小学数学计算教学若干问题的思考与实践（上），本文主要内容关键词为：若干问题论文,小学数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在小学数学中，计算教学本是一个内容及其结构相对稳定的领域，几十年来，基本上一直是整数、小数、分数的四则运算.
计算教学内容的改革趋势也比较明显，容易形成共识，主要是适当地逐步精简.从降低繁杂的整数、小数四则运算要求，到控制分数的分母、分子的取值范围，以及降低分数四则运算的要求.与20世纪80年代相比，已经精简了不少.尽管如此，仍然还有继续精简的空间.因为社会在不断发展，对计算技能的需求也在逐渐变化.目前的初中生平时大多用计算器完成作业中的计算，这一变化态势，对小学数学的口算、估算教学影响不大，但笔算教学如何顺应发展，却是我们无法回避，必须回应的.
这些“教什么”、“为什么教”的问题，需要专题研讨仅从“怎么教与学”的视角，探讨几个问题.
一、算法多样化的多义性
算法通常是指可以解决一类问题的完整步骤和计算序列，即在有限步骤内求解某一类问题的一系列清晰指令或者操作规则的集合.在本文中，算法只是作为整数、小数、分数四则计算方法的简称.
1.算法推导的多样性
早在上世纪80年代，笔者撰写的《计算教学》一书中，就有大段阐述.
以分数除法计算法则为例，“颠倒相乘”的导出，有着各具特点、利弊的多种途径，可供教师选择.
推导一
情境引入：小明骑自行车
小时行8千米，1小时行多少千米？
根据路程、时间与速度之间的关系，列出算式8÷.着重启发学生搞清“小时行8千米”的含义，是把1小时行的路程平均分成3份，其中2份是8千米.可以画线段图表示：
学生容易想到，先求2份中的1份是多少，再求3份是多少，即8÷2×3.推导过程是：
由此发现除以一个数等于乘上这个数的倒数.
这是当年教材采用的推导方法，主要优点：一是借助情境，比较直观，易于理解；二是便于算法、算理与应用结合.第一点是显然的；第二点的理由是，成人解决上述问题大多心算8÷2×3，这也正是颠倒相乘后的约分过程：
所以，推导过程与笔算过程及实际应用的心算一致.如此推导的思路类似传统的“归一问题”的解题思路，所以教师们常称之为“归一法”.
它的不足在于：推导过程的理解依赖于传统的分数除法的意义“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”，与教材给出的分数除法与整数除法统一的意义“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算”联系不够紧密.
那么，能否由除法统一的意义“乘法的逆运算”导出呢？
推导二
从中发现：如果分母相同，也能分子相除、分母相除.
这种推导方法具有明显的优点：依据运算定义，顺理成章（常有学生称它为“还原法”）.不足也同样明显：较为抽象，较为复杂，且推导与应用脱节.
那么，有没有比较简捷的推导方式呢？
推导三
先口算，其中有几题“积是1”、“除数是1”的乘、除法题目.小结：倒数概念，除数是1的除法特性.
这种推导方法的优点是简单明了，趣味性强（学生常常将它命名为“转化法”）.它的缺点在于推导与应用缺乏联系，并且理论上有一定的缺陷.因为在算术理论中，通常将分数除法的算法作为它的定义，有了定义才能将除法的基本性质由整数推广到分数，现在定义由性质导出，逻辑上存在“循环”.
很自然产生追问：有没有基于逆运算，又无明显理论缺陷的推导方式呢？
推导四
这样推导的优势很多：列式基于“逆运算”；推导比较简明；推导的依据“等式基本性质”可以视为公理，避免了数系扩充问题；便于统一解决某些实际问题的思路.问题是小学数学教师一时不太习惯.
有必要指出，本文重提推导方法的种种变式，并非提倡“算法推导多样化”，而是肯定其背后的核心教学思想：遵循启发式教学原则，酌情适应儿童的想法，因势利导.
2.计算方式的多样性
人民教育出版社于1994年翻译出版的《美国学校数学课程与评价标准》一书的作者认为：“当某人为了求得一个问题的答案而需要进行计算时，他应该意识到选择方法.”（见下图）
不难看出，崇尚实用主义的美国人看重的是从实际需要出发，选用适当的计算方式.他们强调的是计算方式的多样化，与我国目前流行的计算方法多样化具有实质性的差异.
如果将这一计算方式选择图套用于我国现在的小学数学教学，那么应该再加几个“箭头”（见下页图）.
这是因为：我们是在掌握基本口算的基础上学习笔算的，因此所谓笔算，实际上是口算（心算）笔记；非常重视对某些笔算实施简便运算；迄今计算器主要用来检验计算结果正确与否.
3.计算方法的多样性
这是当下比较主流的观点，其落脚点是“让学生自己选择”，“喜欢哪种算法就用哪种算法”.实际效果往往并不都能如愿.以20以内退位减法为例.
算法一：“想加算减”
15-7=？想：7+（ ）=15
上世纪七八十年代的小学数学教材曾主导这一算法.有学者批评它是数学家才能想到的方法.
教师们通过实践发现，有些学生知道方法，但想不出7加几是15，所以知道方法也没用.显见，“想加算减”方法的掌握取决于20以内进位加法的熟练程度.针对这一弱点，上世纪九十年代的教材鼓励学生通过摆弄小棒，探寻其他算法，主要有以下两种.
算法二：“破十法”
即15-7=15-5-2
只要给学生1捆5根小棒，让他们从中拿走7根，学生自发想到的操作方法基本上可归结为这两种算法.也就是说，它们是学生通过操作能够自己得出的计算方法.
然而，无论是“破十”还是“连减”，都要三步（先拆数，再两步口算）才能完成，学困生难以内化，一时难以真正掌握.
有教师经过多次实践、比较，发现还是“想加算减”更适合这部分学生.相应的教学对策是，适当延长20以内进位加法的练习时间，待学生看到7+（ ）=15，能很快作出正确反应后，再来学习20以内退位减法.问题迎刃而解了.
15-7的其他算法，例如，从15倒数7次；由17-7=10，推出15-7=8；把减数看成10进行转化，15-7=18-10（自发地运用了“被减数、减数增加相同的数，差不变”的规律），等等.实际上是个别早已会算的学生，在教师“还有什么方法”的一再追问下，挖空心思想出的“怪招”，以迎合教师的需要，博得教师的表扬.事实上，他们自己也不会采用.
进一步研究表明，“喜欢哪种算法就用哪种算法”之所以常常流于形式，得不到落实，原因主要有两个：其一，并不是所有学生都希望拥有自我选择权，部分学生不知道哪种算法适合自己；其二，选择不同算法需要跟进不同的辅助练习.例如，“破十”的辅助练习：
目前的教材，很少有这样的配套练习，如果教师不加补充，学生自己选择算法自然难以有效落实.
4.算法表征的多样性
已有地方性教材在这方面做了一些探索.以一位数与两位数相乘为例.
显然，以上种种都只是同一种算法的不同表现形式.
严格地说，算法推导多样性、算法表征多样性、计算方式多样性，与算法多样化都是不同的概念.这些有关计算教学多样性的不同侧重点，在某种意义上也可以看作“算法多样化”在不同年代、不同地域背景下的不同诠释.之所以归在一个标题下，是希望它能启迪我们开阔视野、打开思路，不再拘于那些简单计算的种种算法变式，折腾儿童，苦恼自己.
应该形成一个基本准则：以学生的发展为本，实事求是，适当选择.换句话说，我们是为学生而教，而不是为理念而教，不是为教师个人喜好而教.