循环并不可恶——《恶性循环：非良基现象的数学》评介，本文主要内容关键词为：恶性循环论文,可恶论文,现象论文,数学论文,非良基论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
［中图分类号］B813
［文献标识码］A
［文章编号］1002-8862(2005)04-0059-03
上世纪初，罗素悖论和其他几个集合论悖论的出现引起了许多著名数学家的震惊。为了排除悖论，集合论学者们借助公理方法对康托尔的理论和方法进行了系统整理，建立起了多种严谨的集合论体系，当今应用广泛的ZF集合论就是其中最为著名的一种。直观上集合与类不分，一个性质决定一个类，ZF集合论不能承诺所有这些类都是集合，它用基础公理FA来保证所承诺的集合都是良基的。说一个类X为良基的，是指不能有一个由类组成的无穷序列
如果一个类X对于某个自然数n前言为n次循环的，则称X为循环的。不循环的非良基集合不妨当做循环节无穷的循环类来看。循环性与否定相结合将产生悖论，例如罗素悖论就是所有非零次循环类的类的悖论，所有非n次循环类的类、甚至所有非循环类的类也都形成悖论。基础公理FA要求所有的集合都是良基的，直接排除循环类，排除所有非良基集合。
最近20多年来，循环现象已经引起了人工智能、计算机科学、认知科学、语言学及哲学等领域中研究者的广泛注意。例如，对过程和流这两个概念感兴趣的计算机科学家已经开始了为循环做出数学说明的工作，数理语言学家为说明特性结构在努力，哲学家在研究真和指称的理论，而人工智能工作者则在研究术语学中的循环现象。顺应自身理论发展和其他领域对循环现象加深认识的需要，集合论研究从良基集合延伸到非良基集合（也叫超集合）。1983年，福蒂(M．Forti)和洪塞尔(F．Honsell)提出了反基础公理AFA，1988年，阿克采尔(P．Aczel)发表了专著《非良基集合》，从此开始了非良基集合论的研究。巴威思(J．Barwise)和莫斯(L.Moss)合著的这本《恶性循环：非良基现象的数学》(Vicious Circles：On the Mathematics ofNon-Weufounded Phenomana，CSLI，1996)是新近论述非良基集合论的一本权威性很强的专著，对于我们掌握非良基集合的理论，了解它的应用，进行深入研究都是极为重要的读物。下面对该书的主要内容做一简要评介。
一、博采循环实例，叙述翔实
除了集合论之外，循环还在哲学、语言学、计算机科学、经济学以及数学等众多的领域中出现，预示了非良基集合论广泛的应用前景。循环在我们周围的物理世界中随时可见，日月星辰的循环运动帮助我们把时间划分成年、季、月、日、时，确定生活的节奏。在我们的生理世界和心理世界中循环现象也随时出现，心脏一息三至有规则地跳动，消化系统循环工作，感情生活高低起落也自有其节律。在社会生活中，公共约定的接受是循环的，个人对一种约定的理解是别人理解这种约定的同样的东西。循环性在工程技术的设计和研究中也很重要，尤其是在计算机系统的设计中，硬件的设计要用到状态的概念，设计出的系统必须保证能以正规的方式返回到某种给定的状态。
计算机科学在当今社会中极具重要性，这一领域中出现的最重要实例是关于流的实例。令A是一个集合，A上的一个流是指一个序对s=(a，s’）；这里，a∈A并且s’是另一个流。例如，若映射f是由等式f(n)=(n，f(n+1))定义的，则对任意n而言，f(n)就是流(n，(n+1，(n+2，…)))，f(0)也就是流(0，(1，(2，…(n，…)…)))。一周七日周而复始，可以表示成关于流的等式：
周＝（日，（一，（二，（三，（四，（五，（六，周）））））））。
类似地，春夏秋冬四季循环，可以表示成
季＝（春，（夏，（秋，（冬，季））））。
以
。这类关于集合的不动点方程是该书第15章的中心论题。直接模拟流的概念会导致非良基集合，非良基集合论将提供工具对它进行很自然的处理。书中还详细叙述了加标转换系统、闭包和自适用程序等的循环实例，这些实例也都很重要。
循环也出现在哲学中。例如笛卡尔的名言“我思，故我在”，笛卡尔指望从无可否认的前提做出一个不可反驳的论证来证明自身的存在，他怀疑一切可以怀疑的，但不能怀疑自己在思考，因为对自身行为的怀疑也要求思考；正是思考的循环性帮助他做出了他的著名论断。哲学中最令人注目的循环现象出现在那些著名的逻辑悖论和语义悖论中。人对世界的认识具有循环性，这一循环性的意义可以用共通(conway)悖论来阐明。除了共通悖论，作者还论述了其他许多悖论，如谎言悖论、指称悖论、高级游戏悖论以及罗素悖论等。在分析这些悖论后作者得出结论说，它们都涉及某种循环性与否定的相互影响，循环并不可恶。
