儿童基点，数学视野，本文主要内容关键词为：基点论文,视野论文,数学论文,儿童论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
小学数学教学，说白了就是引导儿童学习数学。儿童的世界，更多地充满着经验、直观、形象；而数学，无论怎样改造，其价值都指向理性、抽象、形式化。因此在笔者看来，“儿童”与“数学”间的不同，便是小学数学教学中最主要的“不同”。那么，“儿童基点，数学视野”就是和谐之于数学教学的核心。
儿童基点：教学从这里生长
没有人反对儿童的发展是现代教育的核心和根本，因此，教育教学活动应该以儿童为基点。在数学教学的领域中，论及儿童基点的话题，固然要汲取相关教育理论的精髓，但更应该具有数学教育的意味。每次数学教育的改革，都有其相应的数学观作为理论假设。在建构主义数学观的观照下，数学学习是学习者主动建构的过程。鉴于此，“儿童基点”意味着：
1.把握儿童的已有
建构主义刻画了儿童的数学学习在很大程度上取决于主体已有的知识和经验，所谓对新知识的理解，是指新的学习内容与学习者已有知识与经验间建立起适当的联系。这一切都和学习者已有什么相关，因此，“儿童基点”首要的意义是把握儿童的认知起点。由于学生的数学认知结构大致与数学教科书的知识结构相同，因此，教师对儿童已有的知识储备还是容易把握的，困难的是把握儿童的生活经验基础。为什么困难？因为同样的事物，儿童观察和体会到的，和成人并不一致。教学“认识厘米”后，教师出了一组填空题，其中有“黄瓜长约20()”一题，竟然有不少孩子空着，批改后不由得去询问孩子们。原来，城里的孩子所看到的黄瓜一般都是切成了段或片的，没有看到过整根的黄瓜。人民币的认识和使用，在我们的想象中，孩子们应该积累了许多经验，但在“小红有1元2角的硬币，她可能有哪些硬币”的练习中，有约25%的孩子只给出了“小红可能有一枚1元硬币和一枚2角硬币”一个答案。看来儿童对人民币的实际体验远没有我们想象中的那么丰富。
儿童的数学学习根植于他们的生活经验。循此更深入地思考，一方面各人的生活经验各异，另一方面经验之所以被称为经验，就是因为孩子们在生活中感悟到的数学事实都是粗糙的、零碎的。所以，经验对于数学学习来说，还有精致化的问题——尽可能缩小经验和纯粹知识间的距离，或者清楚地揭示经验和纯粹知识间的差异，以便为孩子们的数学学习提供有效的支撑。例如，在“用字母表示数”的教学中，多数教师都会从生活中字母运用的情况导入。粗看这样的教学，自然顺畅，并无异议。但稍一琢磨，数学中用字母表示数，其中的字母并不表示特别的意义，是抽象的符号；而生活中用字母表示事物，往往是特定意思的缩写，如CCTV是china central television的缩写，VIP是very important person的缩写。即使是数学中字母的其他用法，一般也是缩写的用法，比如cm是centimeter（厘米）的缩写，kg是kilogram（千克）的缩写。这样看来，在导入的最后，应该引导学生看到这种用法的本质。而在学习了用字母表示数之后，还可以组织两者间的比较，以此来明晰数学中用字母表示数的理性意义。
2.体会儿童的障碍
从一定意义上说，教学并不是为数学天赋高的孩子准备的，对于他们来说，教的价值似乎并不凸显。在数学悟性较差的孩子们面前，教学才更像教学——恰当的提示、细微的点拨、精要的提炼，儿童的认识由此实现提升。而这些价值的彰显首先要体会儿童们的学习困难在何处，教如果不在“不懂”向“懂”转化的关节处下工夫，那么就收不到一通百通的效果。特别是基于建构主义的学习观，儿童的数学学习是他们自身利用已有的知识和经验对新知识赋予意义的过程，因此，儿童在课堂中所体会到的，可能并非教师所教的。在知识的客观意义上，儿童的认识可能是错误的，但在儿童已有的知识经验和新知识间却是自洽的、“合理的”。所以，作为教师就要特别关注儿童的真实思维状况，琢磨他们认识出错的原因，体会认知提升的障碍在哪里，然后采取针对性措施，以引导儿童在旧知经验和新知间实现“好的”平衡。
