基于时间窗的车辆路径优化问题研究论文

基于时间窗的车辆路径优化问题研究

胡 虹，陈京荣，马军娟，孙 森

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

摘 要： 物流配送车辆路径优化作为涉及多个影响因素和多目标要求的组合优化问题，其中具有时间窗约束的物流配送车辆路径问题是一个NP难问题。文章给出了基于时间窗约束的车辆配送路径优化模型，改进了传统的C-W节约算法，并与传统的C-W节约算法进行实例比较验证，讨论了各种方案的优劣，给出了切合实际需要的配送方案。

关键词： 车辆路径；时间窗约束；改进的C-W节约算法；城市配送

物流配送车辆路径问题( VRP)最早是由Dantzing和Ramser于1959年首次提出的^[1]，是近年来各学者研究的重点其定义可以描述为:已知有一批客户，每个客户点的位置坐标和货物需求已知，供应商具有若干可供派送的车辆，车辆的负载能力给定，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的配色任务后再回到起点。要求以尽可能少的车辆数、尽可能少的车辆总行程(车辆折旧最少、费用最少、耗费时间最少、人力资源最少等)。来完成货物的配送任务。

带有时间窗的车辆路径问题(VRPTW)是在(VRP)的基础上加入了顾客访问时间窗口约束，这一约束使得问题的描述更贴近物流配送的现实情况。近年来，VRPTW的研究越来越受到人们的重视，邰晓红^[2]等加入了客户对时间的约束，提出改进的C-W节约算法；曲倩倩^[3]综合考虑了路网中的交通状况，提出的改进的车辆调度模型并采用自适应策略调整交叉和变异概率设计出混合遗传算法，避免早熟收敛。H0 SC^[4]基于以往的车辆配送路径问题，文章研究的一般VRP的一个变体，具有时间窗和分段交货VRPTW，提出一种改进禁忌搜索算法，并对100个客户进行验证；Govindan^[5]等提出了一个具有两个梯队的多目标可持续易腐食品供应链的混合方法，实现了带有时间窗的双层选址路径的目标；Maria等^[6]考虑了司机安全的规定及确定每个车辆访问的客户的顺序以及包括规划每个客户的休息时段和服务时间的调度。提出了嵌入禁忌搜索启发式的不同调度算法并在改进的Solomon实例上进行了验证；Li等^[7]和周虹等^[8]基于智能水滴的原理，设计了一种快速高效的智能水滴算法来解决VRPTW问题。通过仿真结果表明智能水滴算法可以高概率地找到VRPTW的全局最优解;同时有Batoul M等^[9]提出了一个具有稳定性、脆弱性和后进先出等附加实际约束的车辆路径和三维载荷综合问题,然后采用基于极值点的启发式方法，实现了快速的列生成,从加载和其他约束条件的角度验证了所获得路径的可行性；Masson等^[10]为拥挤的城市核心区的商品设计一个创新的配送系统,该系统要求在公共汽车站将货物从公共汽车转运到城市货运站。我们将相应的优化问题建模为带转移的取送问题的一个变量，并用自适应大邻域搜索来解决；Khalili-Damghani等^[11]建立了一个新的多周期交叉对接模型，其中包括多个产品、到期日、可变卡车容量和临时仓库。同时设计了一种基于遗传算法的进化计算方法；张真^[12]针对物流配送中末端配送成本高、配送时效差、满意度低等问题，分析现有末端配送模式的优点和局限性,建立起物流末端共同配送体系，从而规范配送节点体系、改善城市交通,缓解末端物流配送成本高、效率低的问题。邓红星等^[13]针对公路零担物流企业末端配送货源的不确定性和广泛性激、单位运输成本较高等特点，建立相应的配送路径优化的模型。并将JOPT(配送路径优化和移动资源调度算法包)作为优化具体配送路径的手段，进行仿真流程设计、优化参数设定，并进行仿真求解，获得最优的配送路径。朱晓兰^[14]等在配送领域路线优化的C-W节约算法中插入车辆载重量和容积的两个约束条件，以满足采购物流的特殊要求。并通过一个实例验证了修正的C-W节约算法的适用性，得到了较好的结果。

