现代美国中小学数学科目的沿革，本文主要内容关键词为：数学科论文,目的论文,沿革论文,中小学论文,美国论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
二十世纪尽管有各种各样的对科目设计的批评，但在学校中占统治地位的课程设计仍是科目设计，数学则是美国中小学的主要科目之一。本文试图在世纪之末对数学科目本身在整个世纪遇到的一系列挑战及历次重大改革中的成败得失进行一番回顾，以便揭示出一些对我们跨世纪思考数学课程的理论与实践问题有价值的启示。
一、数学教育传统观念的影响
学校数学教育几乎与学校教育的历史一样久远。在西方漫长的数学教育中留给二十世纪并对现代仍产生影响的传统主要表现在两种观念上，一是认为数学是能有效地训练心智的特殊材料；二是认为数学有纯粹的学术性数学与实用性算术的区分。
两种传统观念都源于古希腊的传统。那时的数学家和哲学家把数目和几何作为哲学的理想，数学研究为哲学论证服务，认为“数学的始基就是一切存在物的始基”[1]。这种数学研究风格强烈影响到数学教育，学习数学自然把对智慧的热爱和对真理的追求联系起来而受到高度重视。柏拉图认为数学在使人对自然进行思辨方面是至高无上的学科，他不允许一个没有学过几何学的学生进入他的学园。亚里斯多德也把学习数学看作是他崇尚心灵的沉思和研讨真理的自由教育的重要部分。古希腊这种把数学与心灵的沉思和哲学的思考结合在一起的传统对后世影响很大。
首先，数学与心灵的沉思相结合就涉及了心智的训练，这种观点同洛克于十七世纪在官能心理学基础上提出的形式教育论相结合，就形成了在西方长期以来被接受的一种信念，把数学当作心智的磨刀石，认为学习数学能导致心智敏锐，数学（此外还有拉丁语，希腊语）是能发展特殊的心灵能力的特殊材料。到此，数学的心智训练价值被推到了极端地位。
其次，这一传统也导致了对纯粹数学的重视和对数学的实用方面的轻视。认为数学学习是纯粹的抽象推理易导致心智的自由运用，极大地影响到纯粹学术性数学研究的发展。这一点在十八世纪的欧洲以人的理性的挺立为特征的启蒙运动背景中而繁荣的大学中表现尤为突出。当时，数学是被包括在大学中处于象牙塔顶尖地位的哲学学院中，哲学学院中那种为学习而教育、为研究而研究、为真理而真理的精神，自然也大大促进了纯理论数学的惊人发展，构成西方大学中注重基础研究的学术性传统。另一方面，古代希腊崇尚有闲阶级心灵的沉思与心智的自由运用，轻视劳动阶层的实践，数学也自然就有纯粹学术性和商业实用性之分，而且数学与日常生活经验相联系的实用方面不受重视。直到欧洲十三世纪出现日益繁荣的商业活动，才开始在数学教科书中处理实际的计算问题，而且多在象行会学校这样的为劳动阶层子弟开设的教育机构中采用。随着十五、六世纪海运商船的发达导致的商业快速发展，数学教育才日益增加了诸如重量、测量、计算等为商业服务的算术形式。但是数学在初等学校中仍然地位很低，直到十八世纪末，拉丁学校仍几乎没有算术。后来因启蒙运动的强烈冲击，算术和初等几何才引入到小学[2]。在中学则相应于双轨学制更明显分化，文法学校教的是大学预科性的纯粹学术性数学，技术学校只教给联系着商业贸易的应用性算术。
很显然，纯粹学术性数学与实用性算术的分化与西欧的双轨教育制度相吻合，前者构成后者的内容，后者又强化前者的形式。而且，随着科学技术的发展，生产力的进步，教育民主化的推进，双轨教育制度形式虽然被取消，但作为内容实质的纯粹学术性数学与实用性算术之间的分化却一直影响着现代数学教育。十九世纪末十人委员会的报告从大学入学标准角度确定了中学数学必须是抽象的代数、几何、三角，试图解决中学与大学的衔接性问题，而小学基本上被语言艺术与初步算术所统治。此后，中小学数学学习的鸿沟问题几乎在整个二十世纪都没有得到很好的解决，可见传统上遗留下来的纯粹学术性数学与实用算术区分的影响有多么巨大。
