祖冲之测算冬至点的数学智慧，本文主要内容关键词为：冬至论文,智慧论文,数学论文,祖冲之论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
祖冲之（429—500）是我国古代伟大的数学家和科学家，他在圆周率研究上首先获得π 值 7 位小数近似值（盈朒二数）和祖率（355/113），使中国领先世界各国千年左右。除此以外，他在应用数学知识解决天文测算和制历等实际问题上，表现出了高超的数学智慧。本文仅就他在测算冬至点方面的创造性成就，作简要介绍，以作为对祖冲之逝世1500年的纪念。
中国自古就是农业大国。一年季节的更替与农业收成关系极大。所以中国古代历代重视历法的制定。
历法就是日、月、年和节气安排的时刻表。而时间无头无尾，瞬息即逝，如何来测定和记录它呢？古人发现，在一年的不同季节里，同样一根圭表（标杆）的日影长短不同：冬至日影最长，过了冬至渐短；夏至日影最短，过了夏至又渐长，周而复始。
因此，测量圭表日影可以定出一年中的节气；特别是日影最长的那一时刻，便是冬至点。古代历法都以冬至点为一个回归年的开始。所以测量冬至点的准确时刻，就成为制历的关键。
但是凭测量圭表的影长来定冬至点是不准确的。因为1 回归年的日数不是整数，大约是365（1/4 ）日（这就是中国先秦时期采用的“四分历”），若按此计算，第一年冬至点在正午，第二年冬至点就在傍晚，第三年则应在半夜，第四年在早晨，第五年才又回到中午。因此，要连续观测多少年才能判定。如果这中间遇到天阴下雨，见不到日影，便又要重新开始。何况人眼观察有视觉误差，圭表上刻度也有误差，如此等等，又要影响观测的精确度。
冬至点测定的误差，必然造成回归年长度的误差。即使是每100 年差1日，几百年以后积累误差也会越来越大， 以致历法上节气与实际情况不符，就要贻误农时了。
在祖冲之以前的治历者所定冬至点，虽有观测依据，但实际上是凭经验和估计求得的。具有严格数学意义上的冬至点观测方法，是祖冲之首先提出来的。他的具体做法和推算方法，南朝《宋史·历律志》有详细记载。
他在（刘）宋·大明五年（461 ）冬至前后用圭表测量了三个晴天的正午日影：
（农历）10月10日（A），影长10.7750尺（a）
11月25日（B），影长10.8175尺（b）
11月26日（C），影长10.7508尺（c）
祖冲之假设在冬至前后日影长度变化是对称的（合乎情理的），那么，显然日影最长的冬至点的时刻应在A、B之间，而且在B、C间有一时刻X，其影长与a相等。而AX中点Y就是冬至点所对应的时刻。
为求Y点，取AB中点M。则应有
AM＋MY＝YB＋BX。
将AM＝MB＝MY＋YB代入，即得
2MY＝BX或MY＝（1/2）BX。
他又设在一天之内（1日＝100刻）日影变化是均匀的（也合情理），则有
（b－c）∶（b－a）＝100∶BX，
从而
BX＝（100（b－a））/（b－c）。
代入具体数值，算得
BX≈62（刻），MY＝31（刻）。
因为M点是（农历）十一月三日零时， 故这一年的冬至点是十一月三日子夜后31刻，大约相当于现在早晨7时26分。
祖冲之上述冬至点测算法，表现出他在活用数学知识解决实际问题的高度智慧，方法本身有很高的理论意义和实用价值。首先，他为简化问题所作的两次假设，都是科学的、合理的，数学推演是严密的，测算结果真实可信。其次，整个测算过程在冬至前后的一个月内即告结束，这期间只要有三个晴天即可，不受天气影响。因此，祖冲之首创的冬至点测算法，一直为后世历算家所采用。
正是由于祖冲之测算精确可靠，他所制定的历法《大明历》（公元461年制定，510年颁行，使用70年）所定的年、月和闰周数值都达到了空前的高精确度：
（1）1回归年＝365.24281481日
与实际情况相比，1000年才多半日，其精确度在世界上遥遥领先；直到南宋《统天历》（1199年）才超过它。
（2）1朔望月＝29.5305915日
与真值相比，每月只多0.5秒不到，领先世界各国500多年；直到北宋《明天历》（1084年）才有更好的结果。
伟哉，祖冲之！