柏拉图与康德：逻辑主义与直观主义之源，本文主要内容关键词为：康德论文,柏拉图论文,主义论文,直观论文,之源论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B561.59
文献标识码：A
文章编号：1001-5124(2001)02-0083-05
逻辑主义与直观主义是近代两大数学基础学派。所谓数学基础就是分析数学的概念和命题，看它们能从什么更普遍的概念与原理定义出来。[1](7)高斯、柯西和阿贝尔用实数定义分析；[2](29)魏尔斯特拉斯、戴德金和康托“则把实数定义为由自然数、整数或有理数所组成的一些客体了。因此实数的性质便最后归结于自然数的性质了。”[3](30)
逻辑主义认为自然数能够用逻辑的概念定义出来。弗雷格说：“数的给出包含着对一个概念的表达”。[3]即对于概念Fx，可以给出数Nx，Nx是关于Fx的谓词NxFx。NxFx可以定义为类F和G之间的数值等价关系H所决定的等价类G(H)Φ(H,G,F)。[4]这样自然数被定义为类的类，并且通过自然数，数学被化归为逻辑。逻辑主义的纲领是：“数学是逻辑的一个分支。数学的概念须用逻辑的概念定义。数学的定理须作为逻辑的定理而证明。”[2](44)
从1897年开始，集合论中发现了悖论，主要有布拉里——福蒂悖论、康托悖论以及罗素悖论。布劳维尔说这是逻辑主义造成的：“经典逻辑是从有限集合和它们的子集的数学中抽象出来的……人们忘记了这个有限的来源，后来就错误地把逻辑看作是高于并且先于全部数学的某种东西，而终于没有根据地把它应用到无穷集合的数学上去了。这就是集合论的堕落和原罪，它正因此而受到自相矛盾的惩罚。”[5](313)直观主义的纲领是：数学先于逻辑，自然数就是数学最后的基础。克伦涅克说：“上帝创始自然数，别的都是人造的”。[6]海丁说：“数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。”[7](159)彭加勒说：“今天，在解析中，仅仅剩下整数，或者说，整数的有穷或无穷的系统被相等或不等的网格约束在一起。”[8]
逻辑主义、直观主义的技术性工作建立在不同的哲学基础之上。它们各自信奉某种哲学体系，从中汲取思想养料并加以发挥，在本体论、认识论和方法论上为其提供理论支持。逻辑主义的哲学可以追溯到柏拉图。柏拉图在本体论上的实在论、认识论上的唯理论以及分析的方法论，为逻辑主义使用的各种技术手段提供了哲学依据。而直观主义的哲学则源于康德。康德在本体论上的概念论、认识论上的先验感性论以及综合的方法论，为直观主义使用的各种技术手段提供了哲学依据。
从逻辑演绎数学，在技术上是把数学对象当作独立存在于人心之外的实体。首先，“逻辑主义允许人们不加区别地使用约束变项来指称已知的和未知的、可指明的和不可指明的抽象物。”[9](14)弗雷格把数定义为由类F和集合G之间的数值等价关系H所决定的等价类G(H)Φ(H,G,F)，如果G和F是无穷类，就不可能逐一建立其元素间的一一对应，因此函项Φ(H,G,F)不可指明。为了从逻辑演绎数学，必须使用约束变项G(H)指称Φ(H,G,F)，这就导致把Φ(H,G,F)看成独立实体的实在论。根据实在论，数学实体Φ(H,G,F)独立于人心而存在，即使不能加以指明，它也是独立存在的，因此允许使用约束变项指称它。这对逻辑主义是关键的，如果不能这样使用约束变项，就不能把数定义为类的类，就不能把数学化归为逻辑。其次，逻辑主义使用根据排中律的存在证法。
可见数学中的逻辑主义就是哲学中的柏拉图主义。逻辑主义信奉“主张共相或抽象物独立于人心而存在，人心可以发现但不能创造它的柏拉图学说。”[9](13-14)彭加勒说：“康托尔主义者是实在论者，甚至在涉及到数学实体的地方也是如此。在他们看来，这些实体似乎具有独立的存在；几何学家并没有创造它们，他只是发现他们……我们在这里辨认出柏拉图(Plato)的理念论。”[10]
