【关键词】：函数思想；数学解题；应用
【引言】：函数思想在教师的教学过程中发挥了积极的作用，同时也提高了学生的学习成绩，函数思想方法是学生把知识转变为解答能力的重要工具，帮助学生在学习数学过程中养成良好的学习习惯和准确的逻辑推理思维。把握好函数思想，运用函数的方法来应对数学中的问题，往往可以实现一举两得的目标。因此，老师在数学教学过程中要充分发挥函数思想的作用，进而不断提高学生的逻辑思维能力。
一、函数与函数思想
1.函数的产生与发展
函数的产生不是偶然，而是一个必然的结果。1692年德国数学家莱布尼茨第一次运用了“function”这个词语。1718年贝努利在莱布尼茨理念的前提下把变量x 和常量依据随机形式组成的量称为“x 的函数”。18世纪中期欧拉把函数确定为一个变量和某些常数以任意形式组成的解析表达式。1822年傅里叶发现很多函数不但能够由曲线表示，也能够由单个或多个表达式代表。 在19 世纪末20 世纪初，把集合当做一种对应或映射的概念以实现。直到德国数学家康托尔集合论的出现，对函数含义的研究进一步超越了“数”的界限。
函数由三个重要的部分组成，分别是定义域、值域和它们之间的一一对应关系。其中，定义域为自变量x的取值范围，对应关系f 是函数的中心内容，它是自变量x 进行“相应操作”的“手段”或者“方式”。 函数的定义域与函数的对应关系明确之后，函数的值域范围也随之确定下来。
2.函数思想
函数思想表现的是量和量之间的关系，这种关系是不断变动的。在一个确定的函数y = f( x) 式子中，重点是要知道y 依照什么约束条件依赖于变量x ，也就是说，对应法则f 是组成函数的重要因素。自变量的变动位于主导地位，定义域加上对应法则就确定了函数的值域，自变量的定义域是函数构成的另一个重要因素。使用函数思想来解题，本质上就是构建函数模型，把所求问题转变成求函数的问题，进而得到需要的结果，在运用函数思想解题的进程中，要求能够准确的把握基础函数的具体特点，发现问题的构成特点并正确运用函数的性质，最后实现解决问题的目标。
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二、函数思想在数学解题中的应用
1.函数思想在不等式问题中的应用
运用函数思想来解答不等式问题，从根本上说，也就是分析相应函数的零点、区间范围和函数单调性的问题。因而，在遇到这种问题时，使用函数思想进行转化，不断能够优化解答方法，还能够快速得到解题过程。例如设a>0，b>0，求证(a+b)(1/a+1/b)>=4这道题目，分析很多时候学生在看到这道题目的时候，只看给定的条件，感觉不知道从哪里入手，这时候如果转变一下角度，采取构造函数的方式，将证明(a+b)(1/a+1/b)>=4转变成函数中的性质，这道题目就变得简单些了。证明构造函数f( a) = (a+b)(1/a+1/b)-4，即只需证明a/b+b/a-2>=0，又因为a>0，b>0，由a/b+b/a>=2，即可证明(a+b)(1/a+1/b)>=4。这道题目的关键就是要具备相关的函数认识，学会使用函数思想构造一次函数，再根据函数的性质来解决问题。
2.函数思想在方程问题中的应用
函数思想对于解决方程问题是必不可少的。例如在解方程( x2－ x + 1)5－ x5 + 4x2－ 8x + 4 = 0时，观察问题给出的是一元5 次方程，在高中时期，很少会考察解5次方程的问题，经过变化以后，利用函数的特征来解决，在很大程度上减轻了解方程的困难程度。把原方程变化为( x－ x + 1)5 + 4( x2－ x + 1) = x5+ 4x ，因为函数f( t) = t5+ 4t 在实数集上单调递增，又由于f( x2－ x + 1) = f( x)，所以 x2－x + 1 = x ，求出x= 1，因此原方程只有一个实数解也就是x = 1。这道题目对高中生来说很难解决，但是经过构造一个单调函数，运用单调函数的自变量和因变量之间的相应关系，就可以很容易的解答。
3.函数思想在比较问题中的应用
针对带有参变量的两个方程式的大小比较题目，能够运用函数的相关知识，快速的找到解决的办法。比如a和b是一个直角三角形的两个直角边边长，c是斜边长，如果n∈N ，比较an+ bn 和cn的大小。依据我们已经学过的三角形和直角三角形的相关知识可知，a + b ＞ c 且a2+ b2= c2，即求n≥3 时的情况，关注到题目中的指数形式，根据0 ＜ ac＜ 1 ，可以知道( ac) n是单调递减的，最终可证an+ bn ＜ cn。这是采取构造指数函数的方式，根据指数函数的单调性，快速解决问题。
【结束语】：
函数思想方法在高中时期得到了广泛的使用，它不是单独使用的，在具体的运用过程中经常和数形结合、分组讨论的数学方法相结合，有些题目需要运用多种的数学思想方法。 因而，在数学的学习过程中，不断加强对函数定义、构成、性质以及函数的实际运用的学习，熟练灵活使用函数思想来解答数学数学问题，将会对之后数学知识的进一步学习和深刻理解产生巨大的影响。
参考文献:（下面是参考文献的格式）
[1]于长军，朱岩.高中数学思想方法[M].龙门书局，2010.
[2]魏建用.重视渗透函数思想,提高学生的思维品质[J].福建教育学院学报，2008，12：101-103.
[3]石学凯.函数思想长放光芒—谈谈“函数思想”在解题中的应用[J]，2004，198：45-46.
论文作者:赵若杉
论文发表刊物:《科技中国》2017年11期
论文发表时间:2018/5/2
标签：函数论文; 思想论文; 数学论文; 定义域论文; 方程论文; 自变量论文; 题目论文; 《科技中国》2017年11期论文;