综合问题系统的定位:简单而非简单_旋转变换论文

综合题命制取向:简约而不简单,本文主要内容关键词为:而不论文,简约论文,简单论文,综合题论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。

      笔者受托为本区九年级学生命制一份中考模拟试卷.其中,一道综合题选自课本习题,经过改编,最后又走向简约的过程,让笔者有诸多思考,现撰文回顾,与读者共享.

      一、一道综合题的命题历程

      在命题过程中,笔者力求“问题在书外,题根在书内”,目的是引导师生重视教材,培养问题意识和研究意识.同时考虑到“几何直观”是新课程中的十个核心概念之一,因而命题中要体现让图形“动起来”,在“运动或变换”中来研究、揭示、学习图形的性质,基于上述立意,笔者选择了一道教材例题:

      原题 (苏科版《数学》八年级上册第111页)如图1,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形纸片沿着AC折叠,使D点落在E处,设AE与BC交于点F,求AF的长.

      

      在初中阶段有三种几何变换:平移、旋转、翻折,本题是一道经典题,只包含翻折变换.如果能将本题加上旋转或平移的元素,题目就会变得丰富而立体,更为关键的是,希望能以此引导教师进行多元变式,从而用活教材,所谓“用教材教而不是教教材”,于是有了如下改编:

      改编1 如图2,已知矩形纸片ABCD中,AB=1,AD=

,将纸片沿对角线AC对折,点D落在点P处,PA交CB于点E.

      

      (1)求∠BAP的度数.

      

      

      自我诊断:虽然增设“直线”和“旋转一周”两个元素,问题的难度增加了,也呈现了递进式设置,但是在旋转的背景下,学生对线段与线段相交形成等腰直角三角形的情形尚未开始探究,现在就直接抛出直线与直线相交的问题进行探究,对一个初中生来说坡度较大,而且在旋转一周的情况下有四种情形,学生在探究过程中容易丧失信心,如果此时在两问之间添加一个脚手架,让学生先探究线段相交的情形,给他们一个方向上的指引,再拾级而上,应该能够模拟探究出直线相交的情形,更为关键的是,为他们以后在研究直线情形的问题提供了一个经验的积累.于是有了如下改编:

      改编3 如图2,已知矩形纸片ABCD中,AB=

,AD=3,将纸片沿对角线AC对折,点D落在点P处,PA交CB于点E.

      (1)求∠BAP的度数.

      

      自我诊断:通过特殊四边形的翻折来设置问题,结合图形的旋转,关注图形与变换中核心内容的考查,同时巧妙地结合运动变化、分类讨论等重要数学思想,重点考查学生观察和理解、操作与探究以及分析问题和解决问题的能力,其中第(1)问是基础,第(2)①问有承上启下的功能,既是第(1)问的简单发展,又为第(2)②问做铺垫,要想完整解答第(2)②问必须了解以下几点:

      (1)点P运动的轨迹是以点A为圆心,AP长为半径的圆.

      (2)问题的本质是只要直线PA和直线BC的夹角为45°即可.

      (3)由第(2)①问知,当AP旋转15°时,形成等腰直角三角形(如图5).

      (4)显然当AP在图5的基础上每旋转90°时,直线AP和直线BC的夹角就是45°(如图6、图7、图8),所以依次旋转15°、105°、195°、285°时形成等腰直角三角形.

      

      经过上述构思之后,笔者请一位高一学生进行演算,但他练习20分钟后,第(2)②问还没有完全解决,笔者追问这位学生解题的感受,他说该题变换复杂,而且线条众多,容易迷失方向,而且考查的知识并不是九年级常考的而且现在还常用的知识.这个参与“演算和交流”的小插曲让笔者陷入了思考:第一,应该说此题不失为一道有较好区分度的原创综合题;第二,题目的难度增加了,但细细分析不难发现,本题仅仅是在“旋转”这一知识点上追求深度,而且这种深度主要是靠复杂的线条堆砌起来的,知识的考查较为单一;第三,“九年级时常考的而且现在还经常使用的知识”其实就是核心的、主干的知识;第四,综合题的考查应该尽可能多地聚焦核心、主干知识,解题的思路应该是开放而多样的,当然,文字或图形等呈现的方式最好又是简约的.综上分析,本题与综合题应该承载的重任的确不太相称.因此,笔者大胆放弃原先很多“美好的设想”,决定返璞归真,再做一次改编:

      改编4 (终稿)如图9,矩形ABCD中,AB=

,AD=3,将△ADC绕点A顺时针旋转α角(0°≤α≤90°)得到△AD′C′,且AC′与BC交于E.