二、二十世纪前期作为应用科学的数学课程改革
在二十世纪之始，随着数学在自然科学领域的广泛应用，世界范围的数学教育改革的主旋律是：把数学当作在工业和自然、科学、日常生活中得到广泛使用的应用性科学来教。中小学数学课程改革也是这一主旋律，在美国主要通过两方面反映出来，一是在杜威的经验主义教育理论和进步主义教育运动影响下数学与社会经验相联系的改革；二是以桑代克为首的教育科学实验研究对数学课程与生活经验相联系的促进。
杜威关于观念的操作理论的论述，不仅为这个时期的整个课程改革提供了理论基础，同时也为把数学作为一门应用科学来教作了理论论证。杜威的这些思想是在对传统哲学把理论与实践、知识与行动截然隔开进行批判的基础上，吸收了自然科学家的研究特点形成的。杜威在此基础上提出，“思想，我们的概念和观念，都是我们所要进行的或已经完成的操作的标志。……同样，当我们用关于空间、时间和运动的数学公式去思考这个世界时，我们不是在描绘独立的和固定的宇宙本质，而是在描述一些可以经验的对象，把它当作是据以从事操作的材料”[3]。这种观念的操作理论之核心，就是“行动处于观念的核心”，主张“做中学”。这些思想应用到数学教育上，显然背离了西方悠久的为寻求确定性的哲学论证服务的纯粹数学研究传统，重视数学广泛地应用于自然科学研究和生活领域的需要。杜威这一观念的操作理论在他的经验主义教育理论的铺垫下，融合他关于思维活动的分析，就构成了杜威提出的“社会中的儿童”的课程设计思想的理论基础，其核心思想就是通过设置问题情境，让儿童在“做中学”，在活动中培养解决问题的能力，试图通过“作业”形式，把儿童和社会这种“单一过程的两极”联系起来。
杜威的这一指导思想曾以各种形式反映在进步教育者从事的中小学数学教育改革实验中，中学以著名的八年研究为例，参与研究的中学在数学教育中，主要是围绕着数学应用的实际问题，尊重学生的兴趣特点进行教学。例如，让学生应用数学逻辑推理原则去分析地区的住房问题或资源保护管理问题，培养学生解决问题的能力。尊重学生的需要和兴趣，允许一部分学生低于一般要求，鼓励数学兴趣浓厚者远远超出一般要求深入学习。此外，在课程编制形式上，这种围绕数学应用问题的“作业”形式，有利于减少或消除教师与教师之间和教材与教材之间的森严界线。学生不是在算术、代数、几何、三角这样过细划分的科目中学习数学，而是在介入到解决问题的情境过程中学习数学。即使是在大范围设计的科学、数学和社会研究之间，也试图打破它们之间的分离屏障，有时试图把科学和数学结合起来，但是往往因很难找到联结这两门科目的完满基础而很难成功[4]。一直到现在，这种试图综合各门科目的大范围设计的努力仍然难以获得完满成功，很难突破学科中心的科目设计模式。
这一时期的小学教育实验中的数学教育基本上都是在商业活动取向的“作业”中教算术，让学生扮演售货员、送货员、顾客等来学习测量和计算。比如在帕克办的昆西学校中，学生是通过实物和实践活动而不是通过规则学习算术。但是，这一时期的小学数学课程改革还没有树立起让学生掌握重要的数学概念的意识。进步主义教育把重点放在使数学摆脱纯粹的学问性质，重视它在自然科学中的应用及与社会生活的联系，致力于如何使数学教材心理化，至于对“教什么”这一最棘手难题则没有成为关注的重点。在小学和中学都没有强调要让学生掌握重要的数学概念，没有把算术作为理解观点、原理和过程的联系紧密的系统来教，仅仅把数学当作一门应用性科学来教，当然不能很好地解决纯粹数学与实用性算术的传统而引起的小学、中学、大学的衔接性问题。相反，由于进步主义教育运动中一些简单化的做法，反而出现了因响应改革口号而以混乱活动来代替传统课程的现象。这一点是杜威在他晚年时尖锐批评过的。杜威从来就没有简单地抛弃传统的数学科目，他在论及教材心理化问题时曾指出：“真正地来解释儿童在计算、测量和匀称地排列事物的现在粗糙的冲动，要包括数学上的学问——一种数学的程式和关系的知识”[5]。他把儿童和课程看成“仅仅是构成一个单一的过程的两极”，但是在怎样使这两极的连续具体化到课程与数学中，则一直困扰着教育者。尽管如此，杜威和进步主义教育运动起码树立了这样一种观念：数学课程应该是远比学校数学课表中的内容丰富得多的东西，它是学生努力理解的处理广大世界的一部分。
