基于延迟时间理论的备件维修多目标优化模型

杨建华, 韩梦莹

(北京科技大学东凌经济管理学院, 北京 100083)

摘 要: 在系统的健康管理中可靠度、可用度或维修费用的极值通常被用作确定维修周期的准则,但随着装备系统的复杂化和决策者需求的多样化,单目标决策问题已不能满足现状,由此,针对定期检测策略,建立了基于延迟时间理论且考虑不完美维修的多目标决策模型,并运用多属性效用理论对模型求解。首先建立该策略下的可靠度、可用度和维修费用模型;然后将三者视为属性,构造每个属性的效用函数;之后采用基于逼近理想解排序法思想的赋权法对属性权重赋值,通过加权获得不同维修周期的综合效用值,根据效用值确定维修周期;最后引入算例,验证模型的有效性和可行性。

关键词: 维修周期; 多属性效用理论; 延迟时间; 可靠度; 可用度

0 引 言

随着装备系统精密化、复杂化、高性能化的发展,系统的健康管理问题日益受到重视,早在2000年预测与健康管理(prognostics and health management,PHM)技术就被列入美国防务部《军用关键技术》报告中。在系统的健康管理中,恰当精准的维修活动是降低故障发生率,保证系统健康状态的必要手段,对保持和提高装备系统的效能至关重要。而维修间隔期是维修活动需要确定的一项关键内容,相较于其他内容带有更多的不确定性,如果维修周期过短,维修次数会相应增加,可以减少装备故障的发生率,但是这样的话不仅会增加维修工作量、出现过度维修现象,而且维护成本也会相应增加,耗费大量的人力、物力和财力;相反,维修周期如果过长,维修次数减少,会出现欠维修现象,不能保证系统的健康状态。因此,维修间隔期的合理确定具有现实意义。对装备系统进行维修,能保证系统无故障地持续工作,设置合理的维修间隔期则能使维修资源得到最有效的利用,也便于对备品备件进行科学的规划管理。

当前针对维修周期的决策性问题,国内外学者开展了一系列研究。文献[1]对维修间隔期的确定性问题从维修程度、检测频率、优化准则及求解方法等方面进行了综述。然而,多数模型均是以可用度最大或长期平均费用最小为目标的单目标优化模型,且均假设单部件系统或多部件系统中某部件到达预防性维修时刻、超过某一维修阈值或其服役时间达到某一规定值时对系统实施预防性更换策略,若部件在预防性维修之前突然发生随机故障则对系统实行修复性更换策略^[2-7]。预防性更换或修复性更换均使部件或系统恢复如新,但在具体的工程实践中,不是每一次维修都要求系统能够恢复到最初的健康状态,不完美预防维修策略在不影响系统性能的前提下使系统能够恢复到初始健康状态到故障状态之间的某一状态。文献[8-10]在不完美维修情景下确定了系统的维护周期,但模型并未考虑系统的可靠度和可用度仅以成本最小为优化目标。可系统的可靠度和可用度是设备系统的重要效能指标,如果在维修决策过程中仅考虑设备系统的经济性或仅考虑设备系统的单一效能指标,往往顾此失彼。针对上述问题,文献[11-12]针对状态劣化的系统分别在完美检测和不完美检测假设下,以系统可靠度为约束,以期望成本为目标建立维修周期决策模型。文献[13]则将产品质量控制和任务可靠度分析相结合,通过最小化总成本,得到最优的集成化预防维修策略。文献[14-17]在维修周期决策模型中将系统可用度作为约束条件,通过单位时间期望成本的最小化获得最优的预防性维修计划。但上述模型本质上仍为单目标优化模型,鉴于此,文献[18-19]在决策中考虑不完美维修策略,分别建立了以系统可靠度和维护费用为目标、以系统可用度和维修成本为目标的多目标维修决策优化模型。