基于以上的分析，提出了满足多目标约束条件下带时间窗的派车问题,根据约束条件构建了相应的模型，并通过改进的C-W节约算法进行求解，最后利用具体实例验证求解。总之，解决带有时间窗约束的车辆路径问题，一方面可以提高物流配送工作效率，另一方面也能够为即时生产模式的企业提供运输保障，实现物流管理的科学化。

1基于时间窗车辆路径问题的模型

物流配送车辆优化调度问题称为Vehicle Routing Problem(简称VRP)。该问题定义为：对一些给定客户，选择合适的车辆配送路线，让其从物流配送企业出发，按照一定的顺序依次通过这些客户，最终回到配送企业，根据具体问题需要满足一定的约束条件，实现目标(如路径最短、总花费最少等)。在上面的问题中如果再加上客户接受货物时间的约束条件(时间窗约束)则称为是有时间窗约束的车辆优化调度问题，简称VRPTW。

1.3.1 理论考核评价。两组学生期末实行统一时间进行理论考试，全部为选择题，采用100分制，考试内容以理论教学授课内容为依据，其中使用“微课”授课的相关内容共占30分作为保证考核的公平、公正，由同一组专职老师监考，严格按照考核标准进行。

1.1 假设条件

①所有车辆均从一个配送公司出发；②已知各客户点之间的距离及各点到配送公司的距离;③每个客户的需求量已知;④满足每个客户的需要;⑤车辆只能从配送公司出发，并返回到配送公司;⑥一辆车可以为多个客户送货;⑦每车的最大承载量已知;⑧配送车辆的装载量不大于该车辆的最大容量;⑨每个客户只能在适当的时间范围内接受一次收货;客户接受货物的时间范围已知。

1.2 符号说明

A_i——节点集，其中A₀是配送企业，i=1,2，…，n；

c_ij——客户i到客户j的距离；

b_j^k——车辆k对客户j开始送货的时间；

Q——车辆的最大容量；

车辆载重量约束:在连接点i和点j之前,首先需要检验连接后的车辆负重是否超过车辆的最大负载量,如果未超过最大负载量,则可以直接连接,否则,不能连接这两点,并转向其他的连接。用数学表达式来表述,即:设路线0→…→i→0的运载量为G_i,路线0→…→j→0的运载量为G_j,当G_i+G_j≤q时,连接点i和点j形成路线0→…→i→j→…→0。G_i和G_j可以通过累加路径上每个客户点的需求可得到。

LT_i——客户i最晚接收货物的时间；

UT_i——客户i的卸货时间；

RT_i——车辆到达客户i的时间，ET_i≤RT_i≤LT_i；

t_ij——车辆从客户i到客户j的时间；

我们在语料的收集过程中发现，很多人体词并不经常为人们使用，它们更多地出现在科技或医学领域，符合基本等级范畴的人体词并不多。通过查询《英汉大词典》、《牛津高阶英汉双解词典》及《朗文当代高级英语辞典》中的英语人体词，以及《现代汉语词典》中的汉语人体词，我们也发现，人们较常使用的基本人体词有五十多个，但有些人体词虽较为常用，却无隐喻意义，故该文不做探讨。

T——车辆在整个运输过程中耽搁时间；

V——所有车辆；

如果车辆k从客户i到客户j且i≠j，则值为1，否则为0；

d_i——客户i的需求量；

表示司机人数,L表示运输总里程；

从10月22日首次提出至11月12日完成备案，历时仅21天。从11月2日首只证券行业支持民营企业发展资产管理计划正式完成备案到11月12日，仅用了7个工作日。

R_i——表示各客户点需求量，(i=1,2，…，n)。

r_i——表示每辆车的载货量；

1.3 模型建立

目标函数：

配送距离：

改进后的C-W节约算法可表示如下:

约束条件：

∑_(k∈V)∑_(i∈N)x_ij^k=1 ∀j∈N\ {0}

(1)

∑_(k∈V)∑_(j∈N)x_ij^k=1 ∀i∈N\ {0}

(2)

∑_(i∈N)d_i∑_j∈Nx_ij^k≤Q ∀k∈V

(3)

