逆向思维受阻的原因、表现及对策，本文主要内容关键词为：对策论文,思维论文,原因论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
逆向思维是发散思维的一种重要形式，它是从已有的习惯思路的反方向去思考和分析问题的，而善于交替运用正向思维和逆向思维两种形式学习数学，则是学生思维成熟的标志.为了促使学生学好数学，成长为具有创新意识、创造能力的人才，数学教师应重视逆向思维的培养和训练. 一、逆向思维受阻的原因 在自己长期教学中，发现学生由于受习惯性思维的影响，形成了思维定势，造成在解题及思考问题的过程中思维受阻，发挥不出自己的潜能，主要有下面几种情况： 从教学形式看，最主要的是教师在数学课的教学中，往往采用“建立定理——证明定理——运用定理”这三部曲或采用“类型+方法”的教学模式，忽视了逆向思维的培养与训练，以致学生不能迅速而准确地由正向思维转向逆向思维. 从思维过程看，由正向思维序列转到逆向思维序列是思维方向的重建，是从一个方面起作用的单向联想转化为从两个方面都起作用的双向联想.这种转化给学生带来了一定的困难，另外，一种思维在其逆向思维过程中并不一定恰好重复原来的途径，所以正向思维的训练并不能代替逆向思维的训练. 从思维能力看，学生的思维从直观、具体的形象思维向抽象的逻辑思维转化需要一个过程，学生在解答数学问题时的思维必然受到传统的教学方法的约束；只具有机械的记忆和被动的模仿，思维往往会固定在教师设计的框框之内的定势中，逆向考虑问题的思维并不顺畅. 二、逆向思维受阻的具体表现 1.缺乏显而易见的逆向联想 由于学生在学习过程中，进行较多的是由此及彼的单向训练，而忽视了逆向联想，这就造成了知识结构上的缺陷和思维过程中顽固的单向定势习惯. 比如，证明：两个平行平面中，一个平面内的直线必平行于另一个平面.很多学生无从下手，不知道要怎么表述.其实，逆用定义就可以了.设两个平行平面为α、β，直线m
α.因为α//β，所以α∩β=
（平行平面的定义）.又因为m
α，所以m∩β=
，所以m//β（线面平行的定义）. 再比如，设三角形ABC的一个顶点A（3，-1），角B，角C的平分线方程分别为x=0，y=x，则直线BC的方程是________.很多学生尝试了很多方法，就是没有想到逆用角的平分线性质，其实因为y=x为角C的平分线，则A点关于直线y=x的对称点A1（-1，3）一定落在直线BC上.因为x=0为角B的平分线，则A点关于直线x=0的对称点A2（-3，-1）一定落在直线BC上.由两点求出BC所在直线为：2x-y+5=0. 2.混淆定义、定理的正逆关系 对于运用正逆关系的数学命题，学生经常混淆题设与结论的顺序.比如，勾股定理的逆定理的运用，“在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么△ABC是直角三角形吗？请说明理由.”学生认为运用的是勾股定理，理由是“因为
，所以
，所以△ABC是直角三角形.”其实有“
”，已经是直角三角形了，还要“
”干什么呢？ 3.忽视正逆转化的限制条件 比如，函数
是指数函数，则有a=________.由指数函数定义知
-3a+3=1同时a＞0且a≠1，所以a=2.本题容易忽视指数函数y=
的限制条件a＞0且a≠1. 再比如，已知函数f（x）=
（
+ax-a）的值域为R，求实数a的取值范围. 这是一道大部分学生都容易解错的问题，即因为值域为R，所以
+ax-a必须能取到一切正数，故有Δ=
-4（-a）＜0
-4＜a＜0.对不对？其实只要取一些特殊值就可以知道，如当a=-2时，
+ax-a≥1,f（x）≥0，此时fx）的值域不是R那应该要满足什么条件呢？满足Δ≥0时，即a≤-4或a≥0时,fx）值域才能保证取到一切实数.但有学生会说，Δ≥0不是使
+ax-a取到非正数吗？没有意义啊！其实，取到非正数的x我们不要，这可以由x的范围来限制.例如，取a=-4，则f（x）=
，定义域x≠2就可保证f（x）值域为R了！如果这样仍不能理解，我们还可以用方程的观点来解：原函数的值域为R，就是指关于x的方程f（x）=
（
+ax-a）=y对任意实数y都有实数解.