上述模型要么仅考虑可靠度、可用度和维修费用中的一个,要么兼顾可靠度和成本,要么兼顾可用度和成本,但三者之间是相互作用的,文献[20]对于复杂可修系统分3种情景研究了可靠度、可用度、维修费用和预防性维修活动之间的关系,研究结果表明,在高可靠度阈值下进行维修活动,虽然提高了维修成本但在显著提高系统可用性的同时延长了系统的寿命。故而,在维修决策模型中同时考虑可靠度、可用度和维护费用使系统的效能指标和经济性实现良好的平衡是很有必要的。文献[21]综合考虑了系统的可靠度、可用度和费用,建立了年龄更换策略下的多目标优化模型,在模型的求解过程中利用多属性效用理论(multi-attribute utility theory,MAUT)将多目标问题转化为单目标问题,但是对于属性权重的确定采取的是主观给定的方法,这种方法并不能客观的反映可靠度、可用度和费用的相对重要性,除此之外,对于效用函数的确定也并未做深入说明。鉴于此,在文献[21]研究的基础上做进一步改进,针对退化过程服从延迟时间理论需定期检测的单部件系统,建立了考虑不完美维修的多目标预防性维修模型,将系统的可靠度、可用度和维护费用当做研究问题的属性,在将MAUT应用于定期检测策略的维修周期决策模型中时,为避免权重的主观性,对于属性权重的确定采用基于逼近理想解排序(technique for order preferenceby similarity to ideal solution，TOPSIS)思想的赋权法,使MAUT的应用更加科学和适用。

综上所述，超声心动图可以很准确、直观以及对心脏结构和功能情况进行动态观察，是评估尿毒症透析患者心脏状况比较简便敏感、安全可靠的检查方法，值得推广及应用。

1 延迟时间理论及问题描述

1.1 延迟时间理论

延迟时间概念由文献[22]首次提出,认为系统的故障不是瞬时发生的,而是经历了由正常工作阶段到延迟时间阶段的功能退化过程,在此基础上,文献[23]首次提出延迟时间阶段可进一步细化为轻缺陷期和严重缺陷期,从而形成3阶段退化过程。图1描述了这种退化过程,其中从初始时刻到轻缺陷发生点为系统正常工作期,由轻缺陷初始点发展到严重缺陷发生点的时间域为轻缺陷期,由严重缺陷劣化到功能故障这段时间为严重缺陷期。

煤成说学代表者有吴士清等(1997)认为：沥青煤这种可燃有机岩矿脉实质是腐泥质贫煤—无烟杰，而非石油衍生物，不属于经过运移的石油沥青。

学生也可把流程图用于学习到的化学知识上，从顺序角度去分析各种化学现象的产生、发展、过程、结束以及每步流程的内在逻辑，有利于实现知识内化。此外，教师在课堂上也可使用流程图解析化学现象，明确讲解每一步，能更好地提高学生思维的条理性。

图1 系统的功能退化过程
Fig.1 Functional degradation process of the system

由此可知,采用延迟时间理论设置合理的维修周期,及时发现系统存在的缺陷状态,采取相应的预防性维修或更新策略能够有效减少功能故障的发生。

1.2 问题描述

考虑状态劣化服从3阶段退化过程需定期检测的单部件系统。系统的正常工作期、轻缺陷期和严重缺陷期3个阶段相互独立同分布。在系统的寿命周期内,以固定时间间隔τ 对系统进行检测,如果检测在系统正常工作期执行,则不做任何处理;如果检测识别系统处于轻缺陷期,需立即展开预防性维修活动,但维修后系统不能“恢复如新”,即维修属于不完美预防维修;如果检测发现系统已发生严重缺陷,则立即更换缺陷件;系统发生功能故障时无需检测识别能够自动报警,此时应立即更换故障件,但会付出更高的经济成本。检测是完美的,只要存在缺陷(轻缺陷或严重缺陷),就能够被识别。

应用MAUT确定系统的维修周期时,为了权衡可靠度、使用可用度和维修费用,使系统的性能指标和经济性实现良好的平衡,需建立预防性维修多目标优化模型,该模型的参数及说明如下:

X 、Y 、Z 分别为系统正常工作期、轻缺陷期和严重缺陷期的随机持续时间;

f (x )、g (y )、h (z )分别为X 、Y 和Z 的故障率函数;

C _i 、C _b 、C _p 、C _f 分别为系统的检测成本、不完美维修成本、预防更换成本和故障更换成本,且C _i <C _b <C _p <C _f ;

随着中国进入“新时代”，习近平治国理政思想在海外也受到更加广泛的关注，英国的《每日电讯报》长期追踪和报道习近平主席的一系列治国理政思想。通过与海外媒体合作、召开记者论坛或峰会、以及加强中国对外话语体系建设，可以进一步促进习近平治国理政思想在国外的传播，从而逐渐消除西方媒体报道中对中国的一些误读或偏见，为中国营造良好的国际舆论环境和发展环境。

T _i 、T _b 、T _p 、T _f 分别为系统检测、不完美维修、预防更换和故障更换导致的停机时间,且T _i <T _b <T _p <T _f ;

