零膨胀损失次数回归模型及其应用，本文主要内容关键词为：及其应用论文,模型论文,损失论文,次数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
传统的损失次数回归模型通常假设损失次数服从泊松分布、负二项分布或泊松—逆高斯分布等。但在某些情况下，损失次数具有零膨胀的特点，譬如，对于具有免赔额的保单来说，只有当一次事故的损失金额超过免赔额时才会导致索赔，因此损失次数在0点会出现概率堆积，在这种情况下，应用零膨胀模型可以更加准确地对损失次数进行预测。
零膨胀泊松分布(ZIP)是对Poisson分布在零点的概率进行调高而得到的。在此基础上，考虑到过离散数据的影响，还可以把零膨胀泊松分布中的泊松部分用负二项分布(NB)、广义泊松分布(GP)或泊松—逆高斯分布(PIG)来代替，相应地就形成了零膨胀负二项分布(ZINB)、零膨胀广义泊松分布(ZIGP)和零膨胀泊松—逆高斯分布(ZIPIG)。在回归模型中，如果假设因变量服从上述的各种零膨胀分布，就得到了相应的零膨胀回归模型。
近些年来，零膨胀回归模型受到越来越多的关注。Lambert(1992)在研究焊接瑕疵时首先使用了ZIP回归模型，并对瑕疵次数数据进行了拟合，运用EM算法和Newton-Raphson迭代方法对模型参数进行了估计。作为对ZIP回归模型的最早推广，考虑到数据的过离散特征，Heilbron(1994)讨论了零膨胀负二项(ZINB)回归模型。Gupta et al.(1996)应用零膨胀广义泊松(ZAGP)回归模型对胎儿运动与死亡次数数据进行了拟合。Czado，Erhardt，Min与Wagner(2007)又在此基础上对ZIGP回归模型做了进一步的研究与分析。另外，为了进行模型间的比较，Yip和Yau(2004)同时运用ZIP、ZINB、ZIGP以及ZIDP(ZI Double Poisson)回归模型拟合了车险索赔次数数据。作为泊松分布的又一推广，泊松—逆高斯(PIG)分布也适用于拟合过离散数据。Shoukri(2004)利用PIG回归模型拟合了奶牛乳腺炎发病率的数据，并与NB回归模型进行了比较，但没有考虑相应的零膨胀模型。本文将讨论零膨胀泊松—逆高斯回归模型的应用问题。
二、模型构造和参数估计
（一）零膨胀泊松回归(ZIP)
假设共有n个风险类别，第i个风险类别的损失次数用随机变量
表示，且服从下述分布：
上式中，随机变量
服从泊松分布、负二项分布或广义泊松分布等。如果假设服从均值为
的泊松分布，即：
基于上述假设，由(1)式可得零膨胀泊松回归模型的对数似然函数如下(Yip、Yau,2004)：
可以应用极大似然法对上述模型的参数进行估计，此时，要求对数似然函数的一阶偏导数为零，即需要求解下述方程组：
上述方程组是非线性的，需要采用数值方法求解。应用Newton-Raphson迭代法可以得到参数β的第m次迭代方程为：
对数似然函数关于β的一阶导数和二阶导数可以如下计算：
在上面两式中，n是观察值（风险类别）的个数。将上面两式带入方程(2)即可求出参数向量β的迭代公式。
仍然利用Newton-Raphson迭代法可得到下面的迭代方程：
将上面两式带入方程(3)即可得到求解参数a的迭代方程。
（二）零膨胀负二项回归(ZINB)
在泊松回归中，假设风险类别是同质的，即均值在每一风险类别中固定不变。如果风险类别是非同质的，即在每一风险类别中，不同的个体风险具有不同的，假设服从均值为
的伽玛分布，则风险类别的损失次数将服从下述的负二项分布：
把上述负二项分布的概率函数带入(1)式，即可得到零膨胀负二项分布(ZINB)，其均值和方差分别为(Yip、Yau，2004)：
求解参数a时，仍然可以应用公式(3)的迭代方程。对于ZINB回归模型而言，G与G′，的表达式分别为：
在ZINB回归模型中，还需估计离散参数k。相对于极大似然法而言，矩估计比较简单，因此可以使用Breslow(1984)的方法，即令
统计量与其自由度相等而得到对参数k的估计值：
（三）零膨胀广义泊松回归(ZIGP)
在研究损失次数的分布时，广义泊松分布(Generalized Poisson)也是常用的模型之一，它的优点是既可以拟合过离散数据，也可以拟合过紧缩数据，其概率函数为：
