE=AF，即△AEF为等腰三角形。
(2)由折叠可知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，因此∠BED=135°。又由折叠知，∠BEG=∠DEG，因此∠DEG=67.5°，从而∠α=90°-67.5°=22.5°。
评注 本题运用折叠的轴对称性，解决了2次折叠形成图形中的线段和角的问题，主要考查学生思维的灵活性和严密性。在第(1)小题中，还能发现EF和AD是互相垂直平分的，连接ED、FD，得到四边形AEDF是一个菱形。
5.探索规律
例7 问题解决 如图14所示，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN。当
时，求
的值。
图14
图15
（2009年山西省太原市数学中考试题）
分析 由折叠可得BN=NE。设CE=1，则正方形边长为n，CN=n-NE，利用勾股定理可以求出NE，即BN。连接BM、EM，构造出2个直角三角形△ABM和△MDE，由于B、E是对应点，所以2条斜边相等，利用勾股定理列出关于AM和MD的方程，从而可求出AM。
图16
解 如图16，连接BM、EM、BE。由题设得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称，因此MN垂直平分BE，于是
BM=EM，BN=EN。由四边形ABCD是正方形，可得
∠A=∠D=∠C=90°。AB=BC=CD=DA=2。
又因为
，
所以CE=DE=1。
设BN=x，则
NE=x，NC=2-x。
评注 本题以正方形的折叠为载体，利用由特殊到一般的方法，探索2组线段的比例关系的联系和变化，并从正方形又进一步引申到一般的长方形，增强了思维的延续性，考查了学生类比、化归的思想方法。
三、折叠后确定点的位置
1.求运动的时间并确定点的位置
图14
(1)求实数a、b、c的值。
(2)若点M、N同时从点B出发，均以1个单位长度／秒的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动。当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，点B恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标。
(3)略。
（2009年湖南省长沙市数学中考试题）
分析 由A、B、C坐标的特殊性，得△ABC是一个∠B=60°的直角三角形；由BM=BN和折叠的对称性，可知四边形PMBN为菱形，则PN=t。再利用相似三角性对应边成比例求出t，从而确定点P的位置。
评注 折叠中的问题通常利用折叠前后对应线段和对应角相等来处理。本题运用特殊三角形的折叠构造出菱形和相似三角形，巧妙地把图形的变化又推到了一个新的台阶，考查了学生综合运用知识的能力。