∑_(i∈N)x_ih^k∑_(j∈N)x_ih^k=0 ∀h∈N\ {0},k∈V

(4)

∑_j∈N[0]x_0j^k=1 ∀k∈V

(5)

∑_i∈N[0]x_i0^k=1 ∀k∈V

(6)

x_ij^k(b_i^k+t_ij)≤b_j^k∀i∈N,∀j∈N,∀k∈V

(7)

e_i≤b_i^k≤I_i∀i∈N,∀k∈V

试验品种返青、始蘖期无明显差异。抽穗最早的是垦稻19和垦稻27，为7月24日，比空育131（ck）早4天，垦稻17最晚，为8月2日，比对照晚5天，其他品种在7月24日至7月29日陆续抽穗。成熟期最早的是垦稻19和垦稻27，为9月6日，比对照早2天，垦稻17成熟期为9月14日，比对照晚5天。

(8)

x_ij∈{0} ∀i∈N,∀j∈N,∀k∈V

(9)

目标函数：首先，以配送距离最短为目标，其次以配送时间最短为目标。约束条件(1)式表示车辆k来自客户i, 客户j只能接收来自客户i货物一次,并且客户j不能是配送企业；(2)式表示车辆k只能从客户i前往客户j，并且客户i不能被当做配送企业；(3)式表示配送货物的总量不能超过车辆的最大载重量；(4)式表示每个客户点不能被当做起点和终点；(5)式表示车辆只能从配送企业发出，并且客户点不能作为配送起点；(6)式表示车辆完成任务后需返回到配送企业；(7)式表示最迟到达客户j的车辆时间应在约束时间范围中；(8)式表示配送车辆时间窗约束函数；(9)式表示x_ij^k的值为0或1。

推荐理由:本书为著名儿童文学作家金波先生近60年经典儿童诗歌的精选集，共3册，收录其中的诗歌皆由金波先生亲自挑选，同时也是时间筛选出的佳作，首首经典，传诵广泛，深受广大读者喜爱。作品时间跨度久，取材广泛，从大自然到现实生活，涵盖儿童世界的方方面面。诗歌的形式韵律优美，笔触清新自然，内容充满童趣和想象力，为小读者展现一片纯净至美的天地。

2解决车辆路径问题的 C-W节约算法

2.1 传统C-W节约算法原理^[15]

利用传统的C-W节约算法,其基本思想可由图1表示。首先，将每个客户点直接与配送中心相连,形成n条初始路线,然后计算任意两点i和j的节约值:s(i,j)=C_i0+C_0j-C_ji。s(i,j)越大,表示将i,j两点连接后成本节省的越多。将s(i,j)按照从大到小排序后,首先选择使得s(i,j)最大的两个点i和j,然后按照s(i,j)从大到小的顺序依次连接点,使得总距离最小。如果在连接过程中出现了此条路径运输的货物总量超过车辆的最大载重量,或配送时间不在客户接受的时间范围内，则结束该路线的连接，开始其他路径的连接。

图 1 C-W节约算法原理

2.2 改进C-W节约算法原理

ET_i——客户i最开始接收货物的时间；

时间窗约束:时间窗约束主要考虑由于点i与点j连接而引起的车辆到达点j及点j后每点的时间变化,方便我们对时间的计算:在这里我们令DF_j表示连接点i和点j后车辆到达点j之后的时间变化量,则:DF_j=RT_i+UT_i+t_ij-RT_j。当DF_j<0时,表示车辆到达客户点j的时间提前;当DF_j=0时，车辆正点到达客户点j;当DF_j>0,车辆晚点到达客户点j。令r表示同一线路中点j及以后各个点,Δj^-表示车辆到达点j及后面各点满足时间窗时间的最大时间提前量,Δj⁺表示车辆到达j及后面各个点不违反时间约束的最大时间推迟量,则有:Δj^-=min{RT_r-DT_i},Δj⁺=min{LT_r-RT_r}。