这一时期另一个对数学课程改革起了重要影响的是桑代克为首的教育科学研究，其最重要的贡献之一，是桑代克1901年发表的“训练迁移”的研究。该研究成果否定了西方关于某些学科具有“训练”价值的传统假设。传统上认为几何的学习能发展心灵的逻辑能力。桑代克的实验则成功地论证了完成了几何课业的学生，在解决逻辑问题中并不比没有完成几何学习的学生表现得更好。这一研究成果的意义不仅仅是对数学具有某种心智训练价值的传统观念的质疑，而更重要的是从本质上改革了传统上狭隘地安排心智训练材料的数学课程结构，使其转向了现代生活的经验研究。桑代克认为学校学习的因素必须与校外生活中的因素相同一，校外能遇到的一些可辨别的因素也适合于应用到学生的思维训练中，开始观察成人社会遇到的数量问题，以便选择适合于这些问题的计算题目[6]。很显然，桑代克关于训练迁移的科学研究与杜威主张的校内校外经验的连续思想互相呼应，两者都为数学作为应用性科学的课程改革提供了理论基础。
教育科学研究另一引人注目的进展是教育测量研究。美国教育家把法国心理学家比纳(A.Binet)和西蒙(T.Simon)发明的智力量表应用于学校的智力测验和能力倾向测验中，试图籍此扩展和改善教育结果。数学也不例外，桑代克和他的学生就在1908年发展了测量算术成绩的量表，1918年美国教育研究会发表年鉴《教育成果的测量》中描述的100多个标准化测验中，数学是主要部分之一[7]。对教育测量的热衷研究，实质上是对工业社会经济发展的效率标准需要的反应，也是为了满足因义务教育的普及（尤其是综合中学的发展）而日益迫切地要求提高教育效率的需要。尽管对智力测验本身存在许多争论，但许多人还是期望教育测量在实现数学教育效率方面开创出新的局面。提高数学教育效率的最棘手难题是“什么样的数学知识最有价值？”该时期对此问题的回答主要还是放在“满足通常的社会生活需要”方面。1911年任命成立的节约教育时间委员会，就曾对有代表性的城市学校进行调查，看其实际上，教的什么”和学生实际上“学到了什么程度”，以此作为课程建立成绩标准的基础。1917年由孟禄(W.S.Monroe)提出的“节约算术教学时间调查的初步报告”，就设想小学算术的基本目的是“使学生具有：(1)有关事实、原则和数量关系的知识，这种知识对决定用什么算术运算解决有意义的实际问题是需要的；(2)技能，这种技能对于运算来说是必要的”。设计算术教学的资料应是“来自家庭主妇、挣工资者、消费者和五金零售商的算术问题的具体材料”，认为这样就必然会形成最终决定小学算术教学大纲和算术测验标准的基础（同注[5]）。很显然，这是那些致力于更好地利用传统数学科目教材的人们想借助标准测验的研究成果提高教育效率的努力。尽管他们以“满足通常的社会生活需要”作为衡量“教什么”的标准具有维系社会现状的保守性质，不同于进步主义教育者试图通过发展个人而达到更美好的理想社会的宗旨，然而，他们把算术教育与实际问题的解决相联系则是与这一时期的改革主流相吻合的，而且在某种程度上正是对进步主义教育改革不够重视教育效率的关注。
