小学数学教材解读的专业化视角，本文主要内容关键词为：小学数学论文,视角论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教材解读，并非仅是基于教学内容的“读”教材，而是一个全方位、立体化，源于内容实质与联系的内容、方法、过程的整体建构.小学数学教材的解读，应立足于儿童的认知规律与知识的展开逻辑，源于对数学内容实质的理解，凸显其专业化水平. 所谓“专业化”，其意有三：一是小学数学有其自身的体系结构，就内容而言，有着严密的逻辑结构；二是数学教学内容都蕴涵着丰富的数学思想方法，因此“破解”密码，方能使学生透过知识，获得思想方法的晕染；三是小学生的思维有着独有的特点和规律，数学学习需要切合并适应儿童的思维发展规律，才能促进学生的发展. 基于上述思考，小学数学教材解读的专业化视角，主要围绕以下三方面展开：第一，从知识的角度，在高观点指导下，解读小学数学教学内容，更好地把握其数学实质.第二，从思维的角度，挖掘教材在知识展开过程中蕴含的数学思想方法，思考学生在学习过程中运用的思维方式.第三，从编排的角度，理解教材的编排意图，更好地把握年段教学目标，突出教学的重难点.本文以苏教版小学数学教材“图形与几何”领域的内容为例，加以阐述. 一、在高观点指导下，解读教学内容的数学实质 德国数学家、数学教育家，哥廷根学派创始人菲利克斯·克莱因指出：基础数学的教师应该站在更高的视角来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程，以及数学教育的演化的经过.由此类推，小学数学教师应该了解初等数学的体系和结构，了解初等数学史，才能较好地把握教学内容，给学生良好的数学教育. （一）基于初等数学体系，把握教学内容的内涵实质 “图形与几何”领域，存在着一些有争议的问题，如：（1）线段是轴对称图形吗？（2）两点之间为什么只可以画一条直线？（3）直线可以向两边无限延伸吗？（4）为什么圆的半径可以画无数条？（5）为什么教材要说：可以把××看作一条线段？（6）如何引导学生例举射线？……这些问题的提出与理解，源于教师对几何知识的认识.而这首先需要了解几何是怎样的一门学科，小学数学教材中的几何具有怎样的特征，属于几何学的哪类领域范畴. 从广义上讲，几何是研究空间结构及其性质的学科.早期的几何来源于土地测量，公元前四千年，以测量土地面积为目的的度量几何在埃及出现；在《九章算术》中，“方田”章就是专门研究土地面积测量问题的篇章.而真正的几何学的诞生，则要从欧几里得的《几何原本》说起.几何学从测地术而来，但到欧几里得创立几何学，就不是简单地服务于土地测量，更主要的是建立逻辑体系，理解数学.16世纪的笛卡尔创立坐标几何，使得几何与代数密切联系起来.至19世纪中叶，克莱因用变换群对几何学进行分类，于是图形的变换与运动进入几何学领域.时至今日，小学数学中“图形与几何”内容主要涉及直观几何、演绎几何、度量几何、运动几何、坐标几何五个领域.小学阶段基于儿童认知规律，在具体表现形式上各有不同，但均以几何的逻辑体系为基础，以丰富的学习方式促进学生思维的发展. 因此，解决上述几何教学中的现实问题，需要借助相关领域的研究，从概念形成、思维方式、内容实质等方面进行分析，以期让学生在体验、探索、理解中获得丰富的认识，积累经验. 例如，四年级上册“线段、直线和射线”内容的教学中，对射线的直观认识就必须立足小学阶段对此概念的定义表达方式.对于射线的概念，教师大多会让学生举例，生活中有没有射线.于是学生说：“手电筒射出的光线是射线，电灯射出的光线是射线，太阳光射出的光线是射线.”然后，在教师的鼓励下，个别学生想到X射线也是射线.为了更利于学生对射线概念的理解，教材以描述性定式表达呈现射线的概念：这些射出的光线都可以看作射线（如图1），这有助于学生直观体会；但同时，学生由于受制于认知水平的局限，往往在描述迁移中会出现抽象的偏差，如上述“电灯射出的光线是射线”等——并不是说射线就是光线.在这样的情况下，需要教师对教材中对相关几何概念的定义方式进行深度分析，把握描述方式.