3.着眼儿童的发展
泛化意义上的发展并不是学科教学讨论的首要问题，在学科领域中讨论发展，最基本的是对学科本质的把握和领悟。就数学而言，首先是对位值制、分数、四则运算等基本数学概念的理解，其次是对分类、转化、数形结合等数学思想方法的把握，以及对类比、抽象、猜想等数学特有思维方式的感悟，最后是对数学美的鉴赏和对理性精神的追求。
一个教师教学“减法的意义”，自主活动中教师要求学生创作一个用减法解决的问题，为总结提炼出减法的意义作铺垫。一个孩子用水果学具演示并提出了一个可以用“5-2=3”解决的问题。话音刚落，另一个孩子就嚷道：“怎么还是‘5-2=3’？老师刚才已经讲过了。”这个孩子反驳道：“老师的算式说的是汽车，我的算式说的是水果。”两个孩子争执起来。此时，教师安抚道：“先不用争，想想还能编出用‘5-2=3’解决的事情吗？”孩子们编出多种多样的问题后，教师又追问道：“有的事情发生在停车场上，有的事情发生在教室里，有些事情说的是吃水果，有些事情说的是买文具，完全不一样的事情，为什么都能用‘5-2=3’来表示？”孩子们终于体会到了，虽然情境各不相同，但数学意义却是相同的。不由得有孩子感叹道：“这么多事情都可以用‘5-2=3’来表示，它的本领可真大呀！”
案例中孩子最精彩的回答是“‘5-2=3’的本领可真大呀”，此回答将减法作为一种解决问题的模型的数学认识阐释得浅白无比。从这个案例中，我们进一步可以窥见的是，儿童如果在数学学习中得到了发展，其必然经历一个抽象和具体的辩证转化过程，这正如数学发展中的那样，新的抽象的认识被琢磨得直观浅白、透彻明了，变得具体了，认识也就跃升到一个新的层次。因此，儿童在数学学习中得到发展的一个显著标志是，他们能用具有童趣的语言表达自己对某个数学概念的感悟。
数学视野：教学由此铺就底色
数学教学中的问题，一般的教育教学理论及其规律并不能指导一切。在估算教学中，学生的估算结果到底有没有对错之分？在教育学的范畴里，这个疑问得不到科学的回答，两种意见纷争不下。运用数学的“数量级”概念来分析，两种意见才得到统一：在同一个数量级里，估计的结果都可以算是正确的，但结果是几百的估计成几千，那可以判为错的。这样的标准不仅合理，而且具有一定的科学性。和谐的数学教学就要在儿童和数学问达成一种平衡。数学课堂中不仅要以儿童为基点，也应该有意识地确立数学视野——形成从数学的角度观察、分析、考量教学问题的意识与习惯。当下一些课堂缺失数学味，其根源就在于教师只有儿童基点，丧失了数学视野。数学视野，更全面地看，应该是以数学为基点的各种理性认识的指导。
1.数学科学本体
由于儿童的年龄特点所限，教育形态的小学数学知识其形式化程度极其有限，更多地借用生活中的词语来表述数学概念。由此带来的负面效应是，概念中关键词语的生活意义可能遮蔽其要表达的数学意义。这方面非常典型的一个案例是“三角形的稳定性”的教学。稳定在生活中可以理解为稳固、牢靠，因此较多老师在教学三角形的稳定性时，都组织学生分别用力拉小棒钉成的三角形框架和四边形框架，在用力拉之后的“不动”和“动”的比较中，体会三角形具有稳定性。而殊不知，在数学意义上，三角形的稳定性是指“三角形的三边确定了，它的形状与大小也就确定了”，三角形框架拉不动只不过是这种性质的应用罢了。因此，作为一个数学教师，应有意识地把概念中的关键词语回归数学科学的本体，考究这些关键词语的数学意义，并适当地利用这些词语的生活意义，这样设计的教学就有可能达到一种和谐：既充分利用了学生的生活经验，又超越了经验层面提升为初步理性的认识。
2.数学历史科学
数学历史科学是研究数学发生发展历史的一门学科。波利亚说：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”皮亚杰也指出，各个个体的认识发展在一定意义上可以被看成整个人类认识的发展在较小范围内的重演或缩影。这些论述非常精辟地道出了数学史之于数学教学的价值。人的认识提升后，往往会感觉这种认识就是理所当然的，并不觉察有什么困难。而在数学史中，研读相关概念的发生发展过程，会给我们预见儿童在学习战略性数学概念时可能会遇到什么障碍提供独特而又不可替代的视角。
