徐冰[1]2003年在《几类迭代函数方程解的连续性、凹凸性、解析性与稳定性》文中认为迭代是自然界乃至人类生活中的一种普遍现象。迭代方程就是以迭代为基本运算形式的方程。漫长的历史沉淀使迭代方程成为与微分方程、差分方程、积分方程及动力系统紧密相关的现代数学分支，在实验科学和工程科学研究中起着重要的作用。在本文的绪言中介绍了几类迭代函数方程，并对与之相关的一些基本结果作了一个简要介绍。 第二章研究了两类迭代方程连续解的存在性。本章首先讨论了与逐段常时滞泛函微分方程不变曲线有关的一类迭代函数方程的连续解的存在唯一性和连续依赖性，不但弱化了已有结果的C~1光滑性的条件，还讨论了连续解的对称性，并根据对称性将一些结果推进到高维。本章还讨论了线性型迭代方程的递减解与非单调解的存在唯一性及连续依赖性，并将相关结果推广到拟线性型迭代方程。 第叁章研究了线性型迭代方程的拟凸解、拟凹解、凸解及凹解的存在性。凸性是函数的最重要的性质之一。曾经有人讨论了凸迭代根和凹迭代根的存在性，但对更一般的方程——线性型迭代方程的解的凹凸性尚无结果。本章在连续函数构成的紧凸集上构造一个连续自映射算子，利用均差理论和不动点理论证明了线性型迭代方程的凹凸解的存在唯一性及连续依赖性。 第四章研究了迭代方程的解析解。已有的许多关于迭代方程的解析解结果都是运用优级数法得到的，并要求一个作为未知函数在其不动点处的线性部分的特征值的常数α不在单位圆周上或者α在单位圆周上但满足Diophantine条件。本章同样使用优级数法讨论一类带时滞的迭代微分方程解析解的存在性。突破了已有工作的Diophantine条件限制，讨论了常数α在单位圆周上但又不满足Diophantine条件的情形。此外，、本章还使用Sehauder不动点定理，通过建立辅助方程，研究了变系数的线性型迭代方程解析解的存在性。 第五章研究了单变量的函数方程的Hyers一Ulam稳定性.本章在综述单变量的函数方程Hyers一Ulam稳定性的有关结果的基础上，简化了有关广义r一函数方程在叁种意义下的Hyers一Ulam稳定性的条件并给出了一些不同于经典r一函数方程的例子.进而还研究了一类非线性型迭代方程的Hyers一Ulam稳定性，证明了在这类非线性型迭代方程的近似解附近存在唯一的真解.
司建国[2]2003年在《迭代方程解析理论的研究》文中研究表明非线性科学已成为当今科学研究的一个热点，其中迭代动力系统扮演着十分重要的角色。对迭代动力系统的研究涉及线段上的自映射、迭代根与迭代函数方程、迭代泛函微分方程、迭代根与嵌入流等问题。 动力系统就是要研究一个决定性系统的状态变量随时间变化的规律。根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续动力系统和由映射迭代揭示的离散动力系统。许多物理、力学、生物学以及天文学问题的数学模型都是由连续的和离散的迭代过程描述的。动力系统的许多问题都可以化为迭代函数方程或迭代泛函微分方程。例如，在描述倍周期分岔普适性中的费根鲍姆(Feigenbaum)方程g(x)=-g(g(-x/a))是一个迭代函数方程，微分方程中的不变流形或不变曲线可通过解迭代函数方程得到，Hamilton系统中的不变环面也与迭代函数方程有关。再例如，描述经典电动力学的二体问题、一些人口模型、日用品价格波动模型以及血细胞生产模型都涉及到迭代泛函微分方程。本文将研究几种类型的迭代函数方程和迭代泛函微分方程的光滑解和解析解的存在性、唯一性和稳定性。 本文的第一章介绍迭代与动力系统、迭代函数方程和迭代泛函微分方程的有关概念，并综述近年来关于迭代根、线性型迭代函数方程、非线性型迭代函数方程、平面映射的解析不变曲线以及迭代泛函微分方程的研究成果。 多项式型迭代函数方程连续解和可微解的存在性、唯一性和稳定性已有许多结果。但在研究高阶光滑解的存在性、唯一性和稳定性时，由于函数的高次第ii页摘要迭代的高阶导数的表达涉及复杂的计算而遇到了困难.本文的第二章首先利用不动点定理给出了变系数多项式型迭代函数方程高阶光滑解的存在性、唯一性和稳定性条件·所得结果回答了张景中、杨路、张伟年和J.A.Baker在文!32}和【54」中提出的公开问题.同时也研究了变系数多项式型迭代函数方程解析解的存在性，其结果改进和推广了作者本人以前的工作.平面保积映射的不变曲线在离散动力系统的周期稳定性理论中扮演着重要的角色，研究平面映射的不变曲线的存在性具有重要的意义.本章讨论了两类平面映射的解析不变曲线的存在性问题.我们的方法是将平面映射不变曲线的存在性化为等价的迭代函数方程解的存在性，然后利用Schr6der变换把迭代函数方程化为不含未知函数迭代的非线性函数方程，再利用优级数方法得到解析解的存在性.进而还利用Schr6der变换、Abel变换以及幂级数与Dirichlet级数理论研究一类具有相当广泛性的非线性迭代函数方程解析解的存在性和唯一性问题.以前在这方面的工作要求未知函数在其不动点处的线性化特征值a不在单位圆周上或在单位圆周上但满足Diophantine条件.在本章我们突破了Diophantine条件的限制，在a是单位根的情形以及已知函数有正则奇点的情形，给出了解析解结果. 迭代泛函微分方程与常微分方程有很大的不同.由于未知函数迭代的出现，常微分方程中经典的存在性定理不能使用.迭代微分方程是否有类似于常微分方程的存在性、唯一性和连续依赖性定理是一个需要回答的问题.本文的第叁章首先利用不动点定理得到了一类迭代泛函微分方程高阶光滑解的存在性、唯一性和关于已知函数的连续依赖性定理，得到了与常微分方程类似的结论.其次研究了几类一阶和二阶迭代微分方程解析解的存在性和解的构造.关于迭代微分方程解析解的已有结果都是利用优级数和Banach不动点定理得到的，基本结果大都是关于存在性，没有给出解的显式结构.作者以前的工作可通过递推序列给出解析的显式解，但由于技术的原因，在方法上要求其解在不动点处的特征值不在单位圆周上或在单位圆周上但满足Diophantine条件.本章要解决的解析解问题也涉及解在不动点处特征值的分布.当特征值处于单位圆周上时收敛性是很复杂的，我们不仅在Di叩hantine条件下(特征值“远离’，单位第111页根)证明了形式解的收敛性，而且在非Di叩hantine条件下(收敛性等同于着名的“小除数间题”)也取得了一些进展. 在第四章我们讨论了一类具比例时滞的泛函微分方程解析解的存在性，并给出了一个渐近性质.
参考文献：
[1]. 几类迭代函数方程解的连续性、凹凸性、解析性与稳定性[D]. 徐冰. 四川大学. 2003
[2]. 迭代方程解析理论的研究[D]. 司建国. 四川大学. 2003
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