上海证券市场的分形结构，本文主要内容关键词为：证券市场论文,上海论文,结构论文,分形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 引言
有效市场假说（EMH）是数量化资本市场理论的核心， 同时也是现代金融经济学的理论基石之一。该假说认为证券市场中股票价格能及时、准确和充分反映所有有关的信息。未来的价格只能由新的信息决定，证券的收益本质上是不可预测的，它们是相互独立（短程相关）的，遵循着一个随机游走过程。该假说自60年代提出以来，众多学者对其进行了实证检验，其广泛的程度，在投资金融学中，没有任何一个概念能与之相比。但结果却不令人满意，有的支持，有的反对。在中国也得出了同样的结论。为了探求其原因，很多研究人员将近20年来研究自然科学发展起来的新方法（非线性分析、动力系统、混沌和分支等）应用于证券市场，对EMH 和股票收益有了一个全新的领悟。 其中赫斯特（H.E.Hurst）创立的R／S分析（rescaled range analysis ）就是这些新方法中较为成功的一个。
本文将R／S分析用于我国的上海股票市场，研究股票收益的变化规律。结果显示上海的股票收益遵循有偏的随机游走，价格不能对信息作出及时充分地反映，收益序列呈现出持久性。
2 R／S分析与赫斯特指数H的估计
设一时间序列｛x[,t]｝，观测次数为M，R／S分析的基本思想是：将长度为M的时间序列｛x[,t]｝分成A个长度为N（2≤N≤L ）的相邻子区间，L是最大子区间的长度，AN＝M，每个子区间分别记为I[,α]，这里α＝1，2，…，A；每个I[,α]上的x[,t]记为x[,k,α]，这里k＝1，2，…，N。设I[,α]上的｛x[,t]｝的均值为e[,α]，令
其中，N是子区间的长度，x[,k,α]＝子区间I[,α]上的累积离差，S[,Iα]＝子区间I[,α]上的标准差，R[,Iα]＝子区间I[,α]上的极差，这里R[,Iα]随N的增大而增大。
为了比较不同类型的时间序列，赫斯特用观测值的标准差去除极差得下列关系式：
其中，α是常数，H是赫斯特指数，且0≤HP≤1，2≤N≤L。
赫斯特指数3种不同类型：（1）H＝0.5；（2）0≤H≤0.5；（3）0.5＜H≤1。根据统计学的知识，当H＝0.5时，原序列是标准随机游走的，现在不会影响将来，即原序列缺乏长期的统计相关。当0≤H≤0.5 时，原序列具有反持久性，它经常被称为是均值回复的，即过去的增量与未来的增量是负相关的。如果一个系统在前一个时期是向上走的，那么，它在下一个时期多半会向下走。反之，如果它过去是向下走的，那么，它在下一个时期多半会向上走。当0.5＜H≤1时， 原序列具有持久性，即过去的增量与未来的增量是正相关的。如果一个序列在前一个时期是向上（下）走的，那么，它在下一个时期将继续向上（下）走。持久性的水平可以通过H与0.5的差的大小来度量。持久性序列在自然界中很多，资本市场就是其中之一。
对等式（4）两端取对数得：
log（R／S）[,N]＝Hlog（N）+logα（5）
N＝2，3，4…，L
一般计算赫斯特指数有两种方法，均基于模型（5）式。 其一是根据样本的长度，依此取最大子区间的长度。例如取L＝50，51…，M。分别由（5）式用OLS方法，便可得到M－49个H的值。这些估计值与最大区间长度L有关，不妨记作H[,L]。利用｛H[,L]｝序列， 挑选最大值所对应的L即为平均周期长度。如果，H[,LM]＝maxH[,L] 则平均周期长度为LL[,M]，此时赫斯特指数为H[,L][,M]。其二是取L＝M，用第一种方法的H[,M]作为赫斯特指数，但使用这种方法无法得到平均周期长度。 在本文中我们采用第一种方法。
对于一个序列，为了描述现在对于未来的影响，Mendelbrot引进一个相关性度量的指标：
C[,M]＝2[（2H－1]）（6）
其中C[,M]表示在期间M上的相关性。由此可知，独立的序列（H ＝0.5）不相关；具有持久性（H＞0.5）的序列正相关； 而具有反持久性（H＜0.5 ）的序列负相关。（6）式相关性的度量与高斯随机变量的自相关函数（ACF）是不同的， 自相关函数背后的假定是分布函数是高斯的或近似高斯的，它在确定短程记忆时很有效，但常常低估非高斯序列的长期相关性，而使用C[,M]在于说明非高斯序列的长程相关。
3 经验实证结果
本研究所使用的数据为上证综合指数，时间是从1990年12月19日（首日交易）到1999年3月26日的周收盘价共422个样本。在估计和回归过程中，我们使用股票的对数收益率。即令
S[,t]＝1n（p[,t]／p[,t]－1）（7）
其中p[,t]为股票t时的价格，S[,t]为股票t时的对数收益率。对于R／S分析而言，对数收益率比价格百分比变化更为适用，R／S分析中的极差是对于平均值的累积离差，对数收益率加起来等于累积收益率，而百分比变化却不是。为了去掉S[,t]序列的线性相关性，在R／S 分析之前，我们先对S[,t]进行AR（1）回归得残差序列：
x[,t]＝S[,t]－（α+bS[,t]）（8）
其中α和b为AR（1）的系数，x[,t]为残差。
按照以上步骤，对沪市的综合指数周收益率序列计算P（R／S）[,N]，估计结果见表1。其中第5列E（R／S ）是周收益率序列在随机游走假设下的期望值，其计算公式为：
该统计量最初用于检验R／S的稳定性，后经彼得斯改进，用于测量序列“长期记忆”的长度。按照混沌理论，在任何非线性系统中都有那么一点，到这一点对于初始条件的“记忆”就会消失。
