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话题的由起
笔者一直在从事“小学数学每课一问”的课题实践研究，现课题已拓展到评课议课领域，通过调研学生的课后提问，给评课议课提出一些针对性的看法，收到了比较好的效果。近日笔者非常荣幸听了当地有名的一位数学老师的课——《乘法分配律》，从课前谈话到课始的学习材料用几何直观的手段使学生明白算理，到课中不断地通过大量的例证使学生感悟规律，到最后用逐步抽象的手段让学生总结定律并进行实践运用，确实令人耳目一新。
课例的片段
一、几何直观引入
教师在谈话结束后，出示一列小方块（下图中最左边一列）请学生数一数有几块，然后再逐列出示，学生1个6，2个6，3个6地数下去，最后数到第12个6。
师：12个6等于多少呢？
生：72.
师：72是怎么算出来的？
生：2×6=12，写2进1，1×6=6，6加十位上的1最后等于72.
二、引导分解算式
师：（师生一起把式子进行分解）这个是1吗？十位上的1是多少？（生：10）那么应该是12×6=（10+2）×6=10×6+2×6（教师删掉12×6，剩下后面一个等式）。看图和式子，像这样12×6可以怎么理解？
生：10个6加2个6
师：能不能像老师那样，除了把12分成10和2以外，还有没有别的分法呢？
生：3×4。
师：3×4与10+2是相同的分法吗？
生：不是，一个是相乘，一个是相加。
师：那还能像上面那样分解吗？（引导学生说出更多的式子）
（11+1）×6=11×6+1×6
（10+2）×6=10×6+2×6
（9+3）×6=9×6+3×6
（8+4）×6=8×6+4×6
（7+5）×6=7×6+5×6
师：（表扬学生有序思考）你有没有发现，从左边到右边，我们是怎么变的？哪里相同，哪里不同？（学生讨论，找出异同）
师：你们发现的规律是不是适合于其他所有算式，请写出其他另外的式子（引导学生再举例）
生：（13+2）×3=13×3+2×3
生：（7+12）×6=7×6+12×6
生：（12+9）×6=12×6+9×6
生：（9+9）×2=9×2+9×2
师：像这样的一种现象，是不是在任何情况下都会发生？有没有不存在的？（课堂很安静，慢慢地有个别学生在讲，都存在，教师也表示确认。接着，通过练习深化逐步得出乘法分配律）
课后的调研
为了让评课议课更加具有针对性与真实性，笔者跟着学生回到他们的教室做了一个课后调研。调研的要求如下：请每个学生回忆刚才的课堂学习过程，想一个自己还有点疑问的，需要老师帮助解答的数学问题，写在纸片上，交起来。本次共调研45位学生，发现有两张无效提问，其余43位学生的提问（问题前面的序号是学生的学号）整理如下。
一、九个与本课学习的意义与价值相关的问题
1.为什么一定要分开呢？
19.为什么要分开做，不能直接做？
21.为什么要分配，不是太麻烦了吗？
24.为什么叫分配，不叫分开？
25.分开是为方便，还只是一种想法？
28.为什么两步计算的简单？
32.为什么要把乘法算式分开呢？
40.为什么数字要分配，有不分配简单吗？
41.如果后面分开来算的时候（指等号后面）能不能分步计算？
【问题分析】学生感受不到为什么要分配的原因——即分配的价值与意义。课堂中许多的教学环节都是在把前两个数进行分拆，但是这样拆来拆去，究竟为了什么？学生表示不理解。有这样的学习情感因子在里面，他们会觉得学习数学似乎总是在做一些莫名其妙的事情。如果学生感受到了学习的价值，那么也就不会有第41号问题去讨论等号后面要不要分步计算的问题了。25号问题很有质量，已经在拷问教师对于乘法分配律的价值理解：即这种模型还有什么用？其实乘法分配律不一定只是为了能速算，它应该还有更多的研究价值。比如乘法竖式（包括除法竖式）的计算从本质上看也是一种乘法分配律的应用。再比如在研究简单数论问题时，我们经常用乘法分配律进行公式、定义之间的演变和转化。第24号问题关于课题名称其实真也有不少讲究。只是教师没有利用好课堂中这一生成的问题资源（课堂中也出现过这一问）。分配较分开的最大不同在于分了以后还要“配”，谁去分配？分配给谁？怎么分配？这正好是本课的教学重点。
二、九个与本课学习材料相关的问题
2.除法能分开算吗？
3.为什么一定要这样分，不可以换一种方法吗？如12=3×4
10.如果是减法怎么办呢
13.如果是减法可以分开算吗？
15.为什么括号里只能写两个数呢？
16.减法也能用乘法分配律吗？
22.为什么要分成两个数字，而不是分成三个数字？
34.减法能不能分开来算呢？
37.如果遇到减法怎么办？
【问题分析】学生想到除法是否能分开算，至少说明一个问题，教师上课的学习材料不丰富，呈现的只是乘法问题。其实光研究除法是否可以分配就能成为一个专门的课题（除法分配事实上是一种乘法的倒数问题，但又有两种情况，一种是可以分配的，如（4+6）÷2=4÷2+6÷2=2+3=5。另一种是不可以分配的，如2÷（4+6）≠2÷4+2÷6，但因为课堂时效原因，不可能在新课中作大量研究。反过来讲，这个问题如果是教师提出来的，那么可以作为一种课后延伸，引导大多数人去深入思考。因此学生的提问从某种意义上讲也给教师以提醒。有不少学生提到了减法，这是很自然的联想，包括也有学生提到括号里两个数，三个数的问题，课堂中如果加入这些素材，可以丰富学生的感知，增进学生对乘法分配律的本质理解。3号问题，说明学生内心对于（10+2）×6=10×6+2×6这样的分配模式还不太认可，在学生眼里可能用3×4还快一些，因为加法的话前面还要加个小括号，且步骤还多了一些。这实际上也正说明这个材料只具备乘法分配律的形式，不具备运用乘法分配律的好处。