又如，六年级下册教材在教学“比例”前，安排了“图形的放大与缩小”的教学，站在高观点下，如何帮助学生理解图形的放大与缩小呢？这至少需要关注如下三方面的认识：第一，图形的放大与缩小，较之生活中的图形的放大与缩小的含义是有差别的.日常生活中，把一个图形的某一条边放大，或者某几条边放大都可以笼统地称为图形变大了，但数学上的图形的放大，是指每一条边按照相同的比放大，且形状不变，其中的核心要义是——“形状不变”.第二，图形的放大与缩小，教材上只列举了长方形和直角三角形.因此，教材结合具体的长方形来说明：“把长方形的每条边放大到原来的2倍，就是把原来的长方形按2:1的比放大”，教学时不能将其一般化为“把一个图形的每条边放大到原来的2倍，就是把原来的图形按2:1放大”.第三，图形的放大与缩小，有很多种表述，但为了与“比例的意义”有机结合，要引导学生表述为放大后的长方形与原来长方形对应边的比是2:1.其中，首先强调的是谁与谁比，是放大后与放大前比；其次是强调对应边的比，这也是为后面学习相似图形中相似比的确定作铺垫. （二）基于数学史，把握教学内容的发展与完善的过程 以四年级下册《确定位置》单元为例.确定位置，从单元名称来看，很多教师会把该内容的教学停留在生活应用上，过多地用数对表示生活中物体的位置.其实，这部分内容的学习是为今后建立坐标系打基础的，意在培育数形结合的思想.纵观数学史可以发现，笛卡尔发明坐标系绝不是仅仅用数对表示物体的位置，而是用数对的方法计算几何问题.因此，教学时要注意两点： 1.逐步抽象，帮助学生经历坐标系形成过程 教材先从座位图（如图2）抽象到圆点图（如图3），且对表达顺序作了规范，这是数对表示的前提.紧接着，从圆点图抽象成坐标系（如下页图4），其中最为关键的是“原点”的处理——圆点图是没有（0，0）的，而坐标系是有的.怎么过渡，让学生认识到（0，0）出现的必要性？教学时，一般给出方格图（早期的苏联教材也是那样处理的），让学生自主标定一个点的数对，结果会出现不同的结果.于是通过原因讨论，发现起点的重要性.接着确定起点，学生会结合直尺的经验，想到原点.
2.注重应用，帮助学生借助坐标系进行空间想象 例2后的“练一练”（如图5），给出四个点的坐标，能想象出这是什么图形吗？一则，可以通过在图中描点画，直观看出；二则，也可以通过数对的特点，想象出图形.显然，后者的要求比较高，但对培养学生的空间观念极有好处.
（三）基于数学教育史，把握数学教育演化的经过 对教材的解读，也需要关注数学教育不同时期发展变化的特征，读懂小学数学教育的发展趋势.以五年级下册“圆周率”的教学内容为例，教材在编排中更加注重了圆周率研究的一般方法（如图6），尤其是“割圆术”的体验活动，使“直观感知—操作确认—演绎推理—度量计算”的过程更为完整，丰富了学生几何概念理解的途径. 从数学教育的方法论入手，教材的逐步深入分三个层次：第一层次，结合生活经验，直观理解直径越大周长越大；第二层次，通过外切正方形与内接正六边形，实现直观基础上的简单推理，得出圆的周长是比直径的4倍小，比3倍大；第三层次，通过测量计算，获得近似值大约是3倍多一些.这个相对完整的研究历程，也给学生呈现了数学研究的一种思路.