4.缺乏逆向变形的能力 比如，若关于x的不等式｜x+2｜+｜x-1｜＜a的解集是φ，则a的取值范围是—. 不少学生不会转化，关于x的不等式｜x+2｜+｜x-1｜＜a的解集是φ，也就是关于x的不等式｜x+2｜+｜x-1｜≥a的解集是R，所以只要求出｜x+2｜+｜x-1｜的最小值为3，即可知a≤3. 也有学生通过绝对值的几何意义知｜x+2｜+｜x-1｜表示的是数轴上的点x到-2与1的距离之和，其最小值等于3，但后面就不知道怎么做了.其实，当a＞3时，解集不是φ，故解集是φ时，则a≤3.这里，补集法起了很大作用. 5.逆向推理的意识不够 原命题与它的逆否命题是等价命题.不会转化也是思维受阻的一个原因.比如，命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x+y≠5，则（ ） A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 正面推导无疑是困难的，用其逆否命题推导，可见天日：“甲
乙”，即“x≠2或y≠3
x+y≠5”，其逆否命题为：“x+y=5”
“x=2且y=3”显然不正确.同理，可判断命题“乙
甲”为真命题.所以选B.原命题转化为与之等价的逆否命题，是逆向思维的灵活运用. 6.不会进行主客的转化 在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.
巧妙通过变换未知量进而构造出函数成为解题的关键，此题易忽略x≠-2这个限制条件. 比如，若不等式
+px＞4x+p-3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围. 把x当主元，既繁且易出错.反客为主，把p当主元，利用一次函数的性质，问题就变得简单. 因为
+px＞4x+p-3，所以（x-1）p+
-4x+3＞0. 令g（p）=（x-1）p+
-4x+3，则要使它对0≤p≤4均有g（p）＞0，只要有
三、提高逆向思维能力的对策 实践证明，在教学中，关注学生的逆向思维的训练，不仅能培养思维的灵活性、敏捷性、深刻性和双向性，而且还能克服由单向思维定势造成解题方法的刻板和僵化，以及不善于在新条件下独立发现新方法、新结论等不足之处.提高逆向思维能力，需要教师在教学过程中的渗透和培养，下面几点尤其重要. 1.定义教学中加强逆向思维的训练 作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的.因此，学习一个新概念，如果注意从逆向提问，学生不仅对概念辨析得更清楚，理解得更透彻，而且能够培养学生养成双向考虑问题的良好习惯.比如，在几何的教学中，对每一个定义，都要引导学生分清其正逆方向的关系，对今后推理论证的教学很有裨益.值得注意的是教师在平时教学中，经常强调一个定理的逆命题不一定成立，在讲定义时，如不强调它一定具有可逆性，将会引起学生对定义的逆用产生怀疑. 2.公式教学中加强逆向思维的训练 数学中的公式总是双向的，可很多学生只会从左到右顺用公式，对于逆用，尤其是利用变形的公式更不习惯.事实上，若能够灵活地逆用公式，在解题时就能得心应手，左右逢源.在此应特别注意两点：第一，强调公式的顺用和逆用，“聚合”和“展开”.第二，逆用公式是求代数式的值、化简、计算的常用手段.
又因为0°＜2α＜90°所以0°＜α＜45°，则cosα＞sinα所以原式=cosα-sinα. 以上两例是对数运算律及三角公式的逆用. 3.运算法则、性质教学中加强逆向思维的训练 数学中的很多运算都有一个与它相反的运算作为逆运算，如：加法和减法、乘法和除法、乘方和开方、指数和对数都是互为逆运算，彼此依存，共同反映某种变化中的数量关系.而且在同一级运算中，可以互相转化，如利用相反数的概念减法可以转化为加法，利用倒数的概念除法可以转化为乘法.