R (τ )、A (τ )、C (τ )分别表示可靠度、可用度和维修费用关于维修间隔期τ 的数学表达式;

“电力系统继电保护”课程考核采用的是平时成绩加考试成绩，平时成绩一般占比为30%，考试成绩为70%，所以很多学生非常看重最后的考试成绩，对平时课堂上的表现打分不够看重，导致学生课堂回答问题不积极，平时作业应付教师，期末考试前突击复习，对课程上的知识点不求甚解，只要求自己进行背诵就行。这样的后果就是学生只记住了概念，但对于继电保护没有深入理解，从而无法进行应用。

U _R 、U _A 、U _C 分别为可靠度、可用度和费用的单属性效用函数;

③不经改良直接使用底泥是不可取的。首先，由于底泥营养成分如氮、磷等元素匮乏，并且底泥颗粒细小、物理结构不良、极易板结，从而造成植物生长困难；其次，选矿底泥中微生物很少，缺乏碳、氮、磷等元素循环相关的活性微生物，不能持久地改善土壤。因此，需要通过添加其他一些材料对其进行改良，改善其物理结构；添加有机质增加植物生长所需的营养成分，引入有益功能微生物之后，才能将其用于生态恢复。

R ^B 、A ^B 、C ^B 分别为可靠度、可用度和费用的目标值;

R ^W 、A ^W 、C ^W 分别为可靠度、可用度和费用的门限值;

w _j (j =R 、A 、C )表示可靠度、可用度和费用属性的权重系数;

分别表示可靠度、可用度和费用属性对正、负理想方案的权重;

分别表示由客、主观赋权法得到的可靠度、可用度和费用属性的权重系数。

2 多目标优化模型建立

2.1 属性的确定及规范化

对系统执行不完美预防维修活动时,根据比例役龄回退模型^[24]可知,在π_n 时刻实施第n 次维修时,系统的等效役龄为(1-δ )π_n ,其中δ (0<δ <1)为回退因子;周期检测系统处于正常工作期不需对系统进行处理时δ =0为最小维修;对系统进行预防更换或故障更换时δ =1为大修。若第m 次检测时第n 次识别出系统处于轻缺陷期,即τ _m =π_n ,则在τ _m 时刻采取不完美预防维修活动后系统的等效役龄为Δτ _m =(1-δ )τ _m ,此时,系统的正常工作期、轻缺陷期和严重缺陷期的故障发生率分别为

(1)

系统的期望寿命长度为

(2)

因系统的等效役龄只取决于最后一次不完美维修的发生时刻和役龄回退因子,而与前几次不完美维修的发生时刻无关,令P _b (τ _m )表示系统的最后一次不完美预防维修发生在τ _m 时刻的概率,则有

(3)

式中,P _b (τ _j )表示τ _m 时刻前的上次不完美预防维修发生在τ _j 时刻的概率,当m =0时,系统处于寿命周期的开始时刻,无需对系统进行任何处理,从而P _b (τ ₀)=1。

由上述描述可知,不完美维修不能使系统恢复到最初的健康状态,只有对缺陷件或故障件进行更换后,系统才能重新恢复到初始状态,开始新的寿命周期,因此更新事件可以分为以下两种。

事件 1 第k 次检测识别系统正处于严重缺陷期,在τ _k 时刻进行预防性更新。依据τ _k 时刻之前是否对系统实行过不完美维修策略,需分两种情况来讨论:一是轻缺陷期在第k (k =1,2,…)次检测之前均未被识别,如图2(a)所示;二是系统轻缺陷期最后一次被识别发生在第m (m =1,2,…,k -1;k =2,3,…)次检测时,如图2(b)所示。

图2 预防更新时序图
Fig.2 Preventive update sequence diagram

τ _k-1 -τ _m <X +Y <τ _k -τ _m ,

在τ _k 时刻进行预防性更新的概率为

X +Y +Z >τ _k -τ _m ))=

φ _Y,m +1(y )φ _Z,m +1(z )dz dy dx )

(4)

相应的期望维护费用为

(5)

造成的期望停机时间为

(6)

据此可推知，系统3个阶段的概率密度函数分别为

(7)

事件 2 τ _f (τ _k-1 <τ _f <τ _k )时刻系统发生功能故障,在τ _f 时刻进行故障更新。同事件1,事件2的发生也需要考虑两种情况:一是在第k -1 (k =1,2,…)次检测之前未进行过不完美维修,如图3(a)所示;二是系统最后一次不完美维修发生在第m (m =1,2,…,k -1;k =2,3,…)次检测时,如图3(b)所示。

