开普勒定律的建立及对教学的启示，本文主要内容关键词为：开普勒定律论文,启示论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、开普勒定律建立的历史回顾[1]
16世纪末，出生于丹麦的天文学家第谷（Tycho Brahe，1546～1601），二十年如一日，仔细地观察并记录了行星在天球上的位置，绘制出上千颗恒星非常精确的星图.他测量和记录了20年来的行星位置，误差不超过0.2°.第谷描绘的宇宙体系，既不同于托勒玫（C.Ptolemy，约90—168）的，也有别于哥白尼的.第谷认为地球不动并处于宇宙中心，月亮绕地球旋转，太阳率领除地球之外的五大行星绕地球旋转，且五大行星围绕太阳旋转.由于第谷的数据精度比验证哥白尼学说所需要的要高得多，人们发现哥白尼的行星圆轨道模型只是粗略的近似.
1601年第谷去世之前，把自己毕生观测到的数据全部赠给了他的学生和助手、德国天文学家开普勒（Johaanes Kepler，1571～1630）.作为第谷事业的继承人，开普勒把全部精力投入到整理第谷的观测数据上，而首要任务是通过这些数据确定火星运动的轨道，在此之前，哥白尼曾不得不用五个本轮来解释火星的运动.开普勒是哥白尼的信徒，他起初用哥白尼体系来描述火星的运动，尽管使用了对等点来改善哥白尼体系的结果，但得出的火星轨道与第谷的观测数据仍有8′的误差.开普勒坚信第谷的观测数据是精确的，但与第谷不同的是，他更倾向于从理论上考虑问题.[2]
经过多年的努力探索，开普勒终于认识到，要描写火星运动的轨道，就必须放弃长期认为的只有圆轨道才适合天体运动的古老信念，他尝试用椭圆轨道解决问题.1609年，开普勒发表了一篇题为“新天文学”的研究文章，提出了描述火星运动的两个论述，即开普勒三定律中的前两个.但是，如果没有第谷的观测数据，就不会有开普勒的发现.
在开普勒的文章发表一年后的1610年，意大利物理学家和天文学家伽利略在他的著作《星界使者》一书中指出，他已观察到了木星有4颗卫星和土星的光环、金星的盈亏变化等.伽利略的这些发现引起了不小的轰动，人们纷纷说，哥伦布发现了新大陆，而伽利略发现了新宇宙.更为重要的是，伽利略这些发现为日心体系的构建提供了依据.1619年，开普勒的又一著作《和谐的世界》问世，书中他推导出行星轨道的日心距离和周期，提出了和谐定律即开普勒第三定律.1621年，开普勒的又一著作《哥白尼天文学概论》出版，他在书中全面系统地论述了自己的学说.由于开普勒三定律精确地规定了行星在天空中的运动，人们称他为“天空立法者”.
毋庸置疑，开普勒和伽利略的著作改变了世界，改变了人类对于宇宙的认识，其对人类社会的贡献甚至超过了自1687年牛顿的巨著《原理》问世之前的任何一本书.开普勒把第谷20多年观测到的几千个数据归纳为如此简洁的三条定律，寥寥数语诠释了行星运动的奥秘.开普勒对自己的成功是那样的欣喜若狂，他曾不加掩饰地说：“16年了，我立志要探索一件事，所以我和第谷结合起来……我终于走向光明，认识到的真理远远超出我最热切的期望，如今木已成舟，书已完稿.至于是否现在就有读者，抑或将留待后世？正像上帝已等待了观察者六千多年那样，我也许要等待整整一个世纪才会有读者，对此我毫不在意.”开普勒当时尚不知道，他所发现的三大定律已传达了更大的“天机”，他的第二定律意味着角动量守恒；他的第三定律意味着引力的平方反比律，但破译这些“天机”的却是半个世纪之后的牛顿.1687年，牛顿根据前人的工作和结论，以高超的数学技巧在自己的巨著《原理》中，建立起运动学的三定律和万有引力定律，并指出开普勒关于行星运动的论述是运动学三定律和万有引力定律的必然结果，从此，日心体系学说得到广泛地承认和接受[3].
