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运算律是四则运算极其重要的性质.数学家项武义认为，加法和乘法的交换律、结合律及分配律，在代数中具有普遍的意义，代数学的发展就是系统地应用运算律去解决各种各样的代数问题.因此他认为运算律是代数学的基石. 课程标准（2011年版）关于运算律内容的教学目标是：“探索并了解运算律，会应用运算律进行一些简便运算.”实际上，在小学阶段运算律始终贯穿在整个四则运算之中.如运算律是加法和乘法计算法则的推理依据，不论是整数还是小数的运算都是如此.加法中相同数位上的数相加，主要依据了加法结合律，当然也应用了加法交换律.多位数乘法把个位、十位、百位上的数依次相乘，主要依据了乘法分配律.因此，如果把运算律理解为仅仅服务于简便运算，是没有真正了解运算律的本质，是很不全面的. 在国内的小学数学教材中，运算律的初次出现一般在第二学段.如苏教版小学数学教材是安排在四年级下册，而北师大版教材是安排在四年级上册，其他版本教材安排的年段也差不多.不同版本教材对运算律的编排方式有所不同，这体现了编者对运算律的理解，所表达的意图也不尽相同.如苏教版教材是在同一种运算中介绍不同的运算律，即在加法运算中分别介绍交换律和结合律，在乘法运算中分别介绍交换律、结合律和分配律.而北师大版教材则把具有相同特征的运算律放在一起介绍，如教学交换律时依次介绍加法交换律和乘法交换律；教学结合律时则依次介绍加法结合律和乘法结合律. 与国内数学教材不同，新加坡的数学教材中运算律的第一次出现是在中学一年级.新加坡的数学教育因其在国际数学比较中成绩优异而备受国际数学教育界的关注.新加坡的教育人士将新加坡数学教育成功的原因之一归结为其良好的数学课程及不断改革创新的数学教材.下面，笔者以Tay Choon Hong，Mark Riddington，Martin Grier等人编著的新加坡新数学教材（New Mathematics Counts）为例，对新加坡数学教材中运算律的内容编排做一些简单分析，以期能够为一线教师的教学以及广大教研工作者提供参考. 一、编排内容 新加坡新数学教材中运算律的教学安排在中学一年级第一单元“数、因子及倍数”中，使用的术语跟我们的教材略有区别，把运算律称为“四则运算的重要特征”.具体编排如下： 1.交换律的编排 在这套教材中，其编排的方法是把运算的同一特征放在一起编排，如加法的交换律和乘法的交换律统称为运算的交换性特征（Commutative Property）.教材先出示2+4=6、4+2=6，得到结论2+4=4+2；类似地，2×4=8、4×2=8，得到结论2×4=4×2；再通过尝试探究减法和除法的交换性，得到减法和除法不具交换性特征的结论；最后用字母表示加法和乘法的交换性特征. 2.结合律和分配律的编排 编排方式与交换律基本类似，所不同的是，结合律的编排中减法和除法运算是否有结合特征完全交给学生自己探索.分配律的编排中除了有乘法对于加法的分配性，还有乘法对于减法的分配性.交换律与结合律的内容没有安排具体的应用，分配律则安排了两个例题的应用（见图1）.
3.练习编排 整个运算律的教学内容安排了一个练习，内容比较少而且简单，形式主要是填空（见图2）.
二、编排特点 与国内教材相比，新加坡数学教材中运算律内容的编排似乎不够生动，形式也比较单一，课时安排也不多.但纵观整个内容，还是可以发现一些较为明显的编排特点. 1.注重内容的整体性 与国内教材相比，所谓内容的整体性主要表现在以下三个方面：一是新加坡数学教材中运算律的编排是基于四则运算的大背景来教学具体的运算律，而不是局限于加法或乘法某一种具体运算.教材不仅让学生观察具有交换性的加法和乘法，也让学生观察不具交换性的减法和除法（见图3）.这样学生可以通过比较真正理解交换性是加法和乘法运算所具有的特征，从而也就有助于学生相对全面地把握交换律的背景、意义和适用范围.