总之，本世纪最初30年的数学课程改革对数学教育传统的冲击是巨大的。杜威和进步主义教育家们直接指向数学纯粹为哲学论证服务的学术性传统，桑代克直接指向数学狭隘心智训练价值的传统。两者殊途同归都直接推动了数学教育面向社会生活和儿童生活的经验研究，试图通过培养学生解决问题的能力来促成课程的社会方面与学生的心理方面的统一。这是这段时期数学课程改革的进步之处。然而，由于时代的局限，对“什么知识最有价值”的问题只停留在“应用性”的功利取向上而没有涉足数学教学内容与现代数学发展的衔接问题。对小学数学的商业取向性算术的教学的重视，在某种程度上反而加深了基础数学学习与数学领域新的理论突破之间的脱节。正是由于这一内在原因，象所有其它科目中出现的情况一样，在数学课程改革中也没有解决好课程的社会方面与心理方面的矛盾，即使曾一度活跃的从儿童兴趣需要出发的教学方法，也在社会、政治、经济、文化等因素的影响下随着进步主义教育运动的衰落而消失，在学校教育中占统治地位的仍然是以单一的教科书为指南，以“告诉和呈现”为基本形式的、事实记录性的生硬教学。
三、二十世纪中期课程改革运动中的“新数学”
二次世界大战后到六十年代是本世纪美国课程改革的第二次高峰期。由于二次大战中原子弹的爆炸和1957年苏联第一颗人造地球卫星上天的冲击，公众第一次目睹了科学和理论的研究成果如此巨大地影响到日常生活；过去几十年中对工业、发明和技术的信奉一下子转到了科学、理论和智慧的尊崇，大学的专家与教授们的地位陡然提高，学术研究被认为是对民族复兴和对国家军备竞赛至关重要的东西。
在这种背景下，1951年由卡内基基金会赞助，在贝伯曼(Max Beberman)领导下形成了伊利诺斯大学学校数学委员会(UICSM)。该委员会分析了中学数学课程并得出结论，说它们“很少包括1700年以后数学发展的概念，而且几乎没有集中在专家们认为重要的数学概念上”（同上页注[5]），这一结论引起很大反响。这是有史以来第一次以大学数学家和科学家为基础的力量对中小学课程改革产生的无可非议的影响。随着数学在工业、物理、生物和社会科学中应用的扩大，公众更认识到必须重视大学前的数学教育功能，在五十年代中后期出现了众多的数学课程改革尝试。其中最突出的是，得到联邦政府支持和国家科学基金会资助，以耶鲁大学为领导，由一批数学家、数学教师、教育学家、心理学家及政界、实业界人士组成的学校数学研究小组(SMSG)。该小组认为必须重新认识小学数学对中学成功的重要性，有史以来第一次掀起了从小学到中学的数学课程改革，这就是在SMSG领导下的著名的新数学改革。
新数学改革的哲学基础是认知心理学家布鲁纳提出的两个著名假设：(1)懂得一门学科意味着懂得它的结构；(2)任何一门学科能以某种智力上诚实的方式教给任何年龄发展阶段的儿童。这两个著名假设也是六十年代占主流的学科结构课程改革的理论基础。新数学在这一思想指导下追求的目标，是想实现从技巧练习、实践和生硬的事实记忆性数学教育，到强调意义和概念的数学教育的转变，教给学生数学学科中的潜在理论。在小学阶段，努力使学生理解他们在做什么和为什么这样做，明白不同数目的基础及其它们是如何发挥作用的，理解算术中的观念原理和过程之间的联系系统，培养对模式、法则、概念、方法与技术之间关系理解的敏感性。比如，在小学低年级，理解数学的概念结构就体现为掌握加法和乘法交换律等[8]。这样做是便于让学生摆脱乘法表的死记硬背，反复的算术练习和实践及其它基本的数学操作，适当引入了一些新的数学概念，如集合理论中的初步概念，也适当地呈现一些代数初步[9]。在中学，主要是想用现代数学的思想和语言，来表达传统课程中的内容。比如，在代数中，象“未知数”、“方程”、“解”这些古老的术语，被“变量”、“开（语）句”、“解集”等术语所取代。运算含义也不是传统教材用具体数学的运算来说明，而是用抽象的数学语言给出定义，并用统一的基本代数结构来取代传统上用来解决繁杂的代数问题时用到的分门别类的技巧及机械过程等[10]。在几何中，对统治中学两千年的欧几里得几何为基础的传统几何学提出了挑战，尤其是对那种传统上遗留下来的、为了大学预科的目的而训练逻辑推理能力的极端抽象与困难的几何练习，提出了强烈反对，甚至宣判这种几何的死亡；指出传统几何课中几乎没有表现出欧几里得第一次综合后的2000年来发展的重要几何观念和事实，要求中学几何课适当地纳入很容易被中学掌握的新内容，如非欧几里得几何，仿射几何学、拓扑学、图论、代数几何及向量空间论，而不要投出大量精力用来对付大量困难而抽象的传统几何训练题目。
