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摘要：倒立摆系统是一个非常重要的控制系统，通过对它的深入研究，能够解决控制中的理论问题，并可以有效的将控制理论涉及到的力学、数学和电学等三种基础学科结合在一起，使其更好的应用于现实生活中。
本文在研究基于Lyapunov稳定性定理和对数函数实现旋转倒立摆的稳定控制时，选取了较为普通函数更精准的对数Lyapunov函数。基于对数函数，使用Lyapunov方法设计控制器；通过数值实验验证控制律的有效性，并且分析控制参数对控制效果的影响。仿真后验证对Lyapunov稳定性理论设计的控制率看能不能对倒立摆的稳定性控制进行实现，并与李雅普诺夫二次型函数设计的控制律去对比。
关键词：倒立摆；Lyapunov稳定性；控制器
1 研究的主要内容
对旋转倒立摆进行建模后，再基于对数函数，使用Lyapunov方法设计控制器，然后通过数值实验验证控制律的有效性，并且分析控制参数对控制效果的影响。运用对数李雅普诺夫函数对控制律的设计，并且与二次型函数进行对比，比较哪个的精度更高一些。
1.1 研究方案
1)构造李雅普诺夫函数
2)设计控制律
李雅普诺夫函数的选取定为二次型函数，设计控制律时应使函数的一阶导数小于等于零，设计控制律可以使李雅普诺夫在目标位置为零。
3)利用编辑建模及仿真
通过设计的控制律，应该选择精确的参数，确定初始条件，通过微分方程数值算法或MATLAB中Simulink软件进行仿真，来验证基于Lyapunov稳定性理论设计的控制律能否实现倒立摆的稳定性控制，并与基于二次型李雅普诺夫函数设计的控制律进行对比。
在本课题的研究过程中，选择李雅普诺夫函数为对数函数，相对于一般的二次型李雅普诺夫函数，对数函数的精度更高一些。运用编程建模，验证控制律的有效性，以达到旋转倒立摆的稳定控制。
倒立摆是一种复杂的控制系统，李雅普诺夫稳定性理论适用于线性和非线性系统，具有实现倒立摆稳定控制的潜在可能。基于一个对数形式的Lyapunov函数设计倒立摆稳定控制的控制律，通过计算过程，可以知道相对二次型函数复杂一些，两者再进行对比，比较一下哪个函数的精度更高一些。
2 旋转倒立摆的基本原理
2.1 系统状态的运动及平衡状态
本实验选择的参数列如下表所示:
将表3.1中的参数代入(3.1.1)和(3.1.2)(3.1.4)中，可得
3.2 设计状态反馈控制器
由于系统是渐近稳定的，输入正是系统状态变量的线性组合，也就是状态反馈。状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为被控系统的控制输入。根据图3.4中的被控系统，可以得出状态空间表达式为:
=Ax+Bu (3.2.1) y=Cx+Du
把状态反馈控制律u=r−Kx代入空间表达式里面，状态反馈闭环系统的状态空间表达式可以被求出来，是:
=(A−BK)x+Br (3.2.2)y=(C−DK)x+Dr
图3.3状态反馈结构图图3.4旋转倒立摆示意图
经过状态反馈，系数矩阵B和C没有变化，A矩阵出现了改变，变成了A−BK, 但是通过K的选取可以随意的改变闭环系统的特征值，所以可以利用渐近稳定来进行判定，根据可以根据需求选取A矩阵和K值，得出状态反馈矩阵，就可以得到希望动态性能。
3.3 极点配置
系统极点在根平面上左右的分布决定了系统性能，选取反馈矩阵，把极点配置在希望的地方，可以得到期望的性能。u=r−Kx能使其闭环极点任意配置的充要条件使系统完全可控。该定理的证明过程提供了已知期望配置的极点，K的求取方法：
1.计算能控性判别矩阵Uc=[B AB…An−1B]及其逆UC-1。
2. 若期望的闭环极点为λ1，λ2，…λn，可求得闭环特征方程为:
f(s)=(s−λ1)(s−λ2)…(s−λn)=sn+a1sn−1+…+an(e)(3.3.1)
3. 求得:f(A)=An+a1An−1+…+anI (3.3.2)
4. K为 K=[0…0 1]Uc−1f(A) (3.3.3)
按照上面极点配置提供的方法求取K，步骤如下：
4)根据以上几个方程，可得：K=[−0.0307 4.7360 −0.6264 0.4086]
通过状态反馈使得系统由可控的、不稳定、多个平衡点的系统变成稳定、可控且单个平衡点的系统。对于状态反馈系统，使用李雅普诺夫方法设计稳定平衡的控制律。
3.4 对数李雅普诺夫函数的控制律及函数值精度对比
3.4.1对数函数表达式
3.6 利用编程建模及仿真
根据设计的控制律，选择合适的参数，确定初始条件，通过数值实验（微分方程数值算法或MATLAB中Simulink软件）进行仿真。直观展现控制效果，并指导参数的调节，验证基于Lyapunov稳定性理论设计的控制律能否实现倒立摆的稳定性控制。
在此使用四阶标准龙格-库塔法将设计的控制律施加于系统，观测控制效果。
实验结果如图：
通过仿真结果，可以清楚的看到李雅普诺夫函数最终是趋于零的，因此系统是渐近稳定且收敛的，最终趋于零，说明在控制律作用下，旋转倒立摆实现了稳定控制。在参数一致的情况下，选取对数李雅普诺夫函数比二次型函数达到稳定的速度快。
综上所有的结果表明：李雅普诺夫方法可以实现稳定，选取数值精度高，收敛速度快。选取对数李雅普诺夫函数比二次型函数有优势。
4 总结
参考文献
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[6]程福雁，钟国民，李友善。倒置系统得发展及前景。无线电工程，1994，24(2)：51-55
论文作者:闫绍帅
论文发表刊物:《电力设备》2018年第4期
论文发表时间:2018/6/21
标签：函数论文; 对数论文; 系统论文; 诺夫论文; 状态论文; 反馈论文; 稳定论文; 《电力设备》2018年第4期论文;