图3 故障更新时序图
Fig.3 Fault update schedule diagram

在τ _f 时刻进行故障更新的概率为

还有，机制和机制的设计。在单一业务的时候，机制有可能是有效的，随着业务的不断复杂，机制如何去改变，去调整；在同一个机制下，对人、业务、组织的要求，这些要素怎么与机制相匹配；企业做合伙人机制，对合伙人本身是有要求的，如何在这个过程中运用好淘汰机制，促进人达到这个要求，这些都是需要管理的。

至于吸收网络，设计的原则是：干扰频率小于主频率时，先并联谐振然后再串联电容；干扰频率大于主频率时，先并联谐振然后再串联电感。其目的是对于主频率呈现高阻抗，对于干扰频率呈现低阻抗或直通状态，确保主频率顺利通过，又能最大程度的让干扰频率导入到地端。

P _f (τ _f )=P (τ _k-1 <τ _f <τ _k )=

τ _k-1 -τ _m <X +Y <τ _k -τ _m ,

τ _k-1 -τ _m <X +Y +Z <τ _k -τ _m ))=

φ _Y,m +1(y )φ _Z,m +1(z )dz dy dx )

(8)

相应的期望维护费用为

例8的这个标题运用头韵、尾韵、排比等修辞手段将强保护水平的专利法律制度所可能导致的人权困境非常形象地揭示出来了。即，如果不受限制的专利权保护将导致人类无法应对传染病等疾病蔓延。同时，该标题简短醒目，直指论文的主旨——专利制度的合法性和道德性。

(9)

造成的期望停机时间为

本底值样地剖面形态的 7Be垂直分布特征反映了降雨携带 7Be沉降的数量和土壤吸附后再渗透分布的变化，与研究区的旱雨季转变和雨季期间的降雨及降雨量的波动情况有关。因为研究区位于滇西高原季风气候地带，3月的本底值样地的土壤表层，由于较长时期干旱形成裂隙结构利于降雨迅速渗透至土壤深层，以致在3月剖面中下部出现间断分布；5月本底值样地由于降雨致使表层土壤颗粒分散并充填土壤裂隙，土壤表层吸收水份并不连续向下渗透，在土壤剖面表层中呈现高浓度值，并且在次表层和底部出现多个峰值层；8月降雨持续进行，降雨后地表细流多于向土壤层垂直方向渗透的水分，致使本底值剖面出现较低浓度的 7Be含量。

(10)

系统的期望寿命长度为

(11)

式中,R ′(t )表示系统在[τ _k-1 ,τ _k ]内的可靠度。

至此,可依据更新报酬理论得到系统寿命周期内单位时间期望费用为

(12)

系统长期使用状况下的平均可用度为

(13)

与单位时间平均费用C (τ )和平均可用度A (τ )不同,系统的可靠度为时点数,表示的是τ 时刻前不发生功能故障的概率。虽然不完美维修能够使系统的等效役龄减小进而提高系统的可靠度,但系统的轻缺陷、严重缺陷和功能故障触发的时间点均为不确定性随机变量,导致系统进行预防更新或故障更新的时间点是不确定的,但可以通过控制更新前第一次检测时系统的可靠度来控制系统更新时的可靠度,进而达到调节整个系统可靠度水平的目的。系统更新前的可靠度可表示为

R (τ )=1-(P (0<X <τ ,0<X +Y <τ ,

0<X +Y +Z <τ ))=

图4～图6给出了δ =0.8时3个属性关于检测间隔期τ 的曲线图。

(14)

由于可靠度和可用度为概率值,维修费用为数值,量纲不一致,因此为了后续计算的简便性,必须对3个属性进行规范化处理。对决策者而言,系统的可靠度和可用度属于效益型指标,越高越好;系统的维修费用属于成本型指标,越低越好。因系统可靠度和可用度的取值范围为[0,1],故而,规范化处理后的可靠度属性、可用度属性和维修费用属性可分别表示为

(15)

(16)

(17)