的变化率。 当序列呈现出持久性（H＞0.5）时，变化率（即V统计量）单调上升； 当序列呈现出随机游走或反持久性（H＝0.5或H＜0.5）时，变化率近似为常数或单调下降；曲线由上升转而为常数或下降的分界点即为序列“长期记忆”的消失点。
表1沪市综合指数周收益率序列的（R／S）[,N] 值估计结果
N log(N) R/Slog(R/S) E(R/S)v统计量
V(R/S)E(R/S)
4 1.38625 1.68137
0.51961
0.14430
0.84069
0.57761
5 1.60944 1.91403
0.64921
0.37733
0.85598
0.65221
6 1.79176 2.16477
0.77231
0.54997
0.88376
0.70758
7 1.94591 2.44027
0.89211
0.68612
0.92233
0.75064
102.30259 2.99387
1.09657
0.97466
0.94674
0.83809
122.48491 3.54487
1.26550
1.11100
1.02332
0.87682
142.63906 4.00188
1.38676
1.22161
1.06955
0.90673
152.70805 4.19974
1.43502
1.26991
1.08437
0.91933
202.99573 5.05904
1.62118
1.46435
1.13124
0.96704
213.04452 4.87739
1.58461
1.49634
1.06433
0.97442
283.33220 6.29177
1.83924
1.68012
1.18903
10.1411
303.40120 6.31523
1.84926
1.72308
1.15300
1.02274
353.55535 7.15926
1.96841
1.81773
1.21013
1.04087
423.73767 7.62067
2.03086
1.92752
1.17589
1.06044
604.09434 9.82457
2.28489
2.13657
1.26835
1.09352
704.24850 10.48673 2.35011
2.22495
1.25340
1.10595
844.43082 10.91924 2.39053
2.32817
1.19139
1.11937
105
4.65396 12.05284 2.48930
2.45282
1.17624
1.13410
140
4.94164 14.03371 2.64146
2.61116
1.18607
1.15066
210
5.34711 17.23688 2.84704
2.83063
1.18944
1.17009
表2沪市综合指数周收益率序列的（R／S）[,N]值回归结果
log(R/S)[,N]截距 赫斯特指数H E(H)
被解释变量 (常数)log(N)
4≤N≤20
-0.46710.6968 0.8145
(-16.407) (55.496)
(38.254)
[0.0285]
[0.013][0.021]
20＜N≤210
0.0689 0.5249 0.5785
(0.8765)
(27.557)
(111.4)
[0.0787]
[0.0191]
[0.005]
log(R/S)[,N] 估计的C[,M] R[2] FDW
被解释变量标准差
4≤N≤20
0.01950.31370.9993079.81.949
20＜N≤210
0.0439 0.988759.4 1.829
小括号内是t统计量，中括号内是标准差。
从图1中明显可以看出V统计量在N＝20（20周）时停止增长，N＝20即为分界点。因此，我们对于4≤N≤20的（R／S）[,N]值进行回归来估计H，结果见表2。从回归结果知，H＝0.697（±0.01），E （H ）＝0.815。较高的R[2]（0.99）、较高的F值（3079.8）、接近于2的DW（1.95）和较低的标准差（±0.02）表明回归的拟合程度相当好。 高度的相关性（C[,M]＝31.37%）和H 的高值显示出上海股票市场具有分形结构和较强的持久性，它不是随机游走过程，而是一个有偏的随机游走过程。
当N＞20时，对于（R／S）[,N]的回归结果也列于表2中，从表中可以看出H＝0.525，接近于H＝0.5的随机游走过程。这表明序列中非周期成分存在（peters，1994），因此20周（N＝20 ）的循环将是非周期的。
4 结论
H的值越大，系统中的噪声越少， 序列有更强的持久性和更明显的趋势。R／S分析显示：上海股票市场的赫斯特指数为H[,沪]＝0.697，较高的H 值和相关系数表明上海股票市场具有明显的持久性和分形结构，但其中也存在着噪声成分。股票的周收益率序列是一个有偏的随机游走过程，明显不同于普通的随机游走过程，因为它有一个“长期记忆”在起作用，这种“长期记忆”不是无限的，而是有限的。平均来说上海股票市场大约20周，但是非周期的。R／S分析表明：上海股票市场收益率是有分形概率分布的持久性序列，它们遵循有偏的随机游走，如同赫斯特描述的那样，市场表现出趋势增强行为，而不是均值回复行为。综上所述，我们认为上海证券市场目前还没有达到有效市场假说要求的条件。