直观主义不是从逻辑演绎数学，而是从时间的直观构造数学。因此直观主义在技术上不是把数学对象当作独立存在于人心之外的实体，而是当作存在于人心之中、由人心构造的对象。首先，“只有抽象物能够由预先指明的诸成分个别地构造出来，才赞成使用约束变项来指称它们。”[9](14)弗雷格把数定义为由类F和G之间的数值等价关系H所决定的等价类G(H)Φ(H,G,F)，如果G和F是无穷类，就不可能逐一建立其元素间的一一对应。因此函项Φ(H,G,F)不能被人心根据自然数、从而根据时间的直观构造出来，按照直观主义的技术要求它是不存在的。这是一种概念论的立场，“概念论主张共相存在，但认为它们是人心造作的。”[9](14)其次，直观主义要求证明必须是构造性的。“所谓构造性是指能具体地给出数学对象，或者能给出找数学对象的算法。”[11]这种构造性证明的本体论意义是：数学对象不是独立存在于人心之外的实体，而是人心构造出来的对象，只在人心之中具有它的存在。
可见数学中的直观主义就是哲学中的康德主义，主张数学的概念由人类理性构造而成：“数学的知识乃由理性自构成概念所得之知识。”[12](502)数学对象的构造就是人心先验地在直观中画出与概念相应的图形，所以构造数学对象需要非经验的直观。人心在这种纯粹直观中构造出一具体的图形，这一图形能够代表所有与某概念相应的图形。这说明人心在纯直观中构造的图形具有与概念相同的普遍意义，因此在纯直观中构造出了具体的图形就是构造出了相应的概念与数学实体。例如构造数学对象“三角形”就是在纯直观中画出一个三角形。
唯理论是逻辑主义者在认识论上的立场，这与它的纲领相一致：“数学是逻辑的一个分支。数学的概念须用逻辑的概念而定义，数学的定理须作为逻辑的定理而证明。”[2](44)数学的概念用逻辑的概念定义，数学的定理作为逻辑的定理证明，这样数学对象变成了逻辑的对象，变成了只能由纯思维把握的实体。数学从逻辑演绎出来，成为逻辑的一个分支，这就把数学认识限定在纯思维的领域之中。按照逻辑主义的要求推导数学，就只能依靠纯思维把握数学对象，绝对不允许使用感性，无论是经验的使用还是先验的使用。这种认识相当于柏拉图所说的“理性”。柏拉图认为世界分为可知世界和可见世界，把一条线分成两个不等的部分，以表示它们清楚程度的差异；再把代表可知世界的线段按照相同的比例划分成两部分，与可知世界相对应的那一部分称为理性，与可见世界相对应的那一部分称为“理智”。理智借助可见世界中的实物进行讨论，虽然不是研究这些可见的对象本身，而是把它们当作理念的影像。理性则只用纯思维，完全不用感性，不借助可见的对象，不象在前一部分中那样使用影像，而安全用理念来研究。[13](268-271)从逻辑演绎数学就是这样一个认识过程：不把任何感性物当作影像来使用，而完全用理念来研究，从而彻底排斥了感性的使用。
与逻辑主义推崇柏拉图的“理性”相反，直观主义主张康德的先验感性论。先验感性论以纯粹感性对抗纯粹思维，首先从感性中除去概念思维的对象。“是以在先验感性论中，吾人第一，欲从感性中取去悟性由其概念所思维之一切事物，使感性单独独立，于是除经验直观以外无一物留存。然后又从感性中除去感性内容，留下感性的纯形式；时间、空间直观。第二，吾人又须从经验直观中取去属于感觉之一切事物，于是除感性所能先天的惟一提供之纯粹直观及现象之纯然方式以外，无一物存留。在此种研究途径中，将发现有两种感性直观之纯粹方式，用为先天的知识原理，即空间与时间。”[12](50-51)可见康德的不依赖于概念的纯直观与柏拉图的不依赖于直观的纯概念相对立，这就是逻辑主义与直观主义之争的认识论本质。
19世纪20～30年代非欧几何的建立动摇了康德空间直观学说，但是他的时间直观被布劳维尔接受并且用作数学的基础：“当时间进程所造成的贰性(twoness)的本体(subject)，从所有的特殊显象中抽象出来的时候，就产生了数学。所有这些贰性的共同内容留下来的空洞形式（n到n+1的关系）就变成数学的原始直观，并且由无限反复而造成新的数学对象。”[5](311)
先验感性论从认识论角度论证了直观主义的数学基础纲领，因为它说明了数学对象是从人心的先验直观形式—时间和空间构造出来的：首先，数学判断的基础是纯直观，而不是纯思维。其次，数学概念不是从分析概念得到的，而是在纯直观中构造出来的。再次，纯直观提供数学判断的全部内容。“只有纯直观才提供先天判断的质料。几何学是根据空间的纯直观的；算学是在时间里把单位一个又一个地加起来，用这一办法作成数的概念”。[14](42)所以先验感性论就从认识论角度论证了，数学的全部内容与逻辑有本质的区别并且数学比逻辑更为基本。
