简论确实性与完备性不相容，本文主要内容关键词为：完备论文,确实论文,不相容论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、人类认识“两全”理想的破灭
本世纪前二三十年，在成功地经受了世纪之交的物理学革命之后，科学界曾一度笼罩的悲观主义愁云不仅被一扫而光，而且，人们对科学理性的乐观主义精神变得比以往任何时候都更为强烈。这种乐观主义精神的一个突出表现，似乎可以概括为如下的一种“双重”的自我欣赏：一方面，科学理论是那样的确定、精确，且可以通过实验观察加以验证，也即具有毋庸置疑的确实性；另一方面，随着科学的不断进步，没有什么领域将是理性的光芒不能照亮的，也即科学理性原则上将可以是完备的。——确实性与完备性可以同时完全相容于科学理论之中，“鱼翅”与“熊掌”并非不可兼得！换言之，至少在原则上，没有什么可以阻碍科学理论同时严格地实现确实性与完备性这一人类认识的“两全”理想。
当上述对科学理性“两全”的乐观主义精神，在绝大多数科学家那里只是停留于情绪和信念时，却有一些出类拔萃的思想家不满足于此，又试图对科学理性“两全”的可能性作出严密的逻辑论证，并据此进而要求整个人类认识都以科学为效仿的典范。他们的工作主要开展在如下两个领域：(1)一些数学家和逻辑学家所从事的以数学和逻辑学本身为对象的元数学和元逻辑学研究，他们试图证明形式化公理系统可以严格地同时兼有确定性与完全性，其中以1922年提出的“希尔伯特规划”最为著名；(2)一些科学造诣很深的哲学家所从事的以科学本身为对象的元科学或科学哲学研究，他们试图论证科学理论所具有的严格可实证等优越性，实际上也暗含着论证科学理论可以严格地同时兼有可实证性与完备性，其中也以在20年代兴起的逻辑实证主义影响为最大。
然而，理性越严格也就越无情。当思想家们对科学理论的“两全”可能性进行严格的论证时，这种论证的结果起初似乎还是完全肯定性的，但是，随着论证的深入，却得出了一些既出乎他们意料更违背他们初衷的否定性结果。
二、确定性与完全性之不相容
就元数学和元逻辑学对形式化公理系统“两全”可能性的证明方面而言，自1922年“希尔伯特规划”提出后，德国数学家W·阿克曼于1924年成功地证明了，对数学归纳法稍作限制，自然数论是协调即一致的。K·哥德尔的工作不仅也是循着“希尔伯特规划”的思路进行的，而且他1929年完成的博士论文，也确实严格证明了一阶逻辑的完全性。然而，研究工作的深入，却使哥德尔在紧接着的1930年和1931年，先后严格证明或提出了两条震撼数学界和逻辑学界的“不完全性定理”：(A)任何一个形式系统，如果其内部是一致（无矛盾）的，那么，它必然是不完全的（该系统的理论框架不能包容每一个正确的命题，即有一些真的命题须由此框架之外的系统给出）。(B)任何一个形式系统，如果它是一致的，那么，这种一致性在本系统内得不出证明或曰不可证。[1]概而言之，哥德尔的这两条定理告诉我们：如果一个形式系统的任一命题的真假都可以在该系统内用逻辑推理加以判定，也即这个形式系统是完全的，那么，这个形式系统就不可能是无矛盾即确定的；反过来说，如果我们要求这一形式系统是无矛盾即确定的，那么，这个形式系统就不可能是完全的，其中必定存在着在该体系内其真假乃至有无矛盾都无法判定的问题。一句话，形式化公理系统的确定性与完全可判定性不可能“两全”。
稍早些的1926年，逻辑学家A·塔尔斯基严格证明了对数理逻辑有重大影响的关于真理概念的“不可定义性定理”。该定理指出，任一形式算术系统如果是相容即无矛盾的，那么，在系统中无法定义该系统的真值概念；也就是说，在一个足够复杂（含形式算术）的形式系统中，如果它是相容即无矛盾的，那么，在该系统中无法定义“在该系统中为真的命题”的概念，而这种定义只可能是在比该系统丰富的元语言之中给出。[2]一句话，形式化公理系统的确定性与可定义性也不可能“两全”（后来的研究表明，塔尔斯基定理可以以一定方式从哥德尔定理推出）。