配送时间：min∑_(k∈V)(t_ij+UT_i)+T

Step1.计算s(i,j),令M={s(i,j)|s(i,j)>0,i,j=1,2,…,n},并将M中的元素依次排序。

将节约里程数作为目标构造回路，方法如下：

Step2.选取集合M中的第一个元素s(i,j),验证点i和点j,是否满足下列条件之一:

①点i和j均处在初始化线路中;②点i和j两个点，一个在初始化线路中,另一个在已经完成线路中,并且与配送中心连接；③点i和j均在已形成的线路中,并与配送中心相连接。若上述条件满足,则转向Step3,否则,转向Step6。

根据文章中的模型及案例(由于需求量不超过60箱，因此可以选取6t的配送车辆进行配送)该物流公司对需求较小的客户，具体配送情况如表3所示，配送路径如图2所示。

Step4.当点i点j连接后，计算时间变化量DF_j:

①若EF_j=0,转向Step5;②若EF_j<0,计算,若|EF_j|≤Δj^-,则转向Step5,否则转向Step6;③若EF_j>0,计算,若|EF_j|≤Δj⁺,则转向Step5,否则转向Step6。

Step5.当点i和j连接后，计算此条路径上配送车辆到达的具体时间。

Step6.将集合M中的s(i,j)除去,同时点i和j不能作为线路的始点和收点,所以对集合中的i,s(i,p)(p=1,2,…,n)消去,采用同样的方法消去集合中的元素s(p,j)。之后利用扫描法根据每个客户点的角度值进行排序，从而形成新的配送路径，同时将节约里程顺序表中“无效的项”删除。“无效的项”是指在此条线路中至少满足了一个客户点需求。然后再启用下一辆车进行配送，转Step3。若M=∅,则算法终止,否则转向Step2。

3算例分析

案例：现有一家物流企业，需要计划具体路线给9个客户点送货，综合考虑各客户店的时间限制条件，合理安排配送车辆，同时要求达到运输费用最少的目标，其次要求达到运输时间最短的目标。

据示范观察，该品种属弱冬性中晚熟品种，起身拔节早，两极分化快，抽穗迟，灌浆速度快，成熟落黄好，穗层分布整齐，穗粒数较多，分蘖力强，成穗率相对较高，产量三因素协调。抗逆性强，综合抗病性较好。

997 支架取栓器机械取栓治疗前循环远端血管闭塞的疗效观察 邢鹏飞，李子付，李 强，赵 瑞，方亦斌，赵开军，戴冬伟，杨鹏飞，张永巍，刘建民

另：该企业现有6t车一辆(100km/20L)和10t车两辆(100km/26L)。柴油为7.05/L元，每天支付司机150￥。6t、10t车辆的最大载重分别为60箱货物和100箱货物。

首先，在表1中给出了各个客户点的需求量和客户点之间的距离。

表 1各客户点的需求量及客户点之间距离表(单位： km)

然后，考虑时间条件的限制，根据每个顾客的具体时间约束表，如表2所示，同时将车辆出发时间指定为t₀=0。

表 2各客户点的时间约束

3.1 采用传统的C-W节约算法求解上述算例中的问题

Step3.当点i和j连接后,计算配送车辆的负载量G,如果G≤q,继续下一步,否则,转向Step6。

图 2 C-W节约算法的配送路径

表 3配送信息

上述方案验证了它们都满足时间的限制，即在时间限制范围内，货物按时送达给每个客户。具体计算结果如表4所示。

表 4 C-W节约算法的计算结果

3.2 利用改进的C-W节约算法求解上述算例中的问题

具体计算步骤如下：

职业标准是在职业分类的基础上，根据职业的活动内容，对从业人员工作能力水平的规范性要求。它是从业人员从事职业活动，接受职业教育培训和技能鉴定、开展国际劳务合作交流的主要依据。[1]随着中国企业逐步由劳动力密集型向资金技术密集型转变，我国企业对职业标准将会越来越重视。职业标准对课程体系构建、课程标准制订、教学设计、课程实施等教学活动环节具有重要的导向作用。

