高三数学“概率与统计”章教学问答（一），本文主要内容关键词为：概率论文,问答论文,数学论文,高三论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 怎样使学生正确认识随机变量、 离散型随机变量及其分布列的意义？
答：过去学生见过许多变量，它们大体上可分为两类：一类变量，例如在15秒内通过某十字路口的汽车的辆数，投掷一枚硬币出现的正面数等，它们只取离散的数值；另一类变量，例如某种牌号和型号的彩色电视机的寿命，某城市去年4月份的平均气温等， 它们的取值不能一个一个地列出来，往往充满了某个区间。这些变量有一种共同的特点，那就是在多次观察这种量后可以发现，尽管它们每次取得的数值不一定相同，但取值属于某个区间的频率都会呈现出一种稳定的趋势。这种特点表明，我们所见到的这种变量，不同于以前学习函数时遇到的变量，这种变量不仅可以取不同的数值，而且它们所取的数值属于某一区间的概率是确定的。这种按照一定概率取值的变量称为随机变量。
为随机变量ε的分布列。
注意，这里n可以是有限的正整数。
我们看到，分布列完整地刻画了这个随机变量：它的第一行给出了可能取得的数值，第二行给出了取这些数值的相应的概率。由此，如果一个具有两行的数表是某个随机变量的分布列，那么它的第二行必须全部是非负实数，且这些非负实数之和为1。例如数表
的第二行中的数的和1／2＋1／4＋3／4＞1， 所以这个数表不能成为任何一个随机变量的分布列。
一般地，离散型随机变量在某一范围内取值（即其取值属于某一范围）的概率，等于它取这个范围内的各个可能值的概率之和。
2 常见的离散型随机变量的分布列有哪些？
答：（1）单点分布。它的分布列为
普阿松分布既常见又重要，实际生活中有许多随机变量都服从这种分布。例如电话总机在某时间区间接到的呼唤次数，一个十字路口在某时间区间通过的车辆数，一块地里在某季节发生的害虫个数，某城市夏季出现的暴雨次数，某操作系统在某时间区间发生的故障次数等，都是服从普阿松分布的。服从这一分布的随机变量ε可记为ε～P（λ）， 其中λ看作参数。
3 怎样使学生正确认识离散型随机变量的期望？
答：可以先举这样的实例：如果某人获得s元的概率为P，那么s 与P的积sP称为此人的期望值（或数学期望值），简称期望。
例如，某人得到12元奖金的概率为1／6，那么他（她）的奖金期望为12×1／6＝2（元）。
推广这种特例，就是：如果离散型随机变量ε可能取n 个不同的数值x[,1]，x[,2]，…，x[,n]，取得各数值的概率为p[,1]，p[,2]，…，p[,n]，且p[,1]＋p[,2]＋……＋p[,n]＝1，
为离散型随机变量ε的期望值。
例如，在一项商业活动中，某人获利30000元的概率为0.6 ， 亏损10000元的概率为0.4，求此人的期望，可得
Eε＝30000×0.6＋（－10000）×0.4
＝14000（元）。
这表明此人有希望获利14000元。注意：对于这样一次商业活动， 此人不是赚30000元，就是亏10000元。但如果他重复从事这类商业活动，那么从平均意义上说，每次可望获利14000元。
又如，某保险公司销售一年期的人寿保险给每位20岁的投保人，保险额为100000元，保险费为120元。依过去资料，表明20 岁的投保人能活到21岁的概率为999／1000，求这家保险公司的期望利润。 为此作如下分析：假如投保人活到21岁，那么保险公司赚120元，否则亏99880元，所以期望利润为
注意：这里期望为20元，并不是说每有一名20岁的投保人，保险公司就可获利20元。其实对于这名投保人而言，保险公司或是赚120元， 或是亏99880元。期望为20元的意思是说， 如果这家保险公司将此人寿保险卖给相当多的投保人，那么平均利润为每人20元。
从上面的例子可以看出，期望刻画了离散型随机变量所取的平均值，是描述这类随机变量集中趋势的一个特征数。
前面提到的常见的离散型随机变量，其中前三种的期望分别是什么呢？
在上述四条性质中，第二、三条合在一起称为期望的线性性质。
4 怎样使学生正确认识离散型随机变量的方差？
答：如果ε是离散型随机变量，并且事件“ε＝x[,k]”的概率
常见的一些离散型随机变量的方差，经过计算可以概括如下：
（1）单点分布：Dε＝0。
（2）两点分布：Dε＝pq。
（3）二项分布：Dε＝npq。
（4）普阿松分布：Dε＝λ。
可以证明，方差具有下列性质：
常数的方差等于0；
叫做ε的标准差，记作σε。随机变量的方差、 标准差都反映了此随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，是描述这类随机变量的另两个（彼此有非负数与其算术平方根的联系）特征数，其中标准差与随机变量本身有相同的单位（包括量纲），有时使用更为方便。
5 怎样区分放回抽样与不放回抽样下的分布列？
答：可以举一个实例：从一批有10个合格品与3个次品的产品中， 一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同。在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数ε的分布列。
（1）每次抽取的产品都不放回这批产品中。这种情况下， ε的取值为1，2，3，4。
当ε＝1时，即只抽取一次就取到合格品，所以
（2）每次抽取的产品都立即放回这批产品中， 然后再抽取一件产品。这种情况下，ε的取值为1，2，…，n，…。仿（1）可得
思考题
1 随机变量与学生过去学的变量有什么异同？ 为什么说数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平？怎样联系学生的已有知识讲清这一点？
2 怎样发动学生从日常生活、 学习生活和工农业生产中寻找离散型随机变量的实例，并求出它们的分布列、期望与方差？