4.定理教学中加强逆向思维的训练 高中数学中每个定理都有它的逆命题，但逆命题不一定成立，经过证明后成立即为逆定理.逆命题是寻找新定理的重要途径.比如，在立体几何中，许多的性质与判定都有逆定理.如：三垂线定理及其逆定理的应用，直线与平面平行的性质与判定，平面与平面平行的性质与判定，直线与直线平行、垂直的性质与判定等.注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学应用对开阔学生思维视野，活跃思维是非常有益的. 5.加强举反例训练，培养逆向思维 用命题形式给出的一个数学问题，要判断它是错误的，只要举出一个满足命题的条件，但结论不成立的例子，就足以否定这个命题，这样的例子就是通常意义下的反例.学会构造反例不仅对加深记忆，深入理解定义、定理或公式等起着重要的作用，同时它也是纠正错误的常用方法，是培养逆向思维能力的重要手段. 6.解题教学中加强逆向思维的训练 顺推不行就考虑逆推；直接解决不了就考虑间接解决；从正面入手解决不了就考虑从问题的反面入手；探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性；用一种命题无法解决就考虑转换成另一种等价的命题等.总之，正确而又巧妙地运用逆向转换的思维方法解数学题，常常能使人茅塞顿开，突破思维的定势，使思维进入新的境界，这就是逆向思维的主要形式. （1）逆用图象 （2012年莆田市质检题）下页图是定义在[-4，6]上的函数f（x）的图象，若f（-2）=1，则不等式f（-
+1）＜1的解集是________.
发现-
+1≤1，以及由图象得出我们要的信息是解题的关键. （2）反证法 反证法是一种假设结论的反面成立，在已知条件和“否定结论”这个新条件下，通过推理得出与题设、公理、定理矛盾的结论，从而断定假设不成立，原命题的结论一定正确的证明方法.很多直接证明很困难的题目，用反证法可以起到很好的效果.通过数学方法的训练，能使学生明白解答一个问题用一种方法不行，要转化思想，也可以反过来思考，从而增强逆向思维能力，提高思维的灵活性. 如，（2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学三校联合自主招生考试试题，数学部分，仅理科做）存不存在0＜x＜
，使得sinx，cosx，tanx，cotx为等差数列.
（3）分析法（执果索因法） 分析法是一种执果索因的逆向思维方法，其推理方向是由结论到题设，论证中步步寻求使其成立的充分条件，如此逐步归结到已知或已成立的事实，命题便获证.该方法分析问题时要求学生养成“要证什么，需证什么”的思维方向，用它可以缩短已知和未知间的距离，便于寻找解题的途径. （4）“正”难则“反”，利用补集法 在解答数学题目时，有时采用正向思维方法比较麻烦，此时可换一种思维方式，运用逆向思维方法使问题简化. 如，甲乙两人各进行一次射击，击中目标的概率分别是0.8和0.7，求至少一人击中目标的概率.解答此题若用正向思维方法来解，要求出“甲击中目标而乙未击中目标”、“甲未击中目标而乙击中目标”、“甲击中目标并且乙也击中目标”三种情况的概率再相加.若用逆向思考方法，先求出它的对立事件的概率再来解就要简单得多. 还有，如反客为主法、添元（引入参数）法、颠倒次序法等等都是培养逆向思维的方法.另外，在教学中要充分注意类比、引申、拓广、举反例等多种思维方法的培养，使之形成习惯；还要提倡变式教学，“模式化+变式”是逆向思维训练的高效率的形式之一.适当时候——比如高三复习的时候，对逆向思维的类型、方法等做个专题探讨，也很有必要. 总之，培养学生的思维能力是数学教学中落实素质教育的关键，也是数学素质教育的核心，而逆向思维能力的培养是核心要素的重要方面.教师自身要充分认识逆向思维在教学中的作用，经常注意培养学生的逆向思维，这对提高他们分析问题、解决问题的能力，养成良好的思维习惯，优化思维品质，提高创新能力，无疑是有好处的.
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