逻辑主义从逻辑演绎数学，惟一的方法就是分析：从概念出发，通过分析概念得到新的概念直到得出全部概念。这种方法柏拉图在《国家篇》中就已提出来了。
逻辑主义演绎数学就是从逻辑的前提出发，只使用逻辑分析方法，从一个概念出发到另一个概念，并且最后归结到概念。罗素在《数理哲学导论》中评价他的《数学原理》时，认为它很好地完成了化数学为逻辑的工作，因为它很好地贯彻了柏拉图从理念出发、经过理念、最后到达理念的思想：“从普遍承认属于逻辑的前提出发，借助演绎到达显然也属于数学的结果，在这结果中我们发现没有地方可以划一条明确的界线，使逻辑和数学分居两边。如果还有人不承认逻辑与数学等同，我们要向他们挑战，请他们在《数学原理》的一串定义和推演中指出哪一点他们认为是逻辑的终点，数学的起点。”[1](182)
罗素想说明的是他的《数学原理》从逻辑出发，仅仅通过分析它的基本概念就推演出了全部数学，这样数学就成了逻辑的分支。罗素成功与否暂且不论，他的确把柏拉图提出的方法在数学中付诸实践，成为在数学基础中运用逻辑分析的代表。这说明柏拉图在哲学上给逻辑主义提供了方法论的依据，而逻辑主义则在技术上实践了柏拉图提出的理想方法。
直观主义则采用康德的综合法。布劳维尔致力于从时间直观出发、用综合法构造出全部数学的基础即实数连续统。他首先从时间的贰壹性直觉构造出无穷序数ω。“新直觉主义认为，把生命的时刻划分成质上不同的部分，仅当其余的一切被时间分隔开时才重新结合起来，这是人的理智的根本现象，抽离其感性内容就过渡到数学思维的根本现象，赤裸裸的贰壹性(two-oneness)直觉。这种……数学的根本直觉，不仅创造自然数1和2，而且也创造所有的有穷序数，因为贰壹性的一部分可被设想为一个新的贰壹性，这个过程可以无限地重复下去；进而产生最小的无穷序数ω。”[15]
时间具有不断综合的属性，它的两个不同质部分α和β必然结成一个整体（α，β）。这个整体又与γ构成两个不同质的部分，从而结成新的整体（（α，β），γ），然后它与δ结成（（（α，β），γ），δ），这样无限进行下去。时间直观的这个抽象模式就是数学思维的根本构造机制，即贰壹性直觉。贰壹性直觉不仅创造了原始的直观对象自然数1和2，而且提供了根据1和2构造无穷序数ω的程序或算法。
直观主义运用数学归纳法和自然数的原始直觉构造出了无穷序数ω，下一步就是构造出实数系。为此布劳维尔引进了“选择序列”(Choice Sequence)的概念。
有了单个的实数还必须有全体实数的集合或实数连续统，这样数学才算有了一个完善的基础。但是在单个实数和实数连续统之间不存在归纳的或者综合的通道，海丁指出：“众所周知，递归实数没有穷尽连续统，递归实数是可数而连续统是不可数的。”[7](168)因为实数可表示为有理数的可数的无穷序列，其中有理数可与自然数序列一一对应，并且直观主义认为除了可数集合之外没有其他任何集合，所以除阿里夫零之外没有其他任何超穷基数。阿里夫零是这样的一个集合的基数，它的分子能与自然数序列一一对应。这样就不可能从实数直观主义地依靠数学归纳法得到实数连续统。
布劳维尔意识到要得到实数连续统就不能先从有理数归纳得到单个实数，然后再由单个实数构造实数连续统。如果这样，就落入了阿里夫零中，而与实数连续统无缘。必须使全体实数同时被构造，这样自然就得到了实数连续统。为此，他拓展了“选择序列”的概念，提出了“自由选择序列”的概念：“这是指这样的一种选择序列，其中没有对元素的生成作任何限制，而是要求这种延伸能按照自然数的次序进行下去；而且，每次所得出的都是数学对象。这样，作为这种‘自由选择’的结果，所生成的就不只是某个特殊的序列，而是各种可能的序列。”[16](80)
接下来布劳维尔给出了对上述“自由选择”活动的限制规则，即直观主义地构造所有可能的自然数序列的算法。布劳维尔称之为展形(spread)。海丁说：“展形是用一个确定对选择的限制的规则来定义的。”[7](169)根据展形规则就可以能行地构造出所有可能的自然数序列。按照“选择序列”的概念，每一个这样的序列都对应于一个“实数生成子”或“实数发生器”，从而对应于一个实数。于是能行地构造出各种可能的序列，就能行地构造出所有的实数及实数连续统。