      

      (1)当α=15°时,求证:AB=BE;

      (2)求旋转过程中边DC扫过的面积;

      (3)当D′恰好落在BC边上时,求此时BE的长.

      自我诊断:前面几次改编都是先翻折再旋转,而后续设问与所谓的翻折关联度并不大,只是试题继续生长过程中一个环节,解题的难点都在旋转变换上,所以在这里放弃了翻折变换,在题干中直接给出“△ADC绕点A顺时针旋转”.考虑到初中阶段主要探讨锐角情况居多,所以限制了旋转角的范围.这样一来,设问简洁流畅,三个小问求解的难度也不断增加,追求了良好的区分功能.

      二、综合题命制思考

      该卷测试后,在跟相关阅卷老师交流反馈中,大家感慨这道综合题呈现简洁,但求解不易,是一道较好的“把关题”,阅卷后,笔者又对本区数学网上阅卷的成绩进行了大数据分析,结果显示该试题的确具有良好的区分功能.这也引发笔者深入思考“简约而不简单”的综合题的命制取向.

      1.追求“真正的题目”

      章建跃博士在文献1中认为真正的数学题“应该满足一些基本条件,例如:反映数学本质,与重要的数学概念和性质相关,不纠缠于细枝末节,体现基础知识和联系性,解题方法自然、多样,具有发展性,表述形式简洁、流畅且好懂,等等.”正是基于上述观点,我们打磨出改编4.改编4有96个字符,字符数不及改编3的一半,问题的题干、设问简洁流畅,要求明确,一看就懂.“简约”自不必说,关键是“简约”的同时又能关联考查圆、勾股定理、特殊三角形、四边形、相似三角形、三角函数、扇形面积等初中数学中的若干核心知识点,而且解法多样,真可谓“不简单”,当然,这里的“不简单”并不是指题目呆难,解题思路狭窄,剑走偏锋.

      2.经历“由博返约”的过程

      众所周知,命题是一项专业性极高的工作,涉及解题研究、解题教学、理解数学、理解学段、理解学生等诸多领域,要想真正走向简约的命制取向,往往需要一个“由博返约”的过程.事实上,上述整个命制过程正是想呈现命题的“由博返约”的过程.如果没有之前繁杂的设问取向,也很难得出改编4中的几个设问;如果没有将最初较为满意的改编3安排一个高一学生练习,就没有能重新认识初中“把关题”对学生后续学习的价值思考;如果没有改编3中涉及一些直线相交的繁杂情形,就很难想到在改编4中限制旋转角的范围,事实上,这样的限制一方面降低了试题的难度,让学生在限时独立的考试下能更加集中精力求解难题,又体现了“含而不露”的命题情怀.

      3.传播“好的数学”

      丘成桐、范曾两位先生在文献2中有一段对话:

      丘:关于大自然,我们数学家总想用一种最简单的语言来表述它,用简洁的方法、以最简单的言语来表达.这跟文学很像,跟绘画很像,就是用最简洁的方法来表达.当然,表达也可以很复杂,复杂的表达也可以说明问题,但是好的数学家都追求简洁.所以,好的数学家不多.

      范:对,这和绘画一个道理.我为什么推荐八大山人,他的绘画语言十分简洁……

      数学大师和艺术家在对话中都推崇简洁取向,这是值得我们倾听和思考的.事实上,稍加梳理,不难发现数学中很多伟大的定理或性质都是“简约而不简单”的,比如勾股定理、费马大定理等,呈现简洁、好懂,但求解或证明并不一定简单,而且它们的解法关联众多数学知识,值得深思.这种走向“简约而不简单”的综合题命制取向本身也是向学生传播“好的数学”,想来这也是值得我们继续努力的.

标签:;  ;  ;  

综合问题系统的定位:简单而非简单_旋转变换论文
下载Doc文档

猜你喜欢