很显然，这场改革是试图通过加强小学、中学数学的基本理论和概念方面来消除传统上一直没有解决好的纯粹学术性数学和商业化应用算术之间的对立，即不是象本世纪最初30年那样只以应用性取代学术性，也不是象传统那样只强调数学的逻辑论证价值和心智训练价值，而是力图在中小学课程中初步纳入现代数学领域基本的新概念新理论，加强了学术性理论抽象程度。但是，这种被认为对保持美国在科学技术上处于领先地位很有必要的新数学在实施中却失败了。主要原因是，其一，新数学极端抽象，偏重理论、定义，充满新的术语和演绎推理形式，往往淹没了真正的数学思想，它试图通过学习“学科的缩影”，把无限的知识纳入到有限的课程中，通过“质来解决量”的问题，采取浓缩极抽象的基本理论和基本概念的办法。结果大多数学生理解困难，没有解决课程对儿童的心理适切性问题。因而，有人尖锐提出在课程中或许更重要的是平衡而不是学科结构，完善的数学和完善的数学教育学不是同一回事[11]。其二，新数学主要是由大学专家教授们参与研制的，没有得到第一线广大教师的配合，教师没有足够的知识和心理准备，不能很好地向学生表达那些抽象的概念。其三，新数学主要是为大学预科而设，偏重理论抽象而忽视算术技巧训练，在实施中学生既难以达到所希望的概念理解水平，又没有学到在传统体系下掌握的算术技巧。有人抱怨，儿童学会了3+5=5+3，但不知3+5等于多少。这样，在教师与家长的心目中，长期形成的在数学作为一种商业取向的算术活动和数学作为一种纯粹学术性学科之间的对立不仅没有消除，反而达到了白热化程度。以致于到七十年代中期，由家长等社会力量发起了“返回基础”运动，要求返回到家长们童年时曾经历过的注重事实记录和计算技巧的数学课程上去。其四，新数学没有研制出配套适合的评估材料，当时流行的标准化测验并不适合对新数学课程的成绩评估，卷面成绩持续下跌，批评越来越多，因而代表着擅长于理论数学的新数学不久就在公立学校消失了。
四、新的新数学探索
虽然新数学在实施中失败了，但简单地全盘否定地返回到传统的数学教育，在飞速发展的现代社会中显然是行不通的。在本世纪初的数学课程改革所关注的培养学生解决实际问题的能力的目标，新数学提出的获得重要的概念知识比生硬地掌握计算技巧更重要的思想，以及通过数学学习培养逻辑思维能力及创造力的观念，几乎一直是各种数学课程指南共同关注的问题。尽管两次改革都不成功，但这些目标却始终是值得孜孜以求的。
新的数学探索首先是为了配合科学和技术的新进步，适应信息化社会的需要。随着七十年代末微型计算机的普遍使用和大量进入学校、家庭，计算机对中小学课程的冲击就不仅仅是要求学校增设计算机课和采用计算机辅助教学的问题，而是以新“信息学”面貌参与了社会生产、管理、技术、日常生活及人类传统的根本变革；也并非增设“信息学”就能详述它在教育中的作用。首先，教育的对象正发生着巨大变化，学生不仅仅是一个个体，而且是将会使用计算机和掌握强有力的信息技术的人。所以，教育的目的再不能只是学习和记忆事实。其次，信息学的方法正在渗透到所有学科中，在数学领域，计算机惊人的数学能力正提供着一种新的工作范式或新的方法论，影响着数学渗透到我们的生活中，使得所有专业的科学家、技术人员，都在他们的工作中遇到数学模式问题，这就大大增加了对理论化数学的需要。相反，随着计算机和计算器的普及，对商业取向的计算技巧的需要就明显退居于次要地位了。靠简单地抵制计算器与计算机的使用来维护传统的反复的计算技巧训练显然是不明智的，最富于挑战性的难题是怎样寻找正确的策略使人的能力和机器提供的可能帮助相互补充[12]。这是本世纪前两次数学课程改革高潮中还没有出现的新的挑战。