2.2 效用函数的确定

据Garmabaki A H S^[21]依照决策者对风险的偏好程度,可靠度更适合保守型效用函数,即u (x )=a (10x +5bx ²)+c ;而对于可用度和费用更适合风险中立型的线性形式:u (x )=ax +b 。对于每个属性而言,目标值和门限值有可能并不是函数的“最大值”和“最小值”,对于决策者而言,小于门限值,便代表着没有效用,而大于目标值,则代表着很难实现或者不经济,因此对效用曲线采用分段函数的形式,对于小于门限值的所有属性值,效用取0;对于大于目标值的所有的属性值,效用取1。由此,可靠度、可用度和费用的效用曲线表达式为

(20)

2.3 属性权重的确定

文献[21]对属性权重的确定采取的是主观给定的方法,这种决策方法在某种程度上具有一定的效果,但是由于主观性太强,往往不能很好地实现可靠度、可用度和费用之间的平衡。采用组合赋权法确定属性的权重,其中的客观赋权法采用基于TOPSIS思想的赋权法^[25],这是因为工程实践中,对于可靠度、可用度 “目标值”和“门限值”的规定与TOPSIS中的“正理想解”和“负理想解”内涵相同。

传统的TOPSIS存在的局限性就是在运用该方法时,指标的权重通常是事先给定的,或者用其他方法得到。采用王爽^[25]提出的基于TOPSIS思想确定属性权重,其思路是将TOPSIS的评判标准“欧式距离”作为目标函数(正欧式距离最大以及负欧式距离最小),将权重系数作为决策变量,建立优化模型以确定属性权重。具体步骤如下。

康乾南巡与江南景观文化双向互动，一方面推动了江南景观建设，提高了江南景观的知名度，增加了江南景观的文化内涵;另一方面，在将北方元素融入江南景观的同时，在北方的皇家园林中全方位、多层次地写仿江南景观。这不仅体现了康、乾二帝对江南文化数千年传承的认可，也促使南北文化尤其是造园技艺得到充分交流。

采用组合赋权法确定属性权重,是因为相较于主观赋权法和客观赋权法,组合赋权法更加科学,不仅利用了样本的原始数据,而且综合了决策者的主观意愿。主观赋权法可基于G1法^[26]、BWM^[27]和模糊层次分析法^[28]等主观赋权模型得到,主、客观权重的组合系数可通过变异系数加权法^[26]求得,也可利用客观修正主观的组合赋权模型^[29]直接求解组合权重。鉴于篇幅有限,本文直接假定决策者对主观赋权法的偏好程度为θ,主观权重为

步骤 3 计算各方案到正、负理想方案的欧氏距离的平方表示为

(21)

步骤 2 确定正、负理想方案

正理想方案由决策矩阵中每个属性最好的值组成,表示为

Y ⁺=[R ^B ,A ^B ,C ^B ]

(22)

负理想方案由决策矩阵中每个属性最差的值组成,表示为

Y ^-=[R ^W ,A ^W ,C ^W ]

(23)

[Y _R(t ),Y _A(t ),Y _C(t )]

(24)

(25)

步骤 4 构造优化模型求解权重指标w _j ，即

求解为

(26)

通过构造拉格朗日函数对式(26)进行求解(具体求解过程参见文献[25]),求出的最优解可表示为

(27)

求解为

(28)

因目标恒有极小值,无法通过拉格朗日函数求极大值,令Z _j =(Y _j(t )-j ^W )²dt ,当Z _j =max{Z _R ,Z _A ,Z _C }时,令其权重其他为0,此时目标函数取得最大值。在此同样引入α ,表示决策者对靠近正理想方案这一规则的偏重程度^[25],则由TOPSIS确定的各属性权重最终可表示为

(29)

步骤 1 构造规范化决策矩阵Y 为

(30)

则有

(31)

2.4 多目标优化模型的确定

确定了可靠度、可用度和维修费用的数学表达式,3个属性的效用函数及权重系数后,便可以建立最终的优化模型为

max:U (R ,A ,C )=w _R U _R +w _A U _A +w _C U _C

(32)

3 算例分析

采用建立的模型,利用Matlab软件编程验证模型的有效性。文献[4]中对系统退化过程的描述采用威布尔分布,因此假定系统寿命服从威布尔分布,则系统的正常工作期、轻缺陷期和严重缺陷期初始时刻的故障率函数分别为

(33)

式中,α ₁,α ₂,α ₃>0为尺度参数;β ₁,β ₂,β ₃>0为形状参数。在此基础上对初始时刻故障率参数及模型参数进行设定,费用的单位为万元,时间的单位为天,如表1和表2所示。

