解读基本不等式的几何背景，本文主要内容关键词为：不等式论文,几何论文,背景论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文是笔者在使用高中新课标数学必修5人教A版“基本不等式”时所进行的课本解读与课堂实践。
一、赵爽弦图几何模型
图1
弦图中存在一般与特殊两种情形，反映出可变性与不变性。
弦图的一般情形是大正方形内靠边角围绕着4个全等直角三角形，中间围绕出1个小正方形，这5个图形都具有相互制约的可变性，不变的是大正方形以及二次型基本不等式中的严格不等关系：
。如图1。
弦图的特殊情形是中间小正方形退化成一点而消失，只形成4个全等的小等腰直角三角形，此时不变的仍是大正方形，以及二次型基本不等式中的相等关系：
。如图2。
图2
二、“正交切分方块蛋糕”几何模型
过正方形“蛋糕”的对角线上任意一点分别平行于正方形的边横纵十字切分，产生4块小蛋糕。如图3。
图3
该几何模型同样存在一般情形与特殊情形、可变性与不变性。
一般情形是其中有2个在对角线上的一大一小的正方形，其面积和为
，另有2个在对角线两侧的全等的长方形，其面积和为2ab，这4个图形都具有相互制约的可变性，不变的是整个的正方形，以及二次型基本不等式中的严格不等关系：。即取两份大小搭配的正方形蛋糕较两份一样大的长方形蛋糕“合算”。
而特殊情形是过对角线的中点，即正方形的中心切分，切分出的是4个全等的小正方形，此时不变的仍是整个的正方形，以及二次型基本不等式中的相等关系：。如图4。
图4
在几何画板上可以设置相关面积数据变化显示对照表辅以表明、确认。
三、“斜交切分方块蛋糕”几何模型
沿正方形“蛋糕”的对角线以及平行于正方形一边斜交切分，如图5。
图5
在此切分中，等腰直角△AEG、△GCF和直角梯形EBCG、AGFD具有相互制约的可变性，不变的是大正方形，还有等腰直角△ACD，以及显明的面积不等关系：等腰直角△ACD与△AEG的面积和大于矩形AEFD的面积，即
，亦即二次型基本不等式中的严格不等关系：。
图6
四、“相邻方块接合”几何模型
如图7所示，“相邻方块接合”辅以切分而产生一般情形与特殊情形、可变性与不变性。
共一底边、同侧、邻接的两个正方形，一大一小，小正方形沿着邻接的边翻折在大正方形中，过在大正方形中的直角顶点按两直角边十字切分，产生4个图形，其中有2个在对角线上的小正方形，另有2个在对角线两侧的全等的长方形。连同邻接的正方形，共有5个独立图形，其中至少有2个全等小正方形。这是一般情形，这5个图形都具有相互制约的可变性，不变的是邻接的大正方形，以及显明的面积不等关系：相邻两正方形的面积和大于阴影部分面积，即二次型基本不等式中的严格不等关系：。
图7
而特殊情形为邻接的是两个全等的正方形，此时二次型基本不等式中的相等关系保持不变：。如图8。
图8
五、射影定理几何模型
射影定理几何模型同样存在一般情形与特殊情形、可变性与不变性。
如图9所示，当直径上的高与直径上的中线不重合时，中线即半径，其长度总是大于高，高是相对可变的，半径长是不变的，一次型基本不等式，即基本不等式，其中的严格不等关系是不变的：
。这是一般情形。
图9
特殊情形是当直径上的高与直径上的中线完全重合，此时基本不等式中的相等关系成立：
。如图10。
图10
六、切割线定理几何模型
如图11所示，当割线AC与切线AD不重合时，在Rt△AED中，斜边AE总是大于直角边AD，割线是相对可变的，切线长是相对不变的，不变的还有基本不等式中的严格不等关系：。这是一般情形。
图11
当割线与切线完全重合时，基本不等式中的相等关系成立：
。仅此为特殊情形。
七、自相似直角三角形翻折几何模型
三个自相似直角三角形几何模型，如图12所示。
图12
分别沿大Rt△ABC的两直角边AC、BC，翻折两Rt△ADC、Rt△BDC，如图13所示。
图13
图14
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