非标准逻辑基础上的知识逻辑SI，本文主要内容关键词为：逻辑论文,基础上论文,非标准论文,知识论文,SI论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
之所以构建知识逻辑系统SI，主要是因为标准知识逻辑的逻辑基础不够实用。这里的标准知识逻辑指的是以经典命题逻辑作为逻辑基础的知识逻辑，例如我们所熟悉的知识逻辑系统Kn就是标准的知识逻辑[1]。SI的逻辑基础不是经典的命题逻辑，也就是说它对知识进行推理的根据不是经典的命题逻辑，因此它是非标准的知识逻辑。它的逻辑基础我们称之为非标准逻辑。非标准的知识逻辑SI的重要的结果就是：1.允许不一致且不完全的信息存在，并且仍然可以合理推理；2.在一定程度上，实现了对逻辑全能的控制。为了更好的介绍SI，有必要先对“逻辑全能”作一些补充解释。
逻辑全能
在讨论本部分之前，先谈一下逻辑全能的基础概念——逻辑蕴涵(或逻辑后承)[2]。不严格地说，公式
逻辑蕴涵公式
指的是如果成立，那么成立。这时也可以说，公式是公式的逻辑后承。公式集A逻辑蕴涵公式指的是如果公式集A中的每个公式都成立，那么成立。这时也可以说，公式是公式集A的逻辑后承。很显然，一个公式如果是空集的逻辑后承，那么这个公式就是有效式。就像“有效性”一样，逻辑蕴涵不是一个绝对概念，它是相对于一定的语义结构或“真”，“满足”这些概念而言的。严格一点说，任给模型类
中的模型M，任给公式集A中的公式，s是M中的任意状态(可能世界)，如果(M，s)
，则(M，s)，那么我们就称相对于模型类，公式集A逻辑蕴涵。
在经典逻辑中，有一条定理：A是有限公式集，A逻辑蕴涵当且仅当公式(∧)→有效，其中∧是A中所有公式的合取。从这里我们可以看出，在经典逻辑中，逻辑蕴涵与实质蕴涵是一致的，即逻辑蕴涵当且仅当→有效。但是并不是在所有的逻辑中逻辑蕴涵与实质蕴涵都一致，我们这里介绍的SI就是一个例子。
根据逻辑蕴涵，还可以定义逻辑等值。如果两个公式互相逻辑蕴涵，那么这两个公式逻辑等值。逻辑蕴涵是一个相对概念，当然由逻辑蕴涵定义的逻辑等值也是一个相对概念。
逻辑全能可以看作是主体知识的一种封闭性的性质，即如果知道了一定事实，那么他也会知道另一些事实[3]。逻辑全能最强的形式被称作完全逻辑全能，其含义如下：
“若主体知道了公式集A中的所有公式，并且知道A相对于模型类逻辑蕴涵，则主体也会知道”，那么主体就是完全逻辑全能的。
很显然，标准的可能世界语义模型类有完全逻辑全能的性质。由完全逻辑全能可以得到以下较弱的逻辑全能的形式。这里的“有效”，“逻辑蕴涵”，“逻辑等值”仍是相对于一定结构而言的，只是为了简练，将“相对于模型类M”省去了。
(1)知道所有的有效式：如果有效，那么主体知道。
(2)知识对于逻辑蕴涵封闭：如果逻辑蕴涵，并且主体知道，那么主体也知道。
(3)知识对于逻辑等值封闭：如果与逻辑等值，并且主体知道，那么主体也知道。
这三种形式都可以由完全逻辑全能得到。也就是说，如果系统有完全逻辑全能，那么就会有这三种性质。在标准的可能世界语义模型类中存在完全逻辑全能，当然也就存在这三种性质。
还有一些逻辑全能的形式并不能必然地由完全逻辑全能得到：
(a)知识对于实质蕴涵封闭：如果主体知道，并且知道实质蕴涵，那么主体也知道。
(b)知识对于有效蕴涵封闭：如果→有效，并且主体知道，那么主体也知道。
(c)知识对于合取封闭：如果主体知道，并且知道，那么主体也知道∧。
这三种逻辑全能的形式在标准的可能世界语义模型类中也成立。如果｛，→｝逻辑蕴涵，那么→就表示了逻辑蕴涵。标准的可能世界语义学中的实质蕴涵的解释就是逻辑蕴涵。在这样的解释下，知识对于实质蕴涵封闭就成了完全逻辑全能的一种特殊情况。类似地，“若逻辑蕴涵，则→有效”，那么此时实质蕴涵也是逻辑蕴涵。这样，知识对于有效蕴涵封闭也是完全逻辑全能的一种情况。最后，如果｛，｝逻辑蕴涵∧，那么知识对于合取封闭同样也是完全逻辑全能的一种情况。