三、十二个学生最纠结的问题
7.九乘九=几×几+几×几？
9.是不是每一道题目任何算式都可以分开？
11.（10000+30）×80=？
12.（999998+787878）×80=？
17.一位数乘五位数怎么分？
18.乘法怎么分pei?（意思可能是连乘）
22.如果算式遇到1×1，怎么分布（配）？
26.如果乘以0，那怎么办？
30.万一1×1，怎么分配？
35.1×1怎么分？
38.五位数乘八位数怎么分成（配）啊？
43.要是数字太大怎么样分开？
【问题分析】有那么多学生纠结这些问题的一个最主要原因是教师在课堂中经常在逼问学生是不是所有的情况都一定能这样分解？教学经验告诉我们：这样的问题用不同的语音语调来说，学生的反应是完全不一样的。比如在提问时把语音突出在“一定”两个字上面，那么有些学生往往会产生一种带有“否定色彩”的联想。如果提问时带有一些商量的口气，那么学生会产生“正向研究证明”的冲动。在本课中，学生像钻牛角尖一样地“误入歧途”，有教师提问的方式原因，还有教学的引导原因：在还没有绝大多数表示认可的时候，教师过早地得出了结论。如果课堂中慢下脚步让更多的学生来表示看法，再让他们再多举几个例子（特别是像这种极端的例子），多提几个问题，或许就可以引起对“使用乘法分配律必要性问题”的关注了。当然这些问题也足以反映出学生没有完全领悟乘法分配律的价值。
四、六个关于学习能力与学习品质的问题
4.为什么可以那么快地口算好？
6.为什么题目中一定只有括号才能算？
8.为什么会有乘法分配lü呀？怎么来的？（估计是“律”字还不会写，就写了拼音）
27.乘法分配律是怎么来的？
29.为什么乘法分配律算得这么快？
38.为什么（5+6）×6可以分开来？
【问题分析】4号、29号问题，有人能速算978×8+978×2得出9780，但还是有学生表示不清楚道理，这实际上是乘法分配律的实际运用，而且是逆向运用。教学经验告诉我们：学生对于“左边=右边”的顺向思考有了，不见得一定会有“右边=左边”的逆向思考。给我们的思考是教学上不要只顾顺向教，也要回头看。如在教学（10+2）×6=10×6+2×6这里我们可以设问：为什么两边相等？教师的提问可以让全体学生明白：因为都是12个6。这实际上是给教师以教法上的提醒.6号、38号问题也说明在大班教学的情况下，教师根据绝大多数人的理解进程去推进课堂教学，但确实会有一些学生还跟不上思路。8号、27号问题更是如此，讲了整整一节课，而且教师很用心地将学习过程充分进行展开，但居然还有两位学生不知道这个知识是怎么得到的，确实有点麻烦。
五、两个关于数学观的问题
31.能用到作业本上吗？
42.为什么数学题那么难，有没有更简单的数学问题呢？
【问题分析】从两位学生的表述中，我们可以发现他们的数学观并不理想。一个把数学学习完全等同于做作业，学数学就是为了做作业；一个是对数学的情感体验很不好，数学总是这么难。窥一斑而见全豹，这样的学生在我们周围还有多少呢？要改变他们这些数学观，我们需要反思长期以来的教学方式，并作出更多的努力。
六、三个其他问题
5.为什么要用口算计算？
39.老师您上课时常想着提问某同学？
23.还有其他规律吗？难道只有一个规律吗？
【问题分析】5号问题是针对教师在课始12×6时，问怎么算？学生通过竖式结合口算形式告知教师计算过程与答案，而教师强行地通过位值原理把1×6=6这个十位上的1变成10，10×6+2×6=72，为自己的拆数所用，学生对此还表示不服气，认为这样反而麻烦。这实际上也反映出课堂生成的问题教师并没利用好。23号问题说明想继续学习相关知识。39号问题说明老师常向着某个人，也会令别的学生感到不舒服，特别是有一种“不公平感”。课堂是一个小生态，什么因素都会有，考虑详尽确实很不容易。
得到的启示
站在学生的立场，“用学生的话”说事是最具有说服力的。当评课吹向一边倒，都纷纷表示欣赏这样的课例时，笔者给出了这样的一份调研材料，全场都显得特别安静。执教老师不得不承认自己在设计本课时走向了另一个教学纯数学模型的极端，忽略了学生对于乘法分配律必要性的情感体验。同时也清晰地感觉到自己在课堂中没有抓住两处生成性教学资源的真实问题。因此笔者以为，用这样的一种方式进行评课交流可以在最大程度上被执教老师所接受。学生的提问可以丰富我们的教学资源，为科学调整教学方法给出充分的理由。如最后一道速算题978×8+978×2，我们是否可以考虑放在课前引入部分，让一些聪明的人去发现其中的秘密，让这种带有点激动的发现引领学生的思考。当然也可以放在课末，只是需要再增加几道这样的题目。当少数学优生回答出来以后，更多的学生便参与进来了，后面增加的几道题目则可以增加学生对于用乘法分配律进行简便计算的体验了。这种教研方式帮助我们感受到了课堂作为一个“小生态”的真实存在，让我们发现了学生真实的数学观，也发现了其他一些情感因子，而这也是我们平常所忽略的。笔者抛砖引玉，以期更多的研究者共同来发掘“每课一问”课题实践的更多意义与价值。