其中对于θ 的赋值参考文献[26,30],文献[26]中θ 的最优值为0.552,文献[30]中的最优值为0.65,因此取两者的中间值,令θ =0.6。此外,回退因子的大小直接影响系统的等效役龄,为了分析回退因子对最优决策的影响,表3给出了不同回退因子下C ^B 及其效用函数系数的取值(C ^B 的取值接近其他参数不变情况下期望费用的最小值,因算例中δ 的变动对可用度最大值的影响很小,所以A ^B 的取值并未随δ 的变动而改变,其值由表2给出)。

表1 初始故障率参数
Table 1 Initial failure rate parameter

表2 模型参数
Table 2 Model parameter

表3 不同 δ 下, C ^B 及其效用函数系数的值
Table 3 Values of C ^B and its utility function coefficients under different δ

图4 可靠度关于检测周期的曲线图
Fig.4 Reliability curve diagram concerning inspection period

由图4可知,可靠度随τ 的增大单调递减;可用度随τ 的增大先递增后递减;费用则随τ 的增大先递减再递增。同时,从图中可以清晰地看到,单目标决策时各自所确定的最优检测周期有一定的差距,使可靠度、可用度、费用均取得最优值的τ 是不存在的,因此必须对3个目标进行权衡,故将MAUT应用于此,对可靠度、可用度、费用进行折衷,获得使决策者效用值最大的维修周期。

3.分类制定平台模板。以最大程度钻遇目的油气层为目标，以最少占用土地为重点，分类开展平台模板设计。针对滩涂浅海设计以水平井为主的地下井口槽丛式钻井平台，针对盐田虾池湿地设计以大斜度井为主的半潜丛式钻井平台，针对城镇、村庄和生态农业区设计以定向井和水平井相结合的地上丛式钻井平台。在此基础上，固化井身结构、举升工艺和地面配套设计标准，采用撬装化安装、模块化预制等措施，以达到节约土地、提高劳动效率的目的。

图5 可用度关于检测周期的曲线图
Fig.5 Availability curve diagram concerning inspection period

图6 单位时间期望费用关于检测周期的曲线图
Fig.6 Curve diagram of expected cost per unit time concerning inspection period

在各属性的效用函数及权重确定之后,便可以得到不同检测间隔期下综合效用函数的变化曲线,图7为δ =0.8时的综合效用曲线图。

图7 综合效用曲线
Fig.7 Comprehensive utility curve

由图7可知,当τ =13时,综合效用最大为0.759 6,即当δ =0.8时，每隔13 d对系统进行检测于决策者而言效用值最大。表4为不同回退因子δ 下,最优的检测周期和最大的综合效用值。

共和县地处青藏高原东部，南临黄河，北靠青海湖，西与柴达木盆地毗连，地处北纬35°46′至37°10′，东经 98°54′至 101°22′之间，东西长221.5km，南北宽 115.4km。地形由西北向东南倾斜，平均海拔3200m，属高原大陆性气候，四季分明，日照时间长，辐射强，昼夜温差大，降雨少而集中，气候干燥，大风日数多，年平均温度为2.3℃，年平均降水量 274.7mm[2]。

从表4得知,随着回退因子δ 的减小,检测周期的最优值呈递减趋势,而效用值的最优值呈递增趋势,这种现象的原因是回退因子δ 越小系统进行不完美预防维修后的等效役龄就越大,系统就越容易发生功能故障,为防止功能故障的突然发生,需缩短检测周期,虽然随着回退因子δ 的减小,检测频率越来越高,但因算例中检测成本C _i 远远小于预防更新成本C _p 和故障更新成本C _f ,且不完美维修成本C _b =C _p δ ,所以回退因子δ 越小不完美维修成本就越小,除此之外,R ^W 的限定控制了系统的整体可靠度,在一定程度上降低了系统发生故障的可能性,所以最优的单位时间期望成本随回退因子δ 的减小而减小,使单位时间期望成本最小的τ 越来越接近可靠度为R ^W 时的τ ,故而效用值越来越大。

表4 不同回退因子下,最优的检测周期和效用值
Table 4 Optimal detection period and utility value under different regression factors

3.1 属性门限值敏感性分析

在以往确实维修周期的研究文献中,大多是以R ^W 、A ^W 或C ^W 中的一个或两个作为目标函数的约束条件,因此,为了进一步阐述最佳维修间隔期对模型参数的敏感程度,首先对输入参数R ^W 、A ^W 和C ^W 进行分析。在其他参数值不变的条件下,分别在R ^W 、A ^W 和C ^W 原值的基础上,独立变动-20%、-15%、-10%、-5%、+5%、+10%、+15%、+20%,计算最优解τ 的变动程度。因为A ^W 的值本就接近于1,若正比例变动太大则会超出1,显然不符合实际,所以对A ^W 仅观察[-20%,+10%]的变动结果。图8～图10给出了不同回退因子下最优解τ随属性值变动的结果。