当然，教学时还可以有另外的思路（反映出另外一种研究思路）：先让学生测量直径和周长，发现它们之间的和、商、积、差是否存在规律.通过计算发现，它们的商会稳定在一个数值上，那这样的猜想是否有道理呢？——虽然通过几个不同的圆计算得出的，但作为数学结论仍然需要寻找依据，于是，通过外切正方形和内接正六边形的数学推理，证明这猜想是正确的. 由此可见，对数学知识的解读，也要读出其研究方法，一方面，符合数学研究的一般规律；另一方面，挖掘出人类认识数学过程中已经应用的方法. 二、从思维的角度，解读知识背后的思想方法 新一轮基础教育课程改革提出：小学数学教育不仅应当帮助学生很好地掌握相关的数学知识和技能，也应帮助学生初步地学会数学地思维，并逐步养成相关的情感、态度与价值观.为了强化这一目标，《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出了“四基”的目标，把基本的数学思想方法的感悟作为数学学习的基本目标. 史宁中教授提出，基本的数学思想方法只有三个：抽象、推理、模式化.而郑毓信教授认为，小学最基本的数学思想和思想方法主要包括：（1）分类与抽象；（2）类比与推理；（3）特殊化、一般化与化归；（4）算法化与“寓理于算”的思想；（5）形象思维；（6）逆向思维与逻辑思维；（7）整体化思维与“序”的把握；（8）多元化与“优化”的思想；（9）建模与数学化的思想.在具体教学中，我们不需要非常明确地区分这是什么思想方法，但要让学生感悟数学思想方法，这就需要教师在解读教材时，关注如下两个问题： （一）教材知识是怎样呈现出来的，其内含的思想方法是什么？ 教材中相关数学知识的认识背景、学生认知方式、内化途径等决定其呈现的方式. 比如，一年级下册“认识长、正方形、圆”，在展现的知识内容中，就内含着抽象的思想方法：第一步，从玩积木开始，先把积木按形状分一分.第二步，从积木上画出平面图形（如图7）.第三步，从同类积木画出的平面图形中抽象出“标准”图形.第四步，抽象命名.教学内容看似简单，但过程方法却是标准的数学抽象的方法——揭示了数学概念，让学生经历“抽象”的过程，不仅认识图形，而且体悟数学思想方法.同样是认识平面图形，运用的思想方法却是不一样的.比如，二年级上册“多边形的认识”，就是引导学生从构成图形的要素——边的条数来认识多边形的（如图8），从而开启了新的认识平面图形的方法.
又如，五年级上册平行四边形面积公式的推导，教材安排了三个例题（如图9～图11），这三个例题之间有着怎样的逻辑关系呢？怎样引领学生通过对平行四边形面积公式的推导的学习，掌握一般的平面图形的面积计算公式的推导方法呢？
事实上，这三个例题，把平面图形面积计算推导公式的思维路径合理地呈现了出来：例1，通过转化前后的面积是否相等，告诉学生图形的转化要以面积相等为基础；同时，也正是由于面积相等，所以才能通过转化来推导图形的面积计算公式，这是面积公式推导的基石.例2，直接提出问题：“你能把右边的平行四边形转化成长方形吗？”这让很多教师感到迷惑，这样不是会减少学生图形转化的灵活性吗？其实不然，有向转化，正是面积计算公式推导的思维基础.要求推导出平行四边形的面积计算公式，那就必须转化为学过的长方形.因此，就要以长方形的特征为思维基础，进行有向转化——只有概括长方形的特征，才能得出“沿高剪”的正确结论，也为以后面积计算公式推导提供思维路径.例3，则通过教材第115页提供的各种形式各异的平行四边形，让学生从中任选，并提供表格让学生交流比较，意在让学生明确这样的关系比较的普遍性，最后通过与长方形对比中的简单演绎推理过程，得出平行四边形面积公式.教学时，要让学生经历、体悟这样的逻辑关系，促使学生在今后的平面图形面积计算公式推导的学习过程中，能够自觉应用. 当然，教材中还有一些看似无关、实则结构联系的内容，也同样体现其背后的思维方式、思想方法.如三年级下册《千米和吨》单元，千米是长度单位，吨是质量单位，把千米和吨编排在一个单元，其中有相通的地方吗？只需看教材的例1（如图12）和例2（如图13），相通之处便显而易见.解读该单元教材，要注意两个方面：第一，比较千米的认识和其他长度单位的认识的方式上的不同.第二，把认识千米的研究方法迁移到吨的认识上.把握两者在内容展开结构、学习过程结构、研究方法结构上的类似，将有助于学生形成同类知识的分析研究路径，实现对一类知识的整体认识与把握.