逻辑全能需要封闭性的条件。标准的可能世界语义学提供了这样的条件，因此，要避免逻辑全能就需要修改标准的可能世界语义学。标准的语义学要求知识在所有认知可能世界上都真，并且对“有效”以及联结词给出了经典的解释。因此可以从三个方面修改标准的可能世界语义学：
1.修改“知识”的定义，不再要求知识在所有的认知可能世界上都真。
2.修改有效性的定义。
3.修改“逻辑”，赋予逻辑联结词不同于经典语义的解释。
本文采取的是第三种方案，对“否定”作出不同于经典逻辑的解释。
非标准逻辑语义
非标准逻辑在一定程度上允许矛盾存在。经典逻辑不允许矛盾存在，矛盾可以推出一切是实质蕴涵怪论在经典逻辑中的一种表现。这样的逻辑在某些实际应用中却不合适[4]。数据库中有时会有不一致的信息。如果两个人对张三这个对象输入了不一致的信息：张三毕业于1997年；张三毕业于1996年。那么若使用经典命题逻辑，就会得出任意结论，而这并不是我们需要的。我们需要从不一致的信息中仍然可以合理地推出结论。在经典逻辑中，“矛盾可以推出一切”根源于实质蕴涵与逻辑蕴涵相一致的解释。在这种解释下，“→”就是逻辑蕴涵。这是因为“→”就是“┓∨”，所以实质蕴涵当且仅当┓或者，当且仅当成立则成立，当且仅当逻辑蕴涵。那么这里关键的一环就是：成立当且仅当┓不成立。如果没有这一环，实质蕴涵就不会与逻辑蕴涵一致。如果对否定的解释作修改，那么这两种蕴涵就可能不一致。出于对实质蕴涵的不满意，可以从修改“否定”入手来解决实质蕴涵的问题。
这种修改方案的直观思想是：命题的“真”“假”取决于信息状态上的两个数据库，一个是真公式数据库，另一个是假公式数据库。公式真当且仅当出现在真数据库中，公式┓真当且仅当出现在假数据库中。公式可以同时出现在这两个数据库中，那么此时与┓都真，这样的信息状态称作不一致的信息状态；公式也可以同时不出现在这两个数据库中，那么此时与┓都假，这样的信息状态称作不完全的信息状态。每一个认知可能世界都可以看作是一个信息状态：＜B[，T]，B[，F]＞，第一个表示的是真情况的数据库，第二个则是假情况的数据库。每一个信息状态s都有一个相对应的信息状态s[*]，它同样有两个数据库组成：＜
，
＞(如果X是公式集，
就是由所有不出现在X中的公式组成的集合)。在s上，真当且仅当∈B[，T]，┓真当且仅当∈B[，F]。我们注意到：∈B[，F]当且仅当
。因为是s[*]上的真情况数据库，因此检验┓在s上是否真只需检验是否在s[*]上真：
┓在s上真当且仅当在s[*]上假。并且我们还注意到：s[**]=s。
如果=B[，T]，那么s[*]=s。此时的否定退化为经典的否定。
我们可以将这种直观的思想抽象为严格的形式语义。
非标准逻辑框架与标准可能世界语义框架是一样的。但是非标准逻辑模型与标准的可能世界语义模型不同。
定义1 非标准逻辑模型 M=＜W，R[，1]，…，R[，n]，V，*＞是非标准逻辑模型，如果＜W，R[，1]，…，R[，n]，V＞是标准的可能世界语义模型，*是满足下面条件的W到W的函数：
任给s∈W，都有s[**]=s。
对“”的定义与标准的可能世界语义学不同之处只有一点：
(M，s)┓当且仅当(M，s[*])
。
在经典语义解释中，“否定”与“肯定”是无法分离的：在s上的否定真当且仅当的肯定假。但是此处给出的“否定”可以在一定程度上与“肯定”相分离，s上的否定是否成立与s上的肯定没有必然的联系(如果s≠s[*])。这种语义使得与┓在s上可以同真，也可以同假。