我们知道，由于形式化公理系统是演绎系统的最高形态，因而，上述三个定理实际上已严格证明了任何用演绎法建立的具体理论体系，其确定性和完全性都不可能同时完全兼有，发人深省的是，对哥德尔第二条定理的详细而严密的证明，是希尔伯特本人与其学生贝尔纳斯完成的。这一证明的完成，不仅意味着闻名于世的“希尔伯特规划”最终竟是被提出它的这位忠于科学理性的数学泰斗所亲手摧毁，更无情宣告了任何理论体系确定性与完备性“两全”理想的破灭。
哥德尔定理和塔尔斯基定理的意义是十分深刻的，它引导并启发着我们进一步在哲学认识论层次上，去把握确定性与完全性之间更一般的不相容关系。
在我们看来，所谓一种认识具有“确定性”，意味着表达该认识的命题或命题系统是一义的而不可能引起歧义，是一致的而不包含矛盾。于是，对这种确定性的要求越严格，就要求它所指称的内容越少；对极端的确定性要求而言，甚至要求只对单个现象作重言式陈述。显然，认识所具有的这种确定性越高，它所可能具有的完全性就越低。反过来说，所谓一种认识具有“完全性”，意味着表达该认识的命题或命题系统具有充分的概括力，原则上可以说明需要说明的所有问题，其中包括对问题的说明本身以及所有问题有机关联的“一体化”机制。于是，对这种完全性的要求越严格，也即它所指称的内容越全面，就越要求它在表述上具有灵活性，从而也就越难以避免对其概念理解的多义性以及各种不同命题乃至相反命题的互相缠绕；对极端的完全性要求而言，则只能退缩为连任何语言中介都不允许使用的对对象的“直冥”，从而在头脑中形成极不确定的一片混沌。显然，认识所具有的这种完全性越高，它所可能具有的确定性就越低。
三、实证性与终极性之不相容
对科学理论实证性与终极性“两全”理想最初的决定性一击，是由著名的科学哲学家K·波普在1935年出版的《研究的逻辑》一书中给出的。
波普针对逻辑实证主义的可证实原则指出，不仅观察证据群无法完全地证实一个理论，而且连概率地确认也是不可能的，其原因就在于，在理论可被确认的逻辑概率值与内容的丰度值之间存在一种反比关系。分别以Ct(a)和Ct(b)表示“陈述a的内容”和“陈述b的内容”，而以Ct(ab)表示“陈述a和b合取的内容”，那么
Ct(a)≤Ct(ab)≥Ct(b)(1)
这个规律与概率演算相对应的规律适成对照：
p(a)≥p(ab)≤p(b)(2)
规律(1)和规律(2)合起来表示：内容越增加，概率越降低；反之亦然。这就意味着，理论的内容越丰富，它可被证实的概率就越低；相反，一个理论可被证实的概率越高，它的内容就越贫乏。例如，一个重言式陈述可被证实的概率最高，等于1，它的内容就最少。波普认为，上述这一看似平凡的事实无情地决定了，在理论的可证实性与内容丰富性之间，我们若要以对其中任何一者的提高为追求的目的，都不得不以对相应另一者的牺牲为代价：这两者是不相容的[3]。
撇开波普在其整个学说中对证伪意义的片面强调以及其它缺陷不论（其中至少大部分在当时是无法避免的），他的上述观点是正确和深刻的。为了确认波普上述观点在认识论史上的贡献，我们可将其称作波普的“不相容定理”。波普这一定理的重大意义在于，在哥德尔和塔尔斯基的三个定理宣告了理论确定性与完全性“两全”理想的破灭之后，紧接着又宣告了理论实证性与丰富性（也即深刻性或曰终极性）“两全”理想的破灭。
认识的实证性与丰富性（也即深刻性或曰终极性）之不相容，是人类认识中普遍存在的另一深刻矛盾，也需要进一步在哲学认识论层次上作深入研究。
在我们看来，所谓一种认识具有“实证性”，意味着该认识可以得到直接经验的某种证实。于是，对这种实证性的要求越严格，就越要求认识具有可经验性而不具有超经验性，以便于认识尽可能真接地同相应的经验作对照；对极端的实证性要求而言，认识则只能表现为相应直接经验的具体陈述。如众所周知，直接经验所可能把握的只是事物的表面现象，因而，认识所具有的实证性越高，它便越肤浅也即所可能具有的深刻性或曰终极性就越低。反过来说，所谓一种认识具有“终极性”，意味着这种认识具有充分的理性“穿透力”，可以深刻地把握到事物的内在本质。于是，对这种终极性的要求越严格，就越要求认识离开直接经验所把握的事物的表面现象，也即越要求认识具有超经验性；对极端的终极性要求而言，则要求认识成为一种完全不受任何经验“纠缠”的纯粹玄思。显然，认识所具有的终极性越高，它所可能具有的实证性便越低。