新的新数学探索开始于1983年，正值美国高质量教育委员会发表《国家处于危险中——教育改革势在必行》之际。这种危机感在数学教育中颇为突出，根据美国教育评估委员会(NAEP)发表的数学成绩报告，大约只有一半17岁的少年在1986年的测试中能完成和达到中等成绩，许多13岁儿童在做数学时缺少必需的基本技巧，3—4年级的大部分学生不能理解和掌握最初步的数学概念和技巧，在数学学习中逃学的比率高达50%，同时，大学授予数学学士学位的数1983年比1970年下降率超过了50%。如果今后还保持这种低水平的话，就不能满足在科学、技术、工业和教育等领域所需的合格的数学家的要求。这种状况充分表明，在科学技术迅猛发展的现代信息社会，机械地记录事实和反复地训练技巧的传统数学教育模式只是迎合了风行的标准化测验，却不适合现代社会的需要，也丝毫引不起学生的兴趣。课程内容现代化问题不是靠简单地返回基础能回避的，数学课程的改革势在必行。
新的新数学探索首推芝加哥大学的学校数学方案组(UCSMP)在沃瑟普(I.Wirszup)负责下的工作。它由阿莫可基金会(Amoco Foundation)所倡导从1983年开始并一直在持续进行着，后逐渐扩大到由卡内基基金会(Carnegie Corporation)配合资助，并得到基础电子基金会(General Electric Foundation)和全美科学基金会(National Science Foundation)的关注。研究目的是强调当代重要数学以适合技术的进步，提高学生解决问题的能力，以适应九十年代的需要。
学校数学方案(UCSMP)包括五个主要部分的工作。小学部分负责1—6年级的课程，初中部分负责7—12年级的课程，两者都与师资准备相联系。第三部分负责国际间资源发展的交流，考察国外数学资源以选择补充到方案中。第四部分是负责评价，承担实验和研究设计任务，以提供有效的实验证据，观察课堂和教师的活动以便及时地对规划工作提供有益的反馈。最后是负责管理的部分，它协调各个部分的工作使之一体化地运转，诸如重视发展教师技巧，对国际数学课程资源开放，专为7年级准备了作为算术和正规的代数与几何之间桥梁的过渡性数学设计。可见UCSMP课程规划是慎重的，充分吸取了新教学改革中积累的经验教训。
UCSMP在重视数学的理论、概念方面与六十年代的新数学相类似。代数、几何和统计不正规地融合到小学课程中，作为对现代社会工作场所数学化的技术和统计学广泛应用的现实的反应，中学以统计、概率、代数、几何为主，在中学数学课程中后两者已不再占绝对统治地位，特别是传统上认为具有特殊的心智训练价值的欧几里得几何居于次要地位。但也有不同于新数学之处。新的探索认识到新数学过度忽视了数学对商业和实践的用处，要求掌握基本的计算技巧，但作为对现代日常商业不再求助于纸笔书写的现实的反应，反对以过度的练习和实践来达到绝对正确的结果，要求各种基础数学操作的反复练习居次要地位。允许1—6年级采用袖珍计算器，以便把更多的时间与精力转到数学概念的掌握和创造性活动方面来。在中学，不再把演算当作大学预科最重要的内容。考虑到计算机使用的扩大对离散数学的需要超过了对经典的连续数学和演算的需要，在12年级适当提供些离散数学初步，如图论，欧几里德算法的设计与分析、集合、组合数字、数学逻辑等主题。这种离散数学的引入，也是UCSMP区别于新数学的特色之一。