（二）学生在学习知识时，是运用什么思想方法进行思考的？ 除了注重内容本身的学科逻辑与思想方法，更需要关注学生在学习知识中的思维路径，通过适合的方法引领，实现“怎样学”“如何研究”的个人数学研究经验的深化. 比如，四年级上册《垂线与平行线》单元的教学，立足于学生的思维，有这样两个重要的逻辑：（1）两条直线相交成直角和两条直线相交成4个直角是什么关系？怎么理解？（2）从两条直线的垂直到两条线段的垂直是怎么过渡的？两个问题的思考，不是由教师“教”给学生，而应是学生在过程经历中自主感悟. 又如，六年级下册“图形的放大与缩小”中练习六第（1）题（如图14）的教学，不是单单地知道正确的答案，更为重要的是“用怎样的思维方法”可以得到正确的答案.因此，教学时要着重引导学生认识到：基本的方法应是标（即标出每幅图的长宽的长度）、算（算出对应的长、宽的比或是对应的长、对应的宽的比）、选（根据计算结果进行选择）.当然，可以先通过直观观察先期淘汰一些，但这也是学习经验积累后具备的能力，在练习之初，先按正确的方法进行练习是很有必要的.
类似地，教材上很多练习的处理，都要从学生的认知规律出发，设计出适切的活动线索，帮助学生学会正确地思维，而不是记忆解题的方法. 三、依据教材编排，解读数学知识的年段目标 依据儿童的认知规律与年龄特点，小学数学教材中的知识是螺旋编排的，往往一个知识分几次编排，由此，我们要解读每一段教材的教学重点，以期更好地确定年段发展目标. （一）理解教材的编排特点，把握教学要求 在小学阶段，学生学习的主要是直观几何.因此，小学的几何学习应从学生生活经验中所熟悉的几何形体入手，借由学生本身的知觉，经过操作与实测，以察觉、辨识几何形体的组成要素及其与几何形体之间的关系，进而能确定空间的基本概念，掌握基本性质，进行简单的推理.也就是说，几何的启蒙活动应该借由探索、研究、讨论生活中的形体，充分使用学生的几何概念，熟练地描述与表征周围的环境.苏教版小学数学教材将这些实验、观察、探索的活动连续地安排在不同的学习层次中，探索形体的要素、发现性质、找出形体间的关系，让学生透过有趣的操作实践活动，探索、观察、感觉、构建和分解身边的几何形体，更多地了解几何世界，促进几何直观的发展.比如，教材中的“小卡通”对话框，就充分体现了这样的编排特点. 三年级上册“长方形的周长计算”，学生从自身的知识经验出发，会形成对长方形周长计算的多样化方法，教材用“小卡通”代言，列举了其中的3种（如图15）.在实际教学时，学生还可能会有其他的想法，也可能教材中的想法没有出现，这都应看作是正常的，也不影响教学.
四年级上册“角的度量”，3个“小卡通”的发言（如图16）构成了“用量角器度量”的使用方法——虽然是用3个“小卡通”来代言的，但实际是一个整体.在讨论时，可以分别让学生学习其中一条，但学生讨论结束后，需要引导学生完整地理解，形成认知结构.六年级上册“长方体的认识”，3个“小卡通”的发言（如图17）体现出了这一知识内容的研究方法的结构.第一个小卡通先从数量上分析了长方体的点、面、棱的特征；后两个“小卡通”运用量一量、比一比的方法，对棱和面进行了深度分析.实际教学中，如果没有教师的引领和指导，学生很难像教材上的“小卡通”那样理解得这么到位，表达得这么准确的.因此，教师就要依据“小卡通”的发言传递出来的教学目标，设计相应的教学活动，引导和帮助学生准确地理解和表达.其中最关键的，是要有研究方法迁移的层次安排：第一层次，让学生自主研究，学生能够数出顶点、棱和面的数量，并在交流怎么数面的个数时，自然引出第二层次.第二层次，聚焦面有6个，很多学生除了按序数外，还能一对一对地数.那么，像这样相对的面是否还有特点呢？让学生想办法说明相对的面是否相同——这在研究方法上，形成了以教师“扶”为主的教学方法.第三层次，教师提出要求：那么，棱是否也有这样的特点呢？学生自主研究后再进行交流——这在相应的研究方法上形成了“放”的教学方法.让学生运用刚才研究面的方法进行棱的研究，既形成了知识结构，又感悟了研究方法，积累了活动经验.