四、确定性与完备性不相容原理
由上所述我们可以看到，本世纪的二三十年代，有三位思想家的四个定理，已经实际上分别从不同侧面证明或论证过认识的确定性与完全性之不相容以及实证性与终极性之不相容。现在，如果进一步考虑到确定性与实证性之间的关联以及完全性与终极性之间的关联，我们觉得，对上述四个元数学、元逻辑学和元科学（或科学哲学）定理有必要而且也有可能进一步加以综合和提升，在更一般的哲学认识论层次上概括出确实性与完备性之不相容原理。
我们这里所说的“确实性”，至少包含了前两节曾分析过的如下两方面涵义：一是确定性，表达认识的命题或命题系统是一义的而不可能引起歧义是内在一致的而不包含矛盾；二是实证性，其命题的真值性原则上有条件通过经验观察加以确认。这里所说的“完备性”，也至少包含了前两节曾分析过的如下两方面涵义：一是所说明问题的广度在原则上具有“至多无外”的完全性；二是所说明问题的深度在原则上具有“至深究底”的终极性。
在确实性与完备性之间，我们首先可以看到：一种认识如果具有完全的确实性也即完全满足了实证性和确定性要求，按照前两节的分析，便意味着这种认识在内容上达到了不掺杂丝毫理性“杂质”的极端可经验性且应当表现为对单个现象的重言式陈述。受此严格要求限制，这种认识便与完全性与终极性完全无缘，也即原则上不可能具有任何完备性。简而言之，一种认识如果具有完全的确实性，那么，它便不可能具有任何完备性。对此，我们可称作认识的“不完备性原理”。
我们还可看到，一种认识如果具有严格的完备性也即严格满足了完全性和终极性要求，按照前两节的分析，便意味着这种认识在内容上达到了不掺杂丝毫经验“杂质”的极端超验性且在原则上需要达到一种“随心所欲”的灵活性。受此严格要求限制，这种认识便与实证性和确定性完全无缘，也即原则上不可能具有任何确实性。简而言之，一种认识如果具有严格的完备性，那么，它便不可能具有任何确实性。对此，我们可称作认识的“不确实性原理”。
以上两条原理虽都具有独立的认识论意义，但是，正如人们已愈益清楚认识到的，具有完全确实性而无任何完备性的认识或具有严格完备性而无任何确实性的认识，都只是极限的情形，实际上并不存在。任何真实的具体认识实际上都既具有一定的确实性，同时也都具有一定的完备性，是确实性与完备性以不同具体方式的匹配。换言之，在任何真实的具体认识中，确实性与完备性都可以在一定程度上相容并存。在肯定这一点的前提下，我们又必须看到在任何真实的具体认识中，确实性与完备性之间都普遍地存在如下一种反比关系：一种认识所达到的确实性越高，那么，它所可能达到的完备性就越低；反之，一种认识所达到的完备性越高，那么，它所可能达到的确实性就越低。我们可将此称作认识确实性与完备性的“反比原理”，而上面的“不确实性原理”和“不完备性原理”可视作这一“反比原理”的两种极限形式，这三条原理统称为认识确实性与完备性之间的“不相容原理”。
这一确实性与完备性之不相容原理告诉我们，任一具体认识虽都会同时存在确实性与完备性，然而，由这两者之间的不相容关系所制约，我们不可能同时以提高这两者为追求目标。也就是说，我们若以提高认识的确实性为追求目标，那么，我们便不得不以该认识完备性的降低为相应代价；反之，我们若以提高认识的完备性为追求目标，那么，我们又不得不以该认识确实性的降低为相应代价。