直观主义建立数学基础的方法，无论自然数的数学归纳法，还是选择序列的实数生成子，以及自由选择序列的展形规则，都是人心构造数学实体的机制：它们都以时间的贰壹性直觉为其构造原理，都规范了人心在纯直观中进行的合二而一的综合活动：首先，数学归纳法就是人心合二而一的构造机制。人心首先确定属性A属于数学对象1，然后又确定A属于2。根据时间的贰壹性直觉，人心通过A把1和2综合为一个实体A(1,2)，把A(1,2)和3综合为一个实体A((1,2),3)，把A((1,2),3)和4综合为A(((1,2),3),4)……这样进行下去直到构造出最小的无穷序数ω。其次，“实数生成子”或者“实数发生器”：“它是这样一种有理数的序列｛an｝：对于任意的ω＞0，总可有效地确定一个N，使得对于任意的P总有│aN+P-aN│＜ω。”[16](79)实数生成子是这样一种综合机制：对于足以把任意两个数学对象区分开来的极小的ω，实数生成子总能在相应的时刻N之后冲破ω的限制，使在这个时刻之后任意两个数学对象的差别小于ω，这样人心就用实数生成子把两个数学对象综合为一个实体。因此实数生成子同样是人心构造数学实体的机制，用以规范人心在直观中合二而一的综合活动。它的原理或根据在于时间的贰壹性直觉，其可靠性由时间的贰壹性直觉得到保证。再次，展形规则：“所谓‘展形’就是一种特殊的‘自由选择序列’，即是指这样一种规则（展形规则），按照这一规则可以将自然数的有限序列及其延伸区分为允许的和不允许的；另外又有所谓‘补充规则’，依据这一规则，可以对每一允许的自然数的有限序列(a1,a2,……an)指定一个确定的数学对象b[,n]，而这种b[,n]的序列就称为展形的一个元素。”[16](80)人心根据展形规则把自然数综合为众多的、处在不断综合过程中的有限序列，并且把这些有限序列综合为一个序列。因为每一个不断延伸的有限序列构成一个实数，所以由这些不断延伸的有限序列综合而成的序列，就给出全部实数的集合即实数连续统，这样直观主义的数学基础就被人心根据展形规则构造出来了。在这个构造过程中，无论人心把自然数综合为一个有限序列还是把这些序列再综合为一个序列，所运用的展形规则都是把两个不同的对象综合为一个实体的机制，这个机制就是时间的贰壹性直觉。
当逻辑主义者用逻辑的概念定义数学的概念、用逻辑的定理证明数学的定理、从而把整个数学变为逻辑的时候，他是在实践柏拉图的哲学理想：“在达到绝对原理之后，又回过头来把握那些以绝对原理为根据提出来的东西，最后下降到结论。在这过程中不靠使用任何感性事物，而只使用理念，从一个理念到另一个理念，并且最后归结到理念。”[13](270)柏拉图把数学对象变成理念的纲领具有重大的哲学意义：数学对象是独立存在于人心之外的实体；数学认识是纯粹理性超越于经验之外、不借助任何感性而只依靠自身的能力进行认识的领域；数学方法是从绝对原理出发的演绎，只通过对理念的分析得出结论。逻辑主义者把数学变为逻辑，就是在数学推理的实践中运用柏拉图的数学哲学，运用柏拉图的实在论、唯理论和分析的方法论所允许的推理规则和技术手段，因此逻辑主义的哲学之源在于柏拉图。
当直观主义者用时间的贰壹性直觉构造出自然数、又从自然数构造出实数和实数连续统时，他是在实践康德的哲学理想：“纯粹数学知识的实质和它同其他一切先天知识相区分的特点，在于决不是通过概念得出来的，而永远只是通过构造概念得出来的。数学在命题里必须超出概念达到与这个概念相对应的直观所包含的东西，因此，数学命题都是综合的，永远不能、也不应该通过概念的解析（也就是，通过分析）来得到。”[14](23)这就是康德为直观主义所写的哲学宣言，因为这个哲学理想蕴涵着：数学对象是人心构造出来的实体；数学认识不是从理念经过理念到理念的理性认识，而是超出理念达到直观的的特殊的感性认识，即关于感性的纯形式的认识；数学方法是以时间、空间直观为依据的综合。直观主义把全部数学化归为时间的直观，就在技术上把康德的理想变成现实。因为这种化归在每一个技术环节上都以康德的概念论、先验感性论和综合的方法论为依据，因此直观主义的哲学之源在于康德。
收稿日期：2000-11-15
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