图8δ =0.8时,R ^W 、A ^W 、C ^W 敏感性分析结果
Fig.8 Sensitivity analysis of R ^W ,A ^W andC ^W atδ =0.8

由图8～图10可以直观看出,R ^W 、A ^W 和C ^W 按照固定步长5%变动时,检测周期τ 对三者的敏感程度随着δ 的减小均呈现减弱的趋势,其中A ^W 和C ^W 的减弱趋势更加明显,但检测周期τ 对R ^W 的敏感程度始终是三者之中最强的,故而,决策者要对R ^W 估计值更加谨慎,应收集更多的信息对R ^W 进行准确的估计。

图9δ =0.6时,R ^W 、A ^W 、C ^W 敏感性分析结果
Fig.9 Sensitivity analysis of R ^W ,A ^W andC ^W atδ =0.6

图10δ =0.4时,R ^W 、A ^W 、C ^W 敏感性分析结果
Fig.10 Sensitivity analysis of R ^W ,A ^W andC ^W atδ =0.4

3.2 属性系数敏感性分析

权重的大小反映了各个属性的相对重要性,赋权方法很多,不同的赋权方法得到的权重是不同的,任何一种赋权方法得到的权重值都不能说是绝对正确的,而且,权重通常也会体现决策者的主观意愿,不同的决策者偏好不同,权重分配自然也就不同。所以,即使采取了科学的赋权方法,权重也是相对不固定的,因此有必要对权重进行敏感性分析,通过敏感性分析,确定权重的稳定区间,了解当权重在什么范围内变化时,模型结果保持不变。

以权重系数w _R 为例,确定w _R 稳定区间的具体分析方法是:假如U _R 的权重w _R 有扰动Δw _R ,将扰动后的权重表示为w _R1 =w _R +Δw _R ,因为采用的是局部敏感性分析,所以另外两个属性的权重是假定不变的,但是当w _R 发生变化后,3个权重值相加便不再为1,所以首先要对扰动后的新权重进行归一化处理，即

(34)

(35)

(36)

然后在原权重值的基础上,以0.000 1为步长值稳定增减,得到最优解τ 关于权重系数的曲线图,在图中,可以清晰地了解当权重系数发生变化时,模型的最优解τ 是如何变化的。表5为不同回退因子δ 下权重系数保持最优解不变的稳定区间及其长度。

表5 不同回退因子下,权重系数的稳定区间及长度
Table 5 Stability interval and length of weight coefficient under different regression factors

图11～图13即为不同回退因子δ 下最优解τ 关于3个权重系数的变化曲线图。

图11δ =0.8时,τ 关于w _R 、w _A 、w _C 的曲线图
Fig.11τ graph of w _R ,w _A andw _C atδ =0.8

图12δ =0.6时,τ 关于w _R 、w _A 、w _C 的曲线图
Fig.12τ graph of w _R ,w _A andw _C atδ =0.6

从表5可以得知,随着δ 的减小w _R 和w _A 保持最优检测周期不变的稳定区间长度先减小后增大,w _C 保持最优检测周期不变的稳定区间长度则逐渐增加。

图13δ =0.4时,τ 关于w _R 、w _A 、w _C 的曲线图
Fig.13τ graph of w _R ,w _A andw _C atδ =0.4

根据图11～图13可知,最优解τ 随属性权重系数的变化而改变,w _R 、w _A 和w _C 的变动对最优解τ 的影响随δ 的减小而减弱,但三者相对而言,最优解τ 对w _R 始终具有很强的敏感性。