广义泊松分布是泊松分布的推广，当参数k=0时即转化为泊松分布；当k＞0时，模型适用于过离散数据，而当k＜0时，模型适用于过紧缩数据。
把上述分布函数带入(1)式即可得到零膨胀广义泊松分布(ZIGP)，其均值与方差分别为(Yip、Yau,2004)：
求解参数a时，仍然可以应用公式(3)的迭代方程。在ZIGP回归模型中G与G′，的值分别为：
对于离散参数k，仍然可以用(5)式和(6)式所表示的矩估计法进行估计，其中M与M'的值可分别表示为：
（四）零膨胀泊松逆高斯回归(ZIPIG)
在前述其他的零膨胀回归模型中，都写出了参数估计的Newton-Raphson迭代方程。而在零膨胀泊松—逆高斯回归模型中，由于似然函数的形式复杂，难以给出迭代方程的显示表达，但可以采用有关软件（如MATLAB）进行数值求解。在此过程中需要设定参数的初始值，考虑到PIG分布是由泊松分布推广而来，因此可以用泊松回归的参数估计结果作为PIG分布参数估计的初始值，并设离散参数的初始值k=0。
三、实际应用
（一）数据描述
本文使用一组耳病发生次数数据（来源：http://www.statsci.org/data/oz/eafinf.html），其中包括以下几个变量：游泳的频率、游泳地点、目标人群的年龄、性别和发生耳病的次数，共有287组观测数据。每一组数据包括耳病发生次数
以及解释变量
的取值，i=1,2,…,287，其中解释变量的取值如表1所示。
表1 解释变量的取值
图1 观察数据的条形图
图1是耳病发生次数分布的条形图，其中耳病发生次数的取值区间从0至17。其中发生次数为0的人数约占总体人数的52.6%，发生次数为1的人数约占总体的13.9%，发生次数为2的人数与发生次数为1的人数相当，约占总体的13.6%，随着发生次数的增加，其人数所占比例也越来越小，直到发生次数为17的人数仅占总体人数的0.3%。从图1可以看出，耳病发生人数在零点具有较大的概率堆积，因此可以推测，如果用零膨胀模型对其进行预测，效果可能会更好。
（二）参数估计
表2是用泊松回归、负二项回归、广义泊松回归和泊松—逆高斯回归对上述数据进行拟合时的参数估计值。在该表中，Df表示自由度，l是对数似然函数的值。AIC和BIC是评价模型拟合效果的两个统计量，它们的计算公式如下（参见：Ismail、Jemain,2007）：
AIC=-2l+2p
BIC=-2l+pin(n)
其中p是模型的参数个数，n是观察数据（风险类别）的个数，在本例中n=287。
AIC和BIC的值越小，表示模型的拟合效果越好。
从表2可以看出，四个模型的回归系数比较相近，泊松回归模型的标准差较小，而后两个模型则相对大一些。从模型的估计效果看，泊松回归的拟合效果不理想，其中AIC与BIC统计量较大，这可能是由于耳病发生次数存在过离散特征所致（参见图1）。后三个模型都具有过离散特征，因此拟合效果都有所改进。
表2 不考虑零膨胀效应模型的参数估计值
表3 零膨胀模型的参数估计值
表3是用零膨胀泊松回归、零膨胀负二项回归、零膨胀广义泊松回归和零膨胀泊松—逆高斯回归对上述数据进行拟合时的参数估计值。可以看出，在所有这些零膨胀模型中，零膨胀泊松回归在零点的概率增加最多（φ的估计值最大），说明零膨胀泊松回归比泊松回归有较大改善。对于零膨胀负二项回归而言，其零点的概率增加最小，从调整前后两模型的AIC和BIC统计量也可看出，零膨胀模型对负二项回归的改善效果有限。零膨胀广义泊松回归在零点的概率有较大增加，因此与广义泊松回归相比，零膨胀广义泊松回归模型也有一定改善。与泊松—逆高斯回归模型相比，零膨胀泊松—逆高斯回归模型的改善效果较为明显。总之，当原始数据存在零膨胀特点时，零膨胀回归模型可以改善对数据的拟合效果。
用AIC和BIC统计量综合比较这8个模型对上述数据的拟合效果，可以看出，零膨胀泊松—逆高斯回归模型的拟合效果相对较好。这是因为上述数据一方面在零点有较大的概率，另一方面尾部较长，存在过离散特征，而零膨胀泊松—逆高斯回归模型正好可以满足这一特点，所以对上述数据的拟合效果相对较好。不过，在本例的零膨胀泊松—逆高斯模型中，某些参数不太显著（P值较大），因此还存在进一步优化的可能，但限于本文的目的，故将其略去。