二、理论阐述严谨，笔调清逸
在该书的第三和第五两大部分中作者严格周到地阐述了非良基集合论ZFA，论证清晰细致，整个理论的梗概如次。
非良基集合论ZFA允许有本元（没有元素且自身也非类的对象），它以除去基础公理FA后的集合论
为基础（这里，ZFC指带选择公理的ZF集合论），在中加进反基础公理AFA而得。ZFA有相对协调性。即，如果ZFC是协调的，则ZFA也是协调的；具体证明见该书第9章。反基础公理可以有多种说法，该书采用了方程组解的存在性定理形式。这里说到的方程组是指由关于集合或类的方程形成的方程组。
双仿在模态逻辑中最初以p-态射的名称出现，由范·本特姆(Johan van Benthem)在建立对应理论的过程中引进。计算机科学家也独立地发现了双仿关系，它是过程图上的一个很自然的等价关系。双仿关系是非良基集合论中的一个基本概念，方程组ε=
数学和逻辑学中充满了递归定义的集合，也就是对某些运算封闭的“最小”集合：自然数集合、公式的全体以及证明的全体都是很典型的例子。要证明有关递归定义的集合的某个结论，最标准的方法就是归纳证明的方法。但处理循环性时，通常要用“余递归”来定义集合中，也就是其中每个元素都满足某个条件的最大集合；例如A上的流的全体就是满足“方程”X=A×X的最大解。通常用于如此定义的集合和类的证明方法是“余归纳证明”方法。递归和余递归、归纳和余归纳都是跟单调算子的不动点有关。一个算子是指一个运算
。在第16、17两章中这些概念和结论都得到了推广，第17章专门论述了余递归。
三、理论应用广泛，运斤成风，匠心独具
非良基集合论可以有许多应用，该书作者几乎用了一半篇幅（第四、第六两大部分）来讨论这方面的内容，技术熟练、手法独特、范围广泛，涉及了图、流、游戏、语义悖论和模态逻辑等领域。下面概要地转述他们对谎言悖论的处理，见一叶而知秋。
作者想要开创“反基模型论”，研究那些以某种可能的非良基方式使个体域含有其他模型的模型，认为这是一个有着丰富潜力的主题。他们尤其感兴趣于“自反”模型，就是那些自身也是其个体域中元素的模型，认为这样的模型可以用来对有关自指的语义悖论做新的探讨，目的不是“解决”悖论，而是构建一个能在其中很清晰地弄清哪些假定会引发悖论的框架，检查这些假定并决定其中哪些是无根据的。
语义悖论的处理要用到有关部分模型和克里尼三值逻辑的概念和结果。我们假定关系符的全体Rel、常项符的全体Const、变项符的全体Var三者互不相交，并假定
并且使得L中的每一个常项符c在M中都有所致。每一个部分模型都能扩张成一个个体域保持不变的全模型。有了模型，就可以考虑语句在模型中为真的问题。对于全模型的问题完全可以用标准的赋值定义来解决。对于部分模型问题的解决则可采用克里尼的三值赋值来解决。部分模型有一个重要性质，它满足一个语句并不因为模型的简单扩充（保持个体域不变的扩充）而改变，即，如果
。模型中的个体可以是任何东西，尤其可以是本元、L的语句和L的模型。一个模型M是自反的是指它自身是其个体域中的元素。每一个模型都可以扩充成一个自反的全模型。
为了处理谎言悖论这类语义悖论，我们的语言中还必须有一个述真谓词Tree：True(x，y)的意思是说由x所指的语句所表达的条件在y所指的模型中为真。对于一个固定的M，我们可以用Tree(a，b)表示属于Tree在M中的外延，False(a，b)表示属于True在M中的反外延。一个谎言句就是形如“
(this)”的任意一个语句；这里的this和h（指here)是我们语言中的常项符或变项符。谎言句的实际意思是说“本语句在此模型中不真”。在非良基集合论中可以证明下述定理：
谎言定理：令λ是一个谎言句(this)。如果M是一个真值正确的模型（具体定义见第13章第3节），那么下述三款中至少有一款不成立：(1)this在M中的所指是h；(2)h在M中的所指是M；(3)
。
谎言悖论已有的种种“解决”方案大多数都可以看成是放弃三款中的一款。塔尔斯基语言层次理论使第一款成为不可能。真值间隙理论放弃第三款，把谎言句看成是要求我们放弃世界完全（任意断言或真或不真）的思想。语境敏感方案放弃第二款，h的所指在断定的前后发生了轻微的变动。作者通过几个例子说明了这种变动如何发生，并由此认为语境敏感对于解释谎言悖论背后的直观推理似乎是有道理的。