综合对属性门限值R ^W 、A ^W 、C ^W 及权重系数w _R 、w _A 、w _C 的敏感性分析结果可知,在回退因子δ 的不同取值下模型的最优解均对可靠度具有很强的敏感性。上述结果的原因是,经过规范化后的可用度属性和维修费用属性均是先单调递增后单调递减,如果是单目标决策两者确定的最优维修间隔期相对比较接近,但可靠度却是随着时间单调递减的,虽然不完美维修可在一定程度上改善系统的可靠度,但可靠度随时间递减的趋势是不变的,它的最大值是系统刚投入使用时或者系统更新完成时,并且系统轻缺陷、严重缺陷及功能故障发生点出现的时间区间具有高度不确定性,假如在决策时不考虑可靠度对系统维修周期的影响,仅从可用度和维修费用角度考虑是可以接受的,但却增加了系统可靠度水平不满足要求的可能性。因此,在此模型中,可靠度的大小影响决策模型结果的效果更为显著。这与文献[11]得出“维修决策模型中考虑性能可靠度约束是很有必要的”的结论相同,区别在于前者将可靠度作为决策模型中的约束条件,而直接将可靠度作为模型的目标函数。

所以,在确定可靠度的门限值R ^W 和权重系数w _R 时,应该多番论证,选取合适科学的可靠度下限值并采用科学合理的赋权法对属性权重赋值,更加便于获得合理的维修间隔期以长期保持系统的健康状态。

4 结 论

针对定期检测策略,利用延迟时间理论建立了系统状态和维修周期之间的关系,根据检测时系统所处的不同时期,采取不同的维修策略,或实施最小维修,或执行不完美预防维修,或进行预防更换。在对系统实行不完美预防维修时引入比例役龄回退模型描述该维修策略对系统等效役龄的影响。在此基础上,建立了同时以可靠度、可用度和维修费用为目标的预防性维修多目标优化模型,并利用MAUT对模型进行求解,把可靠度、可用度和维修费用视为属性,以属性的效用函数为中介,将多目标问题转化为单目标问题,从决策者效用角度出发,对可靠度、可用度、维修费用进行折衷处理,得到效用值最大的维修间隔期的调优解。通过算例验证了MAUT在维修决策模型中的可应用性和有效性。此外,在不同回退因子下对模型中的门限值和权重系数进行了敏感性分析,通过分析可知,最优维修周期对可靠度、可用度和维修费用的敏感程度随回退因子的减小均呈现减弱的趋势,但维修决策模型始终对可靠度具有很强的敏感性,因此在维修决策模型中将可靠度作为目标或者约束条件是很有必要的。

然而,还存在以下几点不足:①基于延迟时间理论考虑不完美维修情况下建立的可靠度,可用度和维修费用模型,是比较基础的模型,在实际应用中还需要考虑备件库存、维修渠道、检测能力等因素对模型的影响。②将MAUT应用于维修周期的确定中时,为了提高属性效用函数的准确度,选择合适的拟合效用曲线很关键,但是目前并没有高效的确定决策者效用曲线的方法,更多的是先主观确定效用函数形式,再确定待定系数得到效用曲线,对此,有待进一步考量。

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Multi -objective optimization model for spare parts maintenance based on delay -time theory

YANG Jianhua, HAN Mengying

(Donlinks School of Economics and Management ,University of Science and Technology Beijing ,Beijing 100083 ,China )

Abstract : In system health management, the extreme value of reliability, availability or maintenance cost is usually used as a criterion for determining maintenance intervals. However, with the complexity of the equipment system and the diversification of decision-makers’ needs, the single objective maintenance decision-making problem can no longer satisfy the current situation. Therefore, a multi-objective maintenance decision model based on the delay-time theory and considering imperfect maintenance is established for the periodic detection strategy, and the multi-attribute utility theory is used to solve the model. Firstly, the reliability, availability and maintenance cost models are established then the utility functions of each attribute are constructed. Then the weighting method based on technique for order preference by similarity to ideal solution thought is used to assign the weight of the attribute, and the comprehensive utility value of different maintenance period is obtained by weighting, and the maintenance interval is determined according to the utility value. Finally, the validity and feasibility of the proposed method are verified by an example analysis.

Keywords : maintenance cycle; multi-attribute utility theory; delay time; reliability; availability

中图分类号: TH 17, N 945

文献标志码: A

DOI: 10.3969/j.issn.1001-506X.2019.08.31

收稿日期: 2018-09-14; 修回日期:2019-03-08;网络优先出版日期: 2019-05-05。

网络优先出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20190505.1358.008.html

基金项目: 国家自然科学基金(71602008,71231001);中央高校基本科研业务费(TW2018009,NTUT-USTB-107-01)资助课题

作者简介：

杨建华 (1965-),男,教授,博士,主要研究方向为运营管理、装备管理、系统健康管理。E-mail:yangjh@ustb.edu.cn

韩梦莹 (1990-),女,博士研究生,主要研究方向为系统健康管理。E-mail:hanmengying1010@163.com

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