虽然否定有了改变，但是像标准语义学一样，非标准逻辑的析取与实质蕴涵仍然可以由否定和合取定义：∨定义为┓(┓∧┓)；→定义为┓∨。下面的定理反映了合取与析取的关系在这种解释下还相当的“经典”。
定理2 M是非标准逻辑模型，则
(1)(M，s)┓┓当且仅当(M，s)。
(2)(M，s)∨当且仅当(M，s)或(M，s)┓。
(3)(M，s)┓(∧)当且仅当(M，s)┓∨┓。
(4)(M，s)┓(∨)当且仅当(M，s)┓∧┓。
(5)(M，s)∨(∧)当且仅当(M，s)(∧[，1])∨(∧[，2])。
(6)(M，s)∧(∨)当且仅当(M，s)(∨[，1])∧(∨[，2])。
此定理的证明相当简单，有兴趣的读者可以试着证明。
在非标准逻辑中，一些实质蕴涵怪论不再有效，例如：p∧┓p→q。但是一些相当简单的重言式也不再有效，例如：p→p！其实在这种语义下根本不存在有效式！
定理3 存在非标准逻辑模型M使得对任意公式都有[，M]。
证 M=＜W，R[，1]，…，R[，n]，V，*＞是非标准逻辑模型，其中W=｛s，t｝，t=s[*](所以s=t[*])。对任一命题变元p，都有V(p，s)=0，V(p，t)=1。任给i∈｛1，…，n｝都有R[，i]=｛(s，s)，(t，t)｝。可以归纳证明对任意公式都有[，M]。
因为我们希望用有效式来刻画非标准逻辑下的知识性质，因此这个结果似乎令人有些遗憾。然而虽然在非标准逻辑语义中没有有效式，但是确实存在逻辑蕴涵！例如在定理2中，┓┓逻辑蕴涵，┓(∧)逻辑蕴涵∨┓，等等。这里需要注意的是：┓┓逻辑蕴涵并不意味着┓┓→是重言式。在标准的可能世界语义学中逻辑蕴涵当且仅当→有效，也就是逻辑蕴涵就是实质蕴涵。之所以有这样的结果，是因为在标准的语义学中┓真当且仅当假。由于非标准逻辑语义学不再满足这样的条件，所以实质蕴涵与逻辑蕴涵也就不再一致。
这种语义学是否避免了逻辑全能？通过考察，我们不难发现，完全逻辑全能仍然存在。如果逻辑蕴涵，那么K[，i]逻辑蕴涵K[，i]。我们还可以发现知识对于合取仍然封闭，这是因为｛，｝逻辑蕴涵∧。但是这种语义学确实在一定程度上控制了逻辑全能——知识对于实质蕴涵不封闭。这样的情况是可能的：K[，i]并且K[，i](→)，但是K[，i]不成立。取W=｛(s，t)｝，R[，i]=｛(s，t)｝，t=s[*]，V(p，s)=0，V(p，t)=1，V(q，t)=0。这样V(K[，i]p，s)=1。由于V(p，s)=0，所以V(┓p，t)=1。V(p→q，t)=V(┓p∨q，t)=1。所以V(K[，i](p→q)，s)=1。但是V(K[，i]q，s)=0。
强蕴涵与知识逻辑SI
非标准逻辑语义学在一定程度实现了对逻辑全能的控制。虽然这种语义学确实有逻辑蕴涵，但是在标准认知逻辑语言中(初始符号包括的命题联结词只有┓，∧)我们无法找到有效式。p→p被定义为“┓p∨p”，它在非标准逻辑中不有效，但是“如果p真，那么p真”仍然成立。由于标准的认知逻辑语言的局限性，我们无法定义出合适的联结词来刻画非标准逻辑语义的逻辑蕴涵。因此要刻画这种逻辑蕴涵，需要对原有的语言进行扩充。
我们在原有语言的基础上，增加称之为“强蕴涵”的命题联结词
，这样就成为新语言下的合法公式。这种扩充后的语言，我们称之为LN。“”的含义就是“如果……，那么……”，其严格语义定义如下：
(M，s)当且仅当(M，s)或(M，s)。通过语言的扩充，非标准逻辑语义中出现了有效式，如pp。
之所以称“”为强蕴涵，是因为可以证明：标准认知逻辑语言中的公式，，如果在非标准语义结构中有效，那么在→相应的标准语义结构中也有效。
既然有了有效式，我们就可以构造建立在这种非标准命题逻辑基础上的知识逻辑SI。SI由以下公理和推理规则组成：
1)公理
强蕴涵K公理
