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直觉思维是与逻辑思维、形象思维一样，是人类的基本思维形式之一，是物质世界在人脑中的反映，是显意识与潜意识相互作用的产物，是人们以一定的知识、经验、技能为基础，通过观察，联想、类比、归纳、猜测等对所研究的问题提出的猜想和对客观事物的一种比较迅速的综合判断，直觉思维是数学思维的重要内容之一，法国著名数学家庞加莱（Poincare）曾说过：“搞算术，就如搞几何或搞任何别的科学，需要某种与纯逻辑不同的东西，为了表述这个某种东西，我们没有更好的‘字眼’，只能用‘直觉’一词。”本文笔者试从数学史上三大几何的产生谈谈培养直觉思维的必要性。
两千多年前，古希腊人想把测地术扩大到应用范围，这就要求有全面系统的几何知识，从而在几何中开始使用逻辑方法，并形成了一些哲学学派，其中最早的是爱奥尼亚学派，代表人物是泰勒斯，他曾想到根据土地测量经验规则建立一门关于空间形式的理想科学，即几何学，后来的毕达哥拉斯学派证明了一些新定理，随后逻辑方法进入数学，迅速推动了数学发展，并促进了数学从实践经验向系统论的转化，到了公元前3世纪，欧几里德把前人的庞大资料加以系统化，他从少数概念和一些被认为是“不证自明的公理”出发，运用逻辑推理的方法把其它几何知识推导出来，写出杰作《几何原本》。
欧氏几何的建立充分体现了“喜欢根据直觉来建立理论”的希腊精神，把几何学公理看作是不证自明的事实是古希腊哲学家、科学家共有的直觉观念，下面再简单谈谈罗氏几何的产生。
似乎有一种反面的观点：“罗氏公理纯粹是逻辑演绎的产物”。这种说法是错误的，的确，罗氏公理是由于人们推敲欧几里德公理体系中的第五公设（注：欧氏第五公设：若两条直线被一直线截得的一组同侧内角之和小于二直角，则若适当延长这两条直线，必在其和小于二直角的一侧相交。简单地说，就是过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。）而引起的，第五公设内容不浅显，并且在整个《原本》只使用过一次，因此人们怀疑第五公设能否从其它命题逻辑推导出来，但经过几百年的努力，许多人都宣告失败。其中值得一提的是意大利教士、教授萨凯里，他考虑：如图1，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，且AD=BC、关于∠C和∠D的大小，从逻辑上看共有3种假设可选择
（1）∠C和∠D是直角（直角假设）
（2）∠C和∠D是钝角（钝角假设）
（3）∠C和∠D是锐角（锐角假设）
在直角假设下得到的就是欧氏几何。萨凯里则在锐角假设下得到一系列有价值的定理，这些定理属于一种新的几何学，遗憾的是他对新几何学视而不见，从而失去了成为“新几何学发现者”的机会。而俄国数学家罗巴切夫斯基则在锐角假设下大胆地提出了罗氏平行公理（注：罗氏公理：即罗巴切夫斯基的平行线定义：存在着这样的直线a和不在它上面的点A，使得通过点A至少有两条直线，不和直线a相交，但是和它在一平面上。），从而开创了全新的几何学——罗氏几何。当时这“直觉之一新行为”受到人们的嘲弄和打击，被认为是“发疯”，因为它既无逻辑依据，又违背了人们的常识。但是如果没有冒险的直觉行为就出不了新几何学。而德国数学家黎曼则从钝角假设推出了另一门新几何——黎曼几何。
因此我们可以看出，直觉思维在数学学习中是客观存在的，而且是数学教育的重要内容。对全面提高学生思维水平，特别是创造性思维能力可以说是必不可少的，虽然在中学数学教学大纲中并未将它作为一种基本能力提出来，但它们作为数学中分析问题和解决问题的一部分都毋庸置疑，由于习惯于从数学教科书和数学专著中看到数学和数学思维，往往只看到数学高度的抽象性、系统性和严格演绎的一面，忽视了书籍中所表达的经过整理加工的数学思维活动，忽视了数学形成过程中生动、直观的一面及包含着大量源于直觉思维的结果，把数学思维能力的培养基本上局限在逻辑思维能力上，无形中造成了对数学思维的偏见，也削弱了数学教学的功能，非常有必要加强这方面的训练。针对学生知识结构水平和心理特征，根据数学学科的特点，直觉思维在数学教育中的地位和作用主要表现为：
1 直觉思维是数学思辨活动的关键一步
人们认识事物是一个复杂的过程，往往需要经历若干阶段才逐渐从现象认识到事物的本质，开始只能根据已有的部分事实及结果，运用某种判断推理的思维方法，对某类事实和规律提出一种推测性的看法，这种推测性的看法就是直觉。因此数学直觉就是指依据某些已知事实和数学知识，对未知量及其关系作出的一种似真判断。
现代认知理论认为：学习是主体主动的意义建构，是主体在头脑里建立和发展数学认知结构的过程，是数学活动及其经验内化的过程。因此，直觉思维是在建构活动中，主体的数学认知结构对当前面临的新知识、新问题进行的预测性的重组、整合的过程，它使外部知识与内部创造的不平衡达到暂时的平衡。笔者进一步认为：直觉思维是对抽象化的、形式化的数学材料进行思辨的建构活动，思辨活动中缺少了直觉，（有时这种直觉人们无法意识到或者说达到了自动化），数学材料就不能形成主体的心理意义，从而造成意义建构失败，所以，直觉是构建数学认知结构时，主体思辨活动的关键一步，从另一方面看，直觉能促进知识的同化和顺应的进行，加速知识的发生和迁移。同时，直觉既有一定的科学性，又有一定的假定性，这一层面上又反映出直觉思维的敏捷性、灵活性以及批判性。