UCSMP课程规划研制的教材已被实验性地实施与评价。1989年，有3.5万名学生采用了这种教材，有1.5万名教师得到了进修培训，终结性的评价引起热情关注，举国认为需要进一步合作和扩展。当然，人们也在关心地观察着，新数学的错误是否被UCSMP所重复。
新的新数学探索的另一注目事件，是1989年3月全国数学教师理事会(Nctm National Council of Teachers of Mathematics)发表了相应于幼儿园～4年级，5～8年级，9～12年级的三套数学课程标准，并提出了所有年级的五项一般课程目标。这五项目标是：
1.成为数学问题的解答者。即能从大量不同的资源中利用各种策略解决广泛的数学问题，面对各种新情境选择和概括出解决办法与策略，包括处理来自现实生活和来自于应用数学模式技术对付实际问题的各种新情境。
2.学会用数学交流。即能够利用包括符号的数学语言表现和扩充数学观念，包括用图示、表格、代数模式等不同数学表现形式做出情境模型，表达数学观念，在解决问题中提出有效的假设。对中学9—12年级尤其要重视用数学交流。
3.学会用数学推理。即学会发现联系和扩充模式，描述和判断问题，证明假设的能力。
4.学会尊重数学的价值。使学生尊重和欣赏数学在现代社会中和对文化发展的重要性。
5.使得对自己学习数学的能力感到自信。把课程视为是通过采用许多与数学发展相联系的经验编制的，帮助学生了解到数学是人类智慧的产物，一定能掌握好它。
NCTM表明，第4和第5两点标准都强调要培养一种“数学性格”，强调对数学作业保持兴趣、好奇、自信，并认为此点应渗透到其它所有标准中。同时指出，在传统的数学模式和标准化测验模式中很难培养“数学性格”，现行教学策略必须急剧地改变。此外，NCTM标准还设想让学生充分利用计算器，降低基本算术概念与技巧的熟练掌握标准，突出数学知识的内在联系和新的数学观念，注意激发学生的学习兴趣和创造性。可见，NCTM标准是相当理想的目标，这种理想的实现还受着各种因素的制约。然而，其中重视掌握数学的基本概念和培养数学观念与数学性格的改革方向，则是与电子科学技术革命对数学的应用和对数学学科本身的巨大影响相一致的。在纯粹学术性数学学习传统与商业取向的实用性算术学习传统都已发生了基本变化的现代，中小学数学课程正处在发生巨变的关键时刻，NCTM标准的理想显然是有一定借鉴意义的。
在最近的数学研究中还有一个最突出特点，就是认识到数学的主要分支具有许多结构上的相似点，用某些一般的概念就能抽取和勾勒出这些相似点的轮廓。有人指出，笛卡儿在十七世纪就认为，几何中的对象和运算直接相对应于代数中的对象和运算，F·克莱茵(Felix Klein)在十九世纪指出他那个时代的所有几何都可以被看作在一种空间的变换后面的不变量的研究；而各种对向量法的研究结果表明，一些基本的概念提供着在几何、代数、物理世界之间的一种强有力的联结。这些从数学学科本身寻找各门分支之间的质的综合点的研究是六十年代的新数学改革中所缺乏的，相比于二十世纪前期仅仅从各科知识在实际问题中的综合应用中寻找突破各科目框格隔离的形式，无疑是一种质的飞跃。此外，微型计算机描图也为几何教学大纲的多样性提供了重要工具，尤其是它促进分数几何(Fractal Geometry)的发展，其中展示的在动态系统中的混沌模型正强烈吸引着广大师生。所以，学校几何教育也正处在冲破传统的欧几里德几何的狭隘限制，萌发出新的内容、方法和应用价值的关键时期。