二、关于开普勒定律教学的反思[1]
在21世纪的今天，当我们给学生讲授开普勒定律时，如果没有这些定律最初的发现过程，必然遇到一个挑战，即如何用数学语言讨论开普勒定律.现在的大学预科、甚至大学一年级物理教材的编者通常认为这些程度的学生远不具备推导椭圆轨道的数学知识，因而都是把开普勒定律作为自然界的经验规律简单介绍给学生.教师按这种方式组织教学，学生按这样的要求学习，但当学生需要对这些定律有更多更深的理解时，却很少能在教师那里和教材上获得帮助.
正确的教学理念告诉我们，一个科学定律要有理论和实验两方面的支持，显然教材作者的观点与此不相符合.而且，教材作者的这种倾向给教材带来其它方面的缺陷，有一本一年制的职业学院的物理教材中用微积分较好地处理了开普勒第二定律，但以同样的方法处理另两个定律时却不太成功.其次，大多数的物理教材在讨论开普勒定律时，只重视行星运动圆轨道的数学推导，却忽视了椭圆轨道.我们认为圆轨道只是椭圆轨道的一种近似，在太阳系里真正的圆轨道几乎不存在.因而，把上述问题颠倒过来才具有意义.首先推导出行星运动的椭圆轨道，把圆轨道作为椭圆轨道的特例来讨论.其实，对于开普勒定律的数学推导并不需要微积分知识，学生在中学已掌握的代数、几何及物理学基础知识足以够用.
三、开普勒定律的数学推导[1]
为了便于数学推导，应当熟悉椭圆的基本性质.如图1所示，椭圆是平面上的一条二次曲线，椭圆上任一点P（x，y）到两个焦点F[，1]（c，0）和F[，2]（-c，0）的距离之和总是相等的.设距离之和为2a，则
如图1所示，c为椭圆中心O到椭圆的一个焦点的距离，椭圆的偏心率定义为e=c/a，由于c＜a，所以e＜1，由此可知椭圆焦点的坐标也可表示为（±ae，0）.当椭圆的长轴位于x轴时，其标准方程为
即圆是椭圆偏心率为零的极限形式.
图1中第四象限中的1/4椭圆中，宽度为dx的面积为ydx，于是
下面我们给出开普勒定律的数学推导过程.
1.开普勒第二定律：对任一行星来说，它的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积.
在如图2所示的坐标系中，有一质量为m，速度为v的运动粒子，则粒子对于O点的角动量L的方向总是垂直于由位置矢量r和速度矢量v构成的平面，若r是由O点指向粒子任一时刻的位置，v在xOy平面，则L的方向总是沿z轴方向，以r⊥表示r的垂直于速度方向的分量，则角动量L的大小为
L=mr⊥v④
如果粒子所受合外力对O点的力矩为零，则粒子的角动量守恒.
如图3所示，一质量为m的卫星绕椭圆的一个焦点F运动，P为椭圆轨道上的任一点，卫星所受的力为焦点F给予的万有引力（向心力），β为焦点F到速度v的切线方向的垂直距离，叫做卫星的垂足.由于卫星受到的向心力对F点不产生力矩，所以卫星在运动中对F点的角动量守恒，有
mβv=C[，1]=常量⑤
由⑤式可推导出开普勒第二定律.
设卫星在t[，1]时间内由P点沿椭圆轨道运行到P′点，在ΔFPP′中，位置矢量r扫过的面积ΔA随时间的变化率为常量，即
如图4所示，地球位于卫星椭圆轨道的一个焦点，椭圆的半长轴为a，半短轴为b，偏心率为e=c/a，卫星的近地距离R[，p]=a-c=a（1-e），远地距离R[，A]=a+c=a（1+e），由⑧式知椭圆的面积为πab，若卫星运行的周期为T，由⑥式有
由⑤式知，β×v是一常量，故⑧式即为开普勒第二定律的数学表示.当卫星运动至近地点P或远地点A，图3中的β即为R[，P]或R[，A].由⑧式还可看出，卫星在近地点速度v[，P]最大，而远地点速度v[，A]最小，且满足
2.开普勒第三定律：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的立方与周期T的平方成
上式成立的条件为e=0，这说明当椭圆轨道的偏心率为零时，卫星沿圆轨道运动.