2 直觉思维符合青少年的思维习惯
青少年的思维的自由度大，不受框框束缚。具体表现为：一方面喜欢“异想天开”，好“离奇”；另一方面由于知识水平的缺陷及逻辑思维力度还不够，有时能“感觉”到某个问题正确或“觉察”到数学问题的某种关系，但又说不清理由。这些特点正好符合直觉思维的普遍性、模糊性等特点，这个时期是对他们进行直觉思维能力培养的契机期。应根据不同情况诱发其直觉意识，教其直觉思维的方法，让他们体验到用直觉思维成功地解决问题的乐趣，从而激发他们学习数学的兴趣。
3 培养直觉思维能力与培养思维品质是一致的
培养直觉思维能力有助于学生形成一种总体的战略性眼光去把握解决问题的总方向，有助于克服思维的呆板性，从而培养思维的灵活性、敏捷性、独创性等品质，从培养途径和最终结果来看，培养直觉思维能力与培养数学思维品质是一致的。
4 培养直觉思维能力有助于创造性人才的培养
直觉思维和逻辑思维都能得到新知识，但后者只能在不超出前提知识的条件下得到一系列结论。它要受到传统思维思路的束缚，因而在遇到需要突破传统观念的课题时，就显得无能为力。而前者则具有反常规的独创性，具有突破传统思路的开拓性。
包括前面所述的三大几何产生在内的数学史表明：很多卓越的发明都来自直觉，爱因斯坦多次宣称“我相信直觉”。他认为科学发现的道路首先是直觉而不是逻辑的。他回忆狭义相对论创立时的情景说：“我躺在床上，对那个折磨我的谜，似乎毫无解答的希望，没有一线光明，但是，黑暗突然透出光明，答案出现！”
综上所述，直觉思维是一种合情推理，它与逻辑思维构成科学创造的两翼，其重要性不言而喻。笔者认为应当让直觉思维走进数学课堂。下面谈谈我在这方面的体会。
（1）探索培养学生直觉思维能力的数学教学模式。数学教学必须注重知识的发生过程，但真正能做到展示知识的生动发生过程的，惟有真正激发学生的直觉思维。要真正体现学生的主体性，就必须使学生的认知过程是一个再创造的过程，教学中必须渗透“直觉+证明”的发现问题和解决问题的科学思维，数学教师应积极探索符合培养直觉思维的教学模式。
（2）加强方法论意义上的以“直觉”为核心的学法指导。拉卡托斯指出：朴素的猜想构成了数学发现的逻辑实际出发点，从某种意义上可以断言，没有直觉思维和逻辑证明就没有数学。因此，应教会学生怎样直觉思维，如引导他们怎样整合材料，提出疑问，如何直觉地洞察结果或问题解决的途径等。
（3）鼓励学生大胆地进行直觉思维。这里并非指乱猜乱想，它应是一种合情推理，与逻辑演绎相辅相成。对于未给出结论的数学问题，直觉成为寻求答案的路标；对于已有结论的问题，直觉成为寻求解题途径的垫脚石。如1986年全国高中数学联赛中，有这样一道题：直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点，请设计一种方法，将所有的整点染色，每一整点染成白色、红色或黑色，使得（1）每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；（2）对于任意白点A、红点B或黑点C，总可以找到一个红点D，使ABCD为一平行四边形，证明你设计的方法符合上述要求。
有位考生凭直觉猜测红点应尽可能多些，并要让红、黑、白三点不共线，再根据平行四边形中心对称的特点，从特殊位置入手，设计出符合要求的方案：Y轴正半轴上整点（包括原点）染成白点，Y轴负半轴上整点染成黑色，其余各整点均为红点。比标准答案简便多了。
（4）加强数学美育。现代科学美学研究表明了审美活动是直觉思维的一种重要的形式，科学的美感能推动学生积极展开直觉思维，提出假设，其间，数学的简单、对称、和谐、奇异美往往发挥着重要作用。如1986年全国初中数学竞赛有这样一题：如图2，BP=CQ，A为线段BC外一动点，且∠BAP=∠CAQ，则△ABC是什么三角形？试证明你的结论。
分析：这里根据条件“BP=CQ，∠BAP=∠CAQ”无法用三段论推知结论，有很多考生一眼凭直觉就看出是等腰三角形，AB=AC。但进一步要问他们为什么时，学生回答说根据对称性猜的，无法给出严格的逻辑推理。上例正好反映了数学审美意识在直觉思维中的作用。
在大力倡导创新教育的今天，培养学生的直觉思维就显得尤为重要，因为直觉思维可使学生智力得到发展，尤其是观察力、想象力与创造性思维能力得到迅速提高。但在教学实际中还得注意两种现象：一是直觉不可能完全正确，有可能得出错误结论，教师应正面引导，即使错了，不能批评，应引导他们重新思考，向数学家学习，树立学生直觉猜想的决心和勇气；二是出现另一极端——学生以直觉代替论证，对此教师必须强调直觉的结论要经过严格证明，才能认可，否则就违背了数学学科的严谨性。数学直觉思维和数学演绎并不对立，在数学演绎中蕴含着直觉思维，而直觉思维又应以演绎为前提和后行。直觉是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成。因此，在培养直觉思维的同时应加强对学生逻辑思维能力的训练，并尝试用逻辑思维去指导直觉活动。