综观本世纪三次重大的数学课程改革，虽然步履艰难，但仍然是在社会诸因素影响下和科学技术发展的不断冲击中前进着。二十世纪前期的改革促进了数学教育摆脱狭隘的纯粹学术性传统而联系于广阔的社会经验，试图通过培养学生解决问题的能力来适应社会的巨变；二十世纪中期的新数学第一次试图解决知识的爆炸带来的课程陈旧落后问题，正面触及知识无限和学时有限之间的尖锐矛盾；正在进行中的第三次改革则在前两次改革的经验教训基础上再次勇敢地面对电子技术革命对数学教育的巨大冲击，对历次改革中没有解决好的、传统上遗留下来的、纯粹学术性数学和商业化实用性算术之间的分化而造成的小学、中学与大学数学学习之间的脱节问题，在新的条件下寻找新的解决契机。这个新的契机受惠于电子技术发达的信息时代，它使得对理论化数学需求越来越大，使商业化算术技巧的需求居次，使中学和小学都有可能在重视掌握数学的基本概念，培养新的数学观念和数学性格这些方面相互靠拢。同时，也拓宽了数学教育的培养目标，既不象本世纪前期的改革那样实质上只简单地实践若干世纪以来算术在商业活动和生活中的应用，也不象本世纪中期的新数学那样只追求培养小学者小数学家的目的，而是既为大学高深的学习做准备，又满足日益普及的工作场所数学化技术的需要。而且，对数学各门分支之间结构上的相似点及基本概念的研究，信息时代大力促使的数学对各专业的大力渗透，将会使得科际之间的一体化联系成为可能。因此，作为二十世纪的课程特点的学科设计模式的实质性变革，也成了课程理论与实践摆在议事日程上的重要研究课题。
注释：
[1]《古希腊罗马哲学》第37页，商务印书馆1961年版。
[2]参见C.Keitel,G.Schubring and R.Stowasser:History of Mathematics Education，载于The Intenanational Encyclopedia ofCurriculun P.864—865,Pergamon Press 1991.
[3]参见赵祥麟主《外国教育家评传》第二卷第513—515页，上海教育出版社1991年版。
[4]Wilford Merton Aiken:The Story of the Eight Year Study,P.46,48,52,53,New York,Harper and Brothers 1942.
[5]参见劳伦斯·阿瑟·克雷明著，单中惠、马晓斌译《学校的变革》第146、20、217页，上海教育出版社1994年版。
[6]赵祥麟、王承绪编译《杜威教育论著选》第85页，华东师范大学出版社1981年版。
[7]参见Ralph W.Tyler,The Five Most SignificantCurriculum Events in the Twentieth Century,Educationalleadership 44,No.4(December 1986—January 1987)36—38。
[8]参见George J.Posner,Analyzing the Curriculum Page 57,Mcgraw—Hill,Inc.1992.
[9]参见International Encyclopedia of Curriculum Page 834,840,843,Edited by Arieh lewy,Pergamon Press 1991。
[10]参见范良火等《数学课程的改革需要注意些什么？》钟启泉主编《国外课程改革透视》143—146页，陕西人民教育出版社1993年版。
[11]参见Wilma S.Iongstreet and Harold G.shane,Curriculumfor a new Millennium,P843,227,219,227—231 Allyn & Bacon 1993.
[12]参见联合国教科文组织1989年教育与信息学国际大会专题译文，教育参考资料第17—18期，国家教委情报研究室，1989.9.30。
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