新课标下数学解题教学的几点思考，本文主要内容关键词为：新课标论文,几点思考论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
江苏实施新课程标准已经三年了，和以往的教学大纲相比，新课程更关注人的发展，关注学生的情感、态度、价值观，立足于“课程体系要遵循学生的认知发展规律”。如何更有效地组织高中数学解题教学，是新课标下数学教学研究中的一个重要课题。现结合笔者的教学实践作点探讨，以期和同行们切磋交流。
一、突出数学思想方法的提炼
布鲁纳认为：“掌握数学思想和方法可使得数学更容易理解和更容易记忆，更重要的是，领会基本思想和方法是通向迁移大道的‘光明之路’”。因此，在解题过程中教师应有目标、有计划地引导学生体会、提炼其中隐含的数学思想、方法，使学生在接受知识的同时，受到数学思想方法的熏陶和启迪，这样，才能把提高学生的能力落到实处。
笔者在高三复习中，选用了这样一道例题：
老师引导学生评价：解法2、解法3与解法1相比更为简捷、漂亮，其原因是分别巧妙地用到函数的思想、数形结合的思想。
然后教师提问，本题还有没有其他解法？
教师启发：以上三种解法都得益于引进了未知数，如果引进两个未知数，情况又会怎样呢？
若设u=cosx+a,v=sinx，问题将怎样转化，请同学们课后去探索。
由于突出了数学思想方法的提炼，引起了学生对数学思想、方法的重视和兴趣，体会到数学思想方法的价值。在解决问题的过程中，进一步理解了数学思想方法的特征、适用的条件，加深了对问题实质的理解，提高了学生应用数学思想方法解决问题的自觉性和积极性。
二、充分暴露解法的探索过程
德国教育家第斯多惠曾经说过：“一个好的教师应该教人去发现真理。”这就是说，教师讲题始终要坚持分析地讲，要充分暴露解题途径的寻找过程，“为什么要这样做”比“这样做”更重要。而有的教师常常忽视这一点，解题时总是演示“成功”，思路、方法一想就很正确、很巧妙，从不展示“失败”，展示在思路和方法碰壁时怎么办，如何从有限次失败后得到正确的思路和方法。其结果只能是教师讲得精彩，学生听得轻松，但碰到条件稍加变化的问题便束手无策，日积月累，学生就不会独立地思维和克服困难，当然也不会有独立的解题能力。
因此，在寻求解题思路时，要让学生逐步学会怎样分析，怎样判断，怎样推理，怎样选择方法，怎样解决问题，注意展现：(1)解题的思维过程，使学生的思维与教师的思维产生共鸣，使教师的思维为学生的思维过渡到科学的思维架起桥梁，变传授过程为发现过程；(2)尝试探索发现的过程，把失败的过程和失败到成功的过程暴露出来，从反思中使学生看到转变思维的方向、方式、方法和策略，缩小探索范围，尽快获得发现的成功，这在发展思维能力上无疑是一种很好的体验和进步。
例2 求证：正四棱锥底面上任意一点到侧面的距离之和为定值。
分析 试作出点P到四侧面的距离，但是毫无进展。因P点的任意性，P到各侧面的距离无法确定，在位置关系上无规律可寻（失败）。
即使勉强作出，但每一个距离的长度均无从计算，无法将它和棱锥底面的边长、侧棱长、斜高等已有的定值联系起来（又一次失败）。
此时，师生在共同沉思中提出问题：能否不作出距离，而在“到面的距离”与“和”上寻求突破呢？
若学生仍无法解决问题，可进一步启发学生，若将原命题降维思考，你能得到什么命题？如何证明？能否从解法中获得启示呢？
至此，学生容易走上“成功”之路，点P和棱锥各顶点的连线把原棱锥分成以P为顶点，以各侧面为底面的四个小三棱锥，且这些棱锥的高分别是点P到各侧面的距离。又因正四棱锥各侧面的面积相等，记为S，利用等体积法，易得
（定值）。
由于充分暴露了方法的探寻过程，使学生真正懂得了“在碰壁后，就得想法绕开这堵墙”这样一个更普遍的规律。
三、尊重学生的思维选择
教学活动遵循内在规律，只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）认识之后，这外在的东西才会被主体真正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并完成。因此，解题教学中，教师必须让学生真正参与数学的解题过程，及时地根据学生的信息反馈对解题过程作出正确调控，尽量沿着学生的思维轨道对思维展开作出调控。特别是当学生的思路与教师原先的设想有差距，但对深入地理解问题又具有一定价值时，教师要因势利导，想学生所想，急学生所急，帮助学生分析思路受阻的原因，教会学生寻求出路的方法，引导学生分析方法的优劣。只有这样，才能使不同层次的学生的解题能力得以提高。