（二）梳理教材的编排体系，把握年段目标和重点 认知建构主义理论与现代信息加工理论认为，学生对新内容的理解与存储需要进行类比迁移与内化，新旧内容产生意义联接，在同化、顺应中形成更为完善的认知结构.苏教版小学数学教材的编排注重知识之间的联系，通过“横向迁移”与“纵向深入”，不断推动学生深入对相关数学知识、思想方法、活动经验的体验. 1.横向迁移，拓展经验 这里的“横向迁移”，是指数学研究的思维方式的横向类比，即同一经验（策略、方法）可以解决不同问题或衍生出相同类型的经验（策略、方法）.比如，五年级上册“三角形面积计算公式”教学中，三角形面积计算公式的推导与平行四边形面积计算公式的推导，研究方式具有共通性——教材编排的例4（如图18）就充分体现了这种联系性.那么，我们能否让学生积累起对平面图形面积计算公式推导的经验，让学生在以后的平面图形面积计算公式推导过程中，有更多的自主性.事实上，如果在平行四边形面积计算公式的推导中，有意识地通过活动，使学生体验“想转化—找关系—推公式”的研究路径，学生将自主开启研究的视角，经验将在主动探索中不断内化与拓展.
2.纵向深入，逐步突破 这里的“纵向深入”，是指数学思维活动的纵向对比，即分析不同思维方式在解决同一问题时的差异，并以此为基础，形成对一类知识的结构重组.纵向结构的深入，对于学生理解并全面体验数学知识实质有着整体促进作用.比如“轴对称图形”，教材分别安排在三年级上册与四年级下册，分两段展开教学. 三年级上册首先是“物体”的对称（如图19），然后画下来，得到“对称图形”（如图20）；再通过“对折”，得到“轴对称图形”（如图21）.这样的编排，立足学生第一次认识“轴对称图形”，既没有认识对称轴，也没有要求对常见的平面图形进行“是否是轴对称图形”的判断.教学时要抓住什么呢？第一，“完全重合”是什么意思？是否需要补充一些素材帮助学生认识？例如钥匙的对称，只是部分重合；再有就是平行四边形的对折，只是完全相同，但不能重合.这些都需要通过正、反例的辨析，帮助学生形成直观理解.第二，如何判断是否是轴对称呢？脑子里要先进行对折，然后，通过空间想象，进行判断.
由此可见，对教材的研读要逐字逐句，如图19中的“观察下面的物体”一句，“物体”指什么？应该是单个的物体.图20中的“把上面三个物体画下来，可以得到下面的图形”一句，需要思考为什么要有这样一句话.这就与三年级上册的教学目标相关了，即三年级上册的教学，是引导学生认识生活中的对称物体，认识轴对称图形.而到四年级下册才深入图形内部（如下页图22），研究平面图形的对称特征，认识对称轴.这就是说，三年级上册由于没有教学对称轴，因此，如何判断是否是轴对称图形，要依赖动作思维，在脑子里折一折；而到了四年级下册，则要依据是否有对称轴来判断.但四年级下册的辨析仍然只是对具体的平面图形进行判断，没有进行抽象.比如，“平行四边形是轴对称图形吗？”这样的问题只能是高标要求.
同时，这两段教材编排中的练习也颇有意味：三年级上册注重是否是轴对称图形的判断（如图23）；而四年级下册，包括“练一练”和练习，都只是画对称轴及画出对称图形的另一半（如图24）.其中最关键的是没有出现圆，为什么这里不出现圆呢？
课堂教学是一个连续的过程.从这个意义上说，加强对“教什么”的研究，构建适合时代发展需要及符合科学数学思想内涵的小学数学课程内容体系，是提高数学教学效率和教学水平，提升学生数学学科素养的基础和保证.由此，从初等数学体系的视角、数学思想方法的视角、学生学习心理的视角，对小学数学教材进行专业化解读，将更显其重要性.
标签：数学论文; 平面图形论文; 小学数学论文; 图形推理论文; 数学素养论文; 平行四边形论文; 教学过程论文; 直观教学论文;