Step1.计算s(i,j)，如表5所示。

尽管2018年取得了非常优秀的成绩，但金丰公社并没有放慢前行的脚步，2019年营销年伊始，金丰公社重拳出击，“千人游学会”吹响了农业服务新的集结号。

Step2.s(3,4)=341.9km.r₃+r₄=24+12=36<100,则考虑回路{0-3-4-0},并且运输距离为：L₃+L₃₄+L₄=187.0+17.2+172.1=376<600。而且可以算出到达客户A₃需要的时间是187.0/50=3.74,到达客户A₄需要的时间是：(187.0+17.2)/50=4.08,因此，根据时间约束到达客户的时间在其时间窗约束范围(3,5)和(4,6)内,故可以形成此回路。

表 5 C-W节约里程顺序(单位： km)

Step3.ΔC₄₆=246.5km,货物量是：36+r₆=36+44=80<100,则考虑回路{0-3-4-6-0}。并且运输距离为：L₃+L₃₄+L₄₆+L₆=187.0+17.2+80.9+155.3=440.4<600。此时计算到达客户A₆需要的时间是(187.0+17.2+80.9)/50=5.70,因此，根据时间窗约束到达客户端A₆的时间在其时间约束范围(3,6)内，故可以形成此回路。

Step4.ΔC₆₇=158.3km，可以考虑回路：{0-3-4-6-7-0}，货物量为：运输总里程为:L₃+L₃₄+L₄₆+L₆₇+L₇=187.0+17.2+80.9+83.9+86.9=455.9<600。到达客户A₇需要的时间是:(187.0+17.2+80.9+102.9)/50=7.76。按照客户A₇的时间窗约束范围(4,8),故可以形成回路{0-3-4-6-7-0}。

罗瑞没结婚，他走马灯似地换女朋友，从来没想过要娶谁。他的房间很乱，衣柜里堆满了各类名牌服装，屋里弥漫着一股香水和袜子混杂在一起的怪味，除了他自己没人愿意进来，但是他出门时总能把自己收拾得衣冠楚楚油头粉面，身上散发出一种淡淡的香水味。他换工作也跟换女朋友一样勤，一直靠姑妈养活。

Step5.下面就考虑和客户A₁,A₂,A₅,A₈,A₉有关的ΔC_ij。可以形成回路{0-1-2-5-0}，{0-8-9-0}。

分配路径如图3所示，优化方案如表6所示，计算结果如表7所示。

图 3改进 C-W节约算法配送路线

表 6改进 C-W节约算法优化方案

表 7改进 C-W节约算法计算结果

3.3 优化前后的结果比较

表 8优化前后方案比较

通过表11中数据的对比，运输总距离在优化后减少16.4%，花费时间在优化后减少16.7%，可以清楚的看到，传统C-W节约算法的配送方案即费人力且昂贵，并不可取的，而后面改进C-W节约算法在不同程度上有了节约。

他山之石可以攻玉．通过国际比较研究，可以审视中国代数思维课程内容设置的基本情况，从而为中国基础教育阶段数学课程内容设置趋向“整体性”“连贯性”提供一定参考．

4结束语

文章主要采用改进C-W节约算法来优化配送车辆路径问题，分别利用传统C-W节约算法和改进C-W节约算法对具体实例验证，并对两种不同的方案比较分析可知，改进C-W节约算法中扫描思想可以有效的改善车辆路径交叉情况，因此，降低企业配送成本,并证明了改进C-W节约算法的有效性。

然而，文章的研究也存在一定的局限性：文章计划在节约里程、最短时间、费用最少几个方面进行路径规划，在配送过程中，真正影响成本的因素有很多，如城市中的机动车数量快速增长，从而导致配送过程会出现交通堵塞严重、停车困难等诸多的问题，严重影响了配送效率，从而增加了配送成本；同时，过高的公路收费也增加了配送成本。为降低配送成本，提出了以下建议：①城市交通管理部门可以根据城市中心车辆流量、流向、流时以及城市配送的需求，合理确定城市配送车辆的交通区域和时区，并结合实际情况推进“时间分配”和“夜间配电”。从而缓解城市交通堵塞；②在深入调查研究的基础上，负责停车管理的相关部门应根据配送车辆要求，完善城市配送车辆的停车措施：适当设置配送车辆临时停车位，积极推进分时停车，错时停车，分类停车，尽可能满足更多配送车辆的停车需求。

“易非大人，稍安勿躁，让老臣先替您尝尝，看有没有毒……”话还未说完，他便装作一副毒发身亡的样子，倒在了沙发上。

[参考文献]

[1] Dantzig,G B, Ramser, J H. The truck dispatching problem[J]. Management Science,1959,6(1):80～91.