二是没有具体区分加法交换律和乘法交换律，而是统称为运算的交换性特征，结合律也是如此.这样编排凸现了运算律是运算中具有普遍意义的规律，有助于学生从更广阔的视角来理解运算律. 三是乘法对加法的分配性与乘法对减法的分配性同时呈现（见图4）.不过，系统地看，这两种分配性的实质是相同的，因为减去一个数可以看作加上这个数的相反数.
2.注重代数思想的渗透 运算律既然是代数学的基础，其体现的必然是代数的思维，这与算术的思维有着本质的不同.算术思维主要表现为程序思维，其本质是通过一定的程序获取答案，而代数思维更多表现为一般结构的表征.运算律主要反映的是四则运算中的相等关系.与国内教材相比，新加坡数学教材对运算律的编排更好地体现了代数的思维方式.一是在四则运算中的诸多关系中让学生发现相等的关系，并抽象出基本结构.同时，既强调算式间的相等关系，也适当呈现不相等的关系.如教材通过实物图呈现出2÷4与4÷2是不相等的（见图5）.
二是在练习的设计中基本以训练关系思维为主.如判断两个算式相等还是不相等. 3.注重数学思考 20世纪末新加坡教育提出“思考的学校，学习的国家”的教育目标，包括三个重要方面：思考技能（Thinking Skills），信息技术（Information Technology，简称IT）和国民教育（National Education）.随之中小学数学大纲有意识地将“思考技能”的培养融入数学的学习中，并明确了思考技能的培养目标.其中小学列出了八种具体的思考技能，中学（低年级）列出了九种具体的思考技能（见下表）.
新加坡数学教材的运算律内容很好地贯彻了新加坡数学大纲对思维技能的培养要求.主要表现为以下三个方面：一是让学生从头开始思考问题.每一个运算律的学习，都让学生从最基本的算式开始观察，注重让学生积极探索四则运算中的各种关系，从而发现数学问题，逐步归纳和抽象出基本关系.二是注重知识的应用.结合律的编排中，因学生有了交换律的学习经验，教材就直接要求学生自己探索减法和除法中是否具有这样的规律.这样，学生学习交换律的经验就能很好地迁移到交换律的学习之中.三是重视培养比较的思考方法.新加坡数学教材运算律编排的总体思路是把四则运算作为整体的知识背景，让学生通过对各种关系的分类和比较，逐步发现一般的规律.看似简单的安排，内涵却十分丰富.如交换律的编排中就有相等关系的比较（加法和乘法），不相等关系的比较（减法和除法），相等与不相等关系的比较；分配律中有乘法对于加法的分配性与乘法对于减法的分配性的比较，等等. 三、启示及思考 新加坡数学教材对于运算律内容的编排与国内相关教材相比，应该说各有特色，但差异也是非常明显的.认真分析这部分内容的编写，还是有很多地方能给我们以有益的启示. 1.关于运算律的内容安排 如前所述，新加坡数学教材小学阶段没有安排运算律的内容，而国内教材基本上都安排在小学的第二学段，年段差异比较大.哪种编排更合理，有待进一步研究.但有一点可以肯定，新加坡教材的安排可以让学生在整数的范围内进行运算律的研究，而不是局限于自然数的范围.国内教材的编排方式则有助于学生通过运算律的学习，更加深入地理解一些运算的算理. 2.如何培养学生的思考技能 通过对新加坡教材中运算律内容的编排分析，容易看出，在学生“思考技能”的培养方面有些做法非常值得借鉴.如尽可能让学生从头开始思考问题，给知识一个合适的背景，尽可能让学生经历一个知识形成的过程，等等. 3.重视信息技术的应用 为了实现信息技术能力培养的目标，新加坡的数学教材非常注重信息技术的应用.如在运算律内容的编排中，验证乘法分配律的过程，教材就提醒学生可以用计算器来计算.虽然看上去是很小的细节，但具体目标的达成就是在许多细节的积累中逐步实现的.
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