认识中确实性与完备性之不相容，直接表现的当然是认识所追求的两种目标即两种理想之间的矛盾和冲突，但究其根源或形成机制，则在于我们人类认识中不仅根本不存在保证上述两种理想能同时实现的任何“两全”手段，而且保证任一理想实现的相应手段的采用，其不可遏制的负效应，都恰好阻碍着另一理想的实现。问题的关键就在于，任何具体手段都是“双刃剑”。不管我们是如何“善良地”至少是并无任何“恶意”地追求某一美好理想，悲剧都在于，我们不得不采用的特定手段在“效忠”于该理想实现的同时，客观上都总会“无情地”伤害到追求另一美好理想的善良愿望；而且，特定手段对一种理想的实现越是“效忠”，它对另一理想实现的伤害也就越是“无情”。——这便构成了人类认识发展永远无法完全摆脱的一种“两难”困境。
在我们看来，认识确实性与完备性之不相容原理，至少首先可将任何认识中都普遍存在的确实性与完备性这一重要矛盾明确地揭示出来，以引起人们应有的重视。当然，这一原理的意义是多方面的，依据它可以使人类认识发展中的不少问题，都获得比以往更为清晰、更合乎逻辑或更简洁明了的说明。以下，我们尝试着依据这一原理对科学与哲学的相互关系作出若干分析，以初步展示一下这一原理的认识论意义。
五、一种典型剖析：科学与哲学的两极化
在由确实性与完备性不相容所造成的上述“两难”困境面前，任何认识主体，不管是否自觉，也不管是否愿意，事实上都得作出某种选择——对各自认识中的确实性和完备性，将以何种具体方式加以匹配？这种选择虽然可以是无限多样的，其中不可能也不需要作出“非此即彼”的选择，但事实上，我们总得作出某种“厚此薄彼”的选择。尤其是进入近代以来，全部人类认识方式也的确愈益明显地形成了两种相反方向的选择：一种选择，是从坚守确实性出发，以确实性为最低限度要求而优先地加以满足，为此，对完备性又不得不有所割爱；另一种选择，则是从坚守完备性出发，以完备性为最低限度要求而优先地加以满足，为此，对确实性不得不有所割爱。正是这两种方向恰好相反的选择，深刻地决定了在人类全部理论认识方式之中科学与哲学的“两极化”，决定了科学与哲学之间鲜明而巨大的差异——其长处与短处都在内。
科学厚确实性而薄完备性的选择，在其奠基者阿基米德和伽里略那里是十分自觉的。与柏拉图和亚里士多德等人都迥然不同，阿基米德不奢谈宇宙的一般构成和终极原因，不指望建立凌架于一切知识之上的宏大体系，而是专注于像杠杆和浮力这样有限的具体问题；与此同时，却极其强调实验和数学的作用以及这两者的结合，努力使建立的有限理论具有确实性。伽里略继承的正是阿基米德的上述选择，其进一步贡献也正在于，将实验上操作控制的可能性与数学上描述演算的可能性相结合，并具体地通过一系列科学发现和技术发明，令人信服地展示了一条使认识达到确实性的普遍有效途径。近代科学发展至今已三个多世纪，其选择一直是以坚守确实性为基本前提，一开始不要求完备性即“大全”，而是舍“大全”求“小全”。这种努力尽管每一步步子往往都不大且相当艰难，但由于每一步都坚守了确实性，可以说是脚踏实地，一丝不苟，稳扎稳打，步步为营，三四个世纪下来，取得了辉煌的成就，并为未来更迅速的发展打下了坚实基础。也正由于科学坚守了高度的确实性，又形成了它易于传授学习和易于广泛应用这两个显著优点，并因此极深刻地改变了人类整个智能的构成和水平，迅速地收到了各种世俗的功效，极大地改变了人类社会的整个面貌。
然而，由于确实性与完备性不相容的无情制约，科学上述伟大进步的取得，是以它对完备性的牺牲为巨大代价的。原因在于，科学为了实现确实性理想不得不十分强调认识的内容必须经受实验观察的检验和认识的形式必须符合数学化等严密逻辑的要求，也即采用实验观察和数学语言这两种手段。但是，有许多具有完全性和终极性的问题（例如像康德通过一系列“二律背反”所揭示的），一方面永远也不会具备通过实验观察加以直接检验的客观条件，另一方面形成的理论也很难避免形成互相矛盾而又同时为真的命题，更无法有效地数学化。对这类问题的研究固然无法满足高度确实性要求，但无论如何不能因此认定它们一定无意义或不重要。然而，问题正在于，对实验观察和数学语言这两种手段的采用，在有力地保证了确实性理想实现的同时，也将许多虽不合实验观察和数学语言要求但却有意义甚至很重要的问题，都毫不留情地一概排除在外。这样，科学理论的完备性便被严重地牺牲了。由于科学理论的这种不完备性，人类凭借它无法解决在自然和社会中如何“安身立命”的许多困惑，无法满足实现“终极关怀”的心灵需求。正是在这些方面，最有力地表明了确实性与完备性之间从与科学正好相反的另一方向作选择的必要性。