笔者曾听了一堂数学习题课，执教者讲授了如下例题：
从课后调查的情况看，全班约有33%的同学完成了该题，大多数学生由于方法欠灵活，应变能力差，导致了解题的半途而废。遗憾的是，教者只对其中最简捷的方法1进行了评析。笔者认为，作为教师，必须重点帮助思路受阻的同学分析受挫的原因，完善他们的想法，引导他们把路走完。要让基础不同、思路各异的学生各有所得，然后再进行比较。只有这样，才能使大多数学生建立起解题的信心，克服解题的恐惧感，体会成功的喜悦和树立战胜挫折的勇气。
现简要地剖析如下：各种思路都是从消除分母中角的差异入手，这是解三角题的常规思路，但思路2运用半角公式后，出现了根号，导致了运算无法继续进行，思路失败。思路3利用二倍角公式后，出现了常数“1”，由于思维狭隘，没有想到“1”的代换。思路4虽然想到1的代换，但由于公式选择不当，使得分母次数升高，求值式变得更加复杂，导致了思路受阻。由思路3和思路4不难看出，我们试图将“1”代换，除利用
之外，有无其他代换方法。学生稍作思考，不难得出，可利用sin90°=1进行代换，进而再利用和差化积公式便易迅速求解。有无其他的方法？在教师的点拨下，学生便能迅速针对分母中系数“2”的特点，采用下列解法：
接着再加以比较，学生才能真正地体会出寻求角的统一不能生搬硬套公式，必须充分挖掘已知角与已知角之间、已知角与特殊角之间的关系，灵活地选用三角公式，才能找到解题的关键。
四、正确处理好通法与巧法的关系
所谓通法，就是在解决问题（通常是某类问题）中具有普遍意义的方法。这种方法通常是以基础知识为依据，以基本方法为技能，它的解法思想合乎一般的思维规律，其具体操作过程必须为全体学生所掌握。
巧法，着眼于提高。巧法的灵魂在于“巧”，即在于它整体地把握问题，灵活地运用双基，巧妙地使用条件，是抽象、概括、发散、合情推理的产物。当然，作为教师必须认识到，巧法中的“关键一着”有不少不属于学习内容的主体，更有不少是一般学生不易掌握的，加之“巧”便意味着运用面相对过窄，影响面小，所以教学中教师必须立足通法，兼顾巧法。
在解无理不等式的教学中，由于数形结合法有时在解某些问题时会十分简便，常使一些教师过分注重了这一方法的传授，学生在感到新奇之余，会对作图解题发生兴趣，但同时也会对基本的运算产生厌烦，从而偏废了去根号这一基本方法的渗透。当
的图象不易作出时，在解形如
不等式的过程中，学生常常会因数形结合法的失效，运算基本功又未得到应有的训练，而发生各种解题错误。因此，教学中必须引导学生从基本思想方法出发，加强对基本思想方法的启迪和训练，在基本方法已熟练掌握的基础上，再从常规过渡到特技，才能促使学生思维进一步深化。
五、重视对典型错误的辨析
新课改强调，教师在教学中应遵循以下三方面的要求：(1)应当研究学生所犯的错误，并把错误看成是认识过程和认识学生数学思维规律的手段；(2)在学生检查和改正自己错误的实践中进行练习；(3)教师应当利用学生所犯错误来促进他们加深对数学要素和规律性的理解。
笔者认为，教师有意识地给学生设置解题陷阱，让学生陷进去，把典型错误暴露出来，引导学生积极思考，探究出正确的解题途径，是消除错误、治根治本的有效方法。
教学中我们发现，在解含参数的有关问题时，许多同学在消元时常忽视限制条件的挖掘，为此，在讲圆锥曲线时，笔者曾给学生提出这样一个问题：P为何值时，圆
与抛物线
有公共点？
很多学生是这样解的：
将两方程联立，消去y得
故方程(*)恒有两个不等实根，故无论P为何值，两曲线恒有公共点。
以上解法似乎理由充足，然而错了！学生已陷入预先设置的陷阱，误以为方程(*)有实解等价于联立方程组有实数解。
为了激发学生的求知欲望，笔者没有直接去讲以上错因，而是把问题转化为几何直观：倘若p→+∞，此时圆的半径不变，圆心将沿x轴正向移向无穷远，同时抛物线的开口越来越大，圆和抛物线必将没有公共点。
显而易见，以上代数解法与几何直观的结论相互矛盾。这是为什么？一石激起千层浪，学生先是感到惊讶，转而进入紧张的思考与积极的讨论，最终找到了矛盾的根源，明确了还要加上条件
，才能保证联立方程组有解，即两曲线有公共点。
教学的理论与实践表明，处理学生的解题错误有很强的艺术性，处理得好，可让学生从错误中悟出新意，感受到探究问题的乐趣，从中学到比原问题更深更广的内容，既增强防止错误的免疫力，又能发展学生的智力。
解题教学是一门科学，也是一门艺术。“解题活动是学生在数学学习中最具有独立性的创造性活动，它对发展学生的思维，培养学生的能力，促进学生良好品质结构方面具有重大的作用。”