比如“负数”，在已经有了相关概念的成人看来，负数就是比0小的数，这种认识的流淌是那么顺畅，毫无障碍。儿童构建“负数”的初步认识也会这般自然吗？翻开数学史，料想不到的是，人类认识负数大费周折，数学史上把负数称为“荒谬的数”“虚假的数”的例子不在少数。例如帕斯卡认为“从0减去4纯粹是胡说”，笛卡儿也认为负数是“不合理的数”，19世纪英国数学家弗伦德认为“只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人”才“谈论比没有还要小的数”，如此等等。德国数学家斯蒂菲尔在《整数算术》中称从零中减去一个大于零的数得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”。请注意，他在这里认为负数荒谬的原因是“小于一无所有”。换言之，其内在的逻辑是1表示一件物体，2表示两件物体……0表示什么都没有，“什么都没有”就到了尽头了，而负数比零还要小，比“什么都没有”还要少，这怎么可能呢？可见构建负数的理性认识，困难之处不在于概念本身的高度抽象性，而在于人怎么跨越和扩展自己的已有认识：怎么把负数的意义和0的认识沟通起来！找到了认识提升的关节点，教学在哪里下工夫也就显而易见了。
3.数学教育心理
数学学习中每一个新的领域，都意味着一种新的思维方式；不同孩子在学习过程中每一种相同的典型错误，都意味着共同的心智障碍。这些都可以从数学教育心理学中得到具体的阐释和深入的剖析。
认知心理的研究中曾经有过这样的测试，要求被试者用笔和纸写出或画出在听到一个数学概念的一瞬间脑子里浮现出的东西，以了解概念是怎样被人的内部心智所把握的。结果显示，几乎很少有人用纯粹的词语或命题，而更多的被试者用了词语、与概念相关的画、概念的某个鲜明特例等多种成分的复合物。这说明，数学概念的定义只是用来揭示这个概念的内涵，以把这个概念和其他概念区别开。因此，为了儿童发展的概念教学，不应该过多地在定义本身上纠缠，而应该善于呈现与概念特质相符的示意图，或列举形象的生活事例。这对儿童进行数学教学显得格外重要。有位教师教学“减法的性质”，即从一个数里连续减去两个数，等于从这个数里减去这两个数的和，学生虽然经历了性质的概括过程，但在应用中总是错误不止。教师灵机一动，打了一个比方：连续减去两个数好比教师要把脚上的两只鞋扔到教室外面，既可以把鞋一只一只地扔出去，也可以把两只鞋捆在一起后一下子扔出去。没想到，效果出奇的好。用具体直白的生活事例阐述理性的数学命题，看似肤浅，却是有智慧的举措。郑毓信教授提及教师的数学教育能力时，就把“善于举例”放在了第一条。因此，一个高明的数学教师，不仅仅是自身要有较好的数学素养，更重要的是善于用具有童趣的事例把数学道理说清楚。
为了表达的方便，笔者将“儿童基点”与“数学视野”分别进行了表述，但这并不表明两者的分离。实际上，在分别表述的同时，大家能体会到文字里两者间的相互交融。在论及“儿童基点”的时候，笔者是紧紧围绕着数学学习的建构进行的；在阐述“数学视野”的时候，将纯粹的数学本体发掘开，涉及了数学史、数学教育心理等学科，其出发点都是为了科学而又准确地理解儿童的思维。爱因斯坦说：“你能不能观察到眼前的现象，不仅仅取决于你的肉眼，还取决于你用什么样的思维方式，思维决定你到底能观察到什么。”儿童和数学的和谐本质是客观存在的，但数学教学是否和谐，最重要的取决于教师是否确立了辩证思维方式。当设计和考量教学的出发点是儿童的时候，应该有意识地指向数学；当设计和考量教学的出发点是数学的时候，不要忘记主旨是为了儿童的发展。无论怎样，都应努力达成儿童和数学间的平衡，这才是根本。