[2] 邰晓红,李璐.改进节约法下的物流配送路径优化问题[J].辽宁工程技术大学学报(自然科学版)，2016,35(6):667～672.

[3] 曲倩倩,曲仕茹,温凯歌.混合遗传算法求解配送车辆调度问题[J].计算机工程与应用,2008,44(15):205～207.

[4] HO S C, Haugland D. A Tabu Search for the vehicle routing problem with time windows and split deliveries[J].Computers & Operations Research (S0360-0300),2004,31(15):1 947～1 964.

[5] Govindan K, Jafarian A, Khodaverdi R, et al.Two-echelon multiple-vehicle location-routing problem with time windows for optimization of sustainable supply chain network of perishable food[J].International Journal of Production Economics,2014,152(2):9～28.

[6] Marie-Eve R, Jwan-Ean-Francois C, Gibert L. Longhaul vehicle routing and scheduling with working hour rules[J]. Transportation Science,2013,47(1):81～107.

[7] Zhenping Li, Fei zhao, Hongwei liu. Intelligent water drops algorithm for vehicle routing problem with time windows[C].IEEE ICSSSM. Preparation of the 11th International Conference on Service Systems and Service Management. Singapore: IEEE Press, 2014:1～6.

[8] 周虹,张磊,谭阳.旁域更新智能水滴算法软时间窗车辆路径优化[J].计算机工程与用,2015,51(20):253～258.

[9] Atoul M, Anjali A, Satyaveer C. A Column Generation Based Heuristic for the capacitated vehicle routing problem with three-dimensional loading constraints[J].International Journal of Production Research,2015,55(6):1 730～1 747.

[10] Masson R, Trentini A,et al. Optimization of a city logistics transportation system with mixed passengers and goods[J].EURO Journal on Transportation and Logistics,2017,6(1):81～109.

[11] Khalili-Damghani K, Tavana M, Santos-Arteaga F J, et al. A customized genetic algorithm for solving multi-period cross-dock truck scheduling problems[J].Measurement,2017,(108):101～118.

[12] 孙真,张诤.共同配送理论在城市末端物流中的应用研究[J].交通科技与经济,2017,19(5):56～59,64.

[13] 邓红星,王玮琦,王永康.公路零担物流企业末端配送路径优化[J].交通科技与经济,2018,20(4):1～4,18.

[14] 朱晓兰,赵一飞. C-W节约算法在装配企业采购物流中的应用[J].上海交通大学学报,2007，41(9):1 420～1 424.

[15] Clarke G, Wright J. Scheduling vehicles from a central depot to number of delivery points[J].Operations research,1964,12(4):12～18.

中图分类号： TP301.6;U116.2

文献标识码： A

文章编号： 1007—6921(2019)19—0076—04

收稿日期： 2019-06-04

基金项目： 国家自然科学基金资助(61463026；61463027);甘肃省自然科学基金资助(1610RJZA038)。

作者简介： 胡虹(1991-)，女，硕士研究生，研究方向:物流路径优化与设计。

陈京荣(1975-)，女，教授博士，研究方向:网络优化理论与设计。

首先，改进进度管理模式能够促进建筑工程整体质量的提升。在现代建筑工程施工过程中，涉及到的内容十分复杂，加之工程周期较紧，想要在规定的时间内保质保量的完成施工作业，必须做好进度管理工作。因此进度管理作为工程管理的一个方面，其所占的地位越来越重要。工程进度的顺利推进，不仅关系着工程成本，和工程质量也存在紧密联系，因此对进度管理模式进行改进可以为建筑工程整体质量的提升提供一定的推动作用。在具体施工中，建筑工程管理标准和要求若是得不到有效的落实，必然会对工程进度产生一定的影响，甚至威胁到建筑工程的使用寿命。

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