面临前述“两难”困境哲学所作的选择已如前述，是从坚守完备性即完全性和终极性出发的。哲学的“完全性”至少主要地不表现为它作为一种普遍知识的涵盖面有多大，而表现为它实质上总是在各种关系之中提出和回答问题，或曰提出和回答那些有关各种关系的问题；在“后康德”的意义上，往往也包括哲学认识作为事实认知和价值评价的统一性，包括它所追求的价值理想同时满足真、善、美的圆满性，等等。哲学的终极性，则主要表现为哲学研究一般来说是一种不受任何限制的穷根究底的“追问”，它要在最彻底的意义上提出问题并对之力图作出尽可能是最终的回答，从而对存在作出终极性解释，对人生体现终极性关怀。哲学所竭力追求的“完全性”和“终极性”，使它回答的问题无论在广度上还是深度上，都具有了包括科学在内的任何认识方式都无法相比的完备性。也正因为如此，哲学才会对包括许多科学家在内的众多人类成员具有永不减褪的魅力，可以启发人们理智地认识和处理主观和客观、人类与自然、个人与社会以及生与死（或曰“入世”与“出世”）等一系列如何“安身立命”的难题。
同样无法抗拒的是，由于确实性与完备性不相容的无情制约，哲学之所以有可能如此地坚守住完备性，也是不得不以它对确实性的牺牲为巨大代价的。原因在于，为了实现高度完备性的理想，哲学不得不强调认识的直接内容可以来自超经验性的沉思，而其形式可以运用具有丰富性和灵活性的自然语言。换言之，超验沉思和自然语言是哲学思维的双翅，只有尽情地展开这极轻便灵巧的双翅，哲学才有可能在那“完全性”和“终极性”的认识空间中自由地翱翔。然而问题也正在于，超验沉思和自然语言这两种手段的运用，在有力地保证着完备性理想实现的同时，也使它实际上享有如下的“特权”——可以不受实验观察和数学语言的严格束缚。于是，其种种欠确实性也就从根本上难以避免了。哲学同科学相比而言的欠确实性，直接地也正由于它对超验沉思和自然语言这两种手段的运用，还造成了它另外两个显著缺陷：一是无法像科学知识那样易于传授和学习，往往依赖一种类似于艺术乃至宗教气质的“修炼”；二是无法像科学知识那样易于广泛应用并收到各种直接的世俗功效。
由上述分析可见，面临确实性与完备性不相容的“两难”困境，科学与哲学是从恰好相反的两个方向出发去把握世界的。这种选择决定了二者对各自的欠完备性或欠确实性尽管可以逐步地有所弥补，但是，只要二者还依然坚持这种选择，欠完备性或欠确实性就永远是二者各自“先天禀性”中难以“教化”的短处。由此深刻地决定了，科学与哲学是两种显著不同的认识方式，二者各自的功能可以互相补充，但永远也不可能互相取代。从人类认识的整体来看，全部人类认识只有在确实性与完备性之间保持适度的平衡并逐步趋向确实性与完备性“两全”的理想，人类才有可能维持自身的生存并逐步趋近“自由王国”。然而，由于确实性与完备性不相容的制约，人类在科学、哲学以及其它任何一种特定认识方式中都不可能实现此“两全”理想。唯一自然的过程，便是全部人类认识分化为功能各有侧重的不同认识方式，其中一种认识方式侧重于保证确实性，另一种认识方法侧重于保证完备性，使全部人类认识在整体结构上逐步形成有分化地互补，从而使全部人类认识在整体功能上逐步趋近确实性与完备性的“两全”理想。
注释：
[1]参见王宪钧：《数理逻辑引论》，北京大学出版社1982年版，第333页。
[2]参见张建军：《科学的难题——悖论》，浙江科学技术出版社1990年版，第182页。
[3]K·波普：《科学发现的逻辑》，科学出版社1986年版，第90～91页。2]参见张建军：《科学的难题——悖论》，浙江科学技术出版社1990年版，第182页。
[3]K·波普：《科学发现的逻辑》，科学出版社1986年版，第90～91页。