K[，i]∧K[，i]()K[，i]。
2)推理规则
(1)所有非标准命题逻辑中的保有效推理规则。
(2)认知概括规则 从得到K[，i]。
此公理系统与标准的认知逻辑系统K[，n]有很大的不同。首先，SI的与K[，n]的逻辑基础不同。K[，n]的逻辑基础是经典的命题逻辑，而SI的逻辑基础是一种非标准的命题逻辑。这样，这两个系统对知识的推理就不同，因此知识的性质就会相应地有很大的不同。其次，这两个系统在表述其组成上也很不一样。K[，n]系统的公理除了K公理，还有重言式公理，推理规则除了认知概括规则还有分离规则。如果将K[，n]系统的K公理换成强蕴涵K公理，重言式公理换成非标准命题逻辑的有效式，推理规则保持不变，这样所得到的系统虽然在形式上与K[，n]系统很对称，但是可以证明它是不完全的。但是SI系统有完全性。
定义4 一致集 A是公式集，α是公式。如果A├α并且A├αfale，则A是不一致的，否则A是一致集。
定义5 极大一致集 A是一致集，如果任给公式αA，都有A∪｛α｝不一致，那么A是极大一致集。
定理6 A是极大一致集，则
(1)任给公式α，都有α∈A或αfale∈A，且二者只居其一。
(2)α∧βA当且仅当α∈A且β∈A。
(3)如果α∈A且αβ∈A，则α∈A。
(4)如果α在SI中可证，则α∈A。
定理7 A是一致集，则A可以扩充为极大一致集。
定义8 典范框架 ＜W，R[，1]，…，R[，n]＞是典范框架，如果W是所有极大一致集的集合，任给x，y∈W，xR[，i]y当且仅当x[-]
y(x[-]=｛α│Bα∈x｝)。
典范模型 M=＜W，R[，1]，…，R[，n]，V，*＞是典范模型，如果＜W，R[，1]，…，R[，n]＞是典范框架，＜W，R[，1]，…，R[，n]，V，*＞是非标准逻辑模型，并且V是满足以下条件的赋值：
任给命题变元p，任给s∈W，p∈s当且仅当V(p，s)=1。
定理9 M是典范模型，则任给公式α，(M，s)α当且仅当α∈s。
定理6，7，9的证明与K[，n]系统的证明类似，这里不再证明。
定理10 完全性 SI系统相对于所有非标准逻辑框架是完全的。
证
，那么αfalse是SI一致的。假设αfalse不是SI一致的，则αfalse├α。非经典逻辑有推理规则：从A∪｛β｝├γ，A∪｛βfalse｝├γ得到A├γ。αfalse├α，α├可以得到
矛盾。由定理7，｛αfalse｝可扩充为SI极大一致集s。根据定理9，在典范模型M中，V(αfalse，s)=1。所以V(α，s)=0。
讨论
SI系统与标准认知系统Kn对知识进行推理的逻辑基础不同，SI使用的是非标准命题逻辑，而Kn使用的是经典命题逻辑。虽然这两个系统都承认了知识的一个基本性质(K公理的内容)：如果主体知道α逻辑蕴涵β并且知道α，那么主体也知道β。但是他们对逻辑蕴涵有不同的解释。Kn把逻辑蕴涵解释为实质蕴涵，SI系统把逻辑蕴涵解释为强蕴涵。正是由于对蕴涵的不同解释，才有了不同的逻辑——经典命题逻辑与非标准命题逻辑。
SI系统引入强蕴涵的原因是出于对实质蕴涵的不满。不相一致的信息使用经典命题逻辑就会推出一切。这种逻辑在实际应用中就不太合适。由于非标准逻辑对“否定”进行了不同于经典命题逻辑的解释，使得否定与肯定的联系不再那么紧密，从而使SI系统允许存在不一致或不完全的信息。这样SI系统就更有实用的价值。
对于逻辑全能问题，如果实质蕴涵与逻辑蕴涵相一致，那么知识对于实质蕴涵封闭其实就是完全逻辑全能。SI系统中的实质蕴涵与逻辑蕴涵不一致，知识对于实质蕴涵不再封闭，因此SI系统不存在这种弱形式的逻辑全能。但是它仍然不可避免地会有完全逻辑全能。然而它毕竟提供了一种控制逻辑全能的方法。从这一点来说，SI系统对于解决逻辑全能问题仍然是有意义的。