褚丹阳 山东省垦利第一中学 257500
摘 要：近年来全国各地高考数学试题中“含参不等式恒成立问题”的有关试题非常普遍，这类问题把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的各种数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例初步谈谈如何处理高中含参不等式恒成立问题。
关键词：不等式 恒成立 参数范围 判别式 最值 分离常数
一、若所求问题可转化为二次不等式可考虑用以下方式求解：
1.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)＞0（或＜0）在R上恒成立，则有 （或 ）。
2.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)＞0（或＜0）在指定区间上恒成立，可以利用闭区间上的二次函数求最值或利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例1：已知不等式mx2+mx+4＞0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围。
分析：此不等式看上去像二次函数在R上恒成立，但是要注意对二次项系数的讨论。
解析：令f(x)=mx2+mx+4，当m=0时，f(x)=4＞0恒成立；当m≠0时，由题意知 ，即，解得0＜m＜0。
综上所述：m的取值范围为[0,16)。
二、其它函数：
1.转换求函数的最值
（1）若不等式a＜f(x)在区间D上恒成立,则等价于在区间D上的a＜f(x)minf(x)下界大于a。
（2）若不等式b＞f(x)在区间D上恒成立,则等价于在区间D上的b＞f(x)maxf(x)上界小于b。
例2：（07年重庆卷理20）已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x＞0)在x=1处取得极值-3-c，其中a、b为常数。
（1）试确定a、b的值；（2）讨论f(x)函数的单调区间；（3）若对任意x＞0，不等式f(x)≥-2c2恒成立，求c的取值范围。
分析：f(x)≥-2c2恒成立，即f(x)min≥-2c2，要解决此题关键是求f(x)min。
解析:（1）（2）略。（3）由（2）知，f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-3-c，此极小值也是最小值。
要使f(x)≥-2c2(x＞0)恒成立，只需-3-c≥-2c2，即2c2-c-3≥0，从而(2c-3)(c+1)≥0。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆解得c≥ 或c≤-1。
∴c的取值范围为(-∞,-1]∪[ ,+∞)。
2.分离参数法
（1）将参数与变量分离，即化为g(a)≥f(x)〔或g(a)≤f(x)〕恒成立的形式。
（2）求f(x)在x∈D上的最大（或最小）值。
（3）解不等式 g(a)≥f(x)max〔或g(a)≤f(x)min〕，得a的取值范围。
例3：（07年山东卷文15)当x∈(1,2)时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是_____。
解析: 当x∈（1，2）时，由x2＋mx＋4＜0得：m＜- 。令f（x）==x+ ，则易知f（x）在（1,2）上是减函数所以x∈[1,2］时，f（x）max=f（1）=5，则（-）min＞-5，∴m≤-5。
3．转换成函数图象问题
（1）若不等式f(x)＞g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方。
（2）若不等式f(x)＜g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方。
例4：(07安徽理科3)若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是_____。
（A）a<-1 （B）|a|≤1 （C）|a|＜1 （D）a≥1
解析：对x∈R,不等式|x|≥ax恒成立。
则由一次函数性质及图像知-1≤a≤1，即|a|≤1。
4．变“辅元”为“主元”
某些含参不等式恒成立问题，在分离参数时会遇到讨论的麻烦或者即使容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度，即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。
例5：已知函数f（x）= x3- x2+（a+1）x+1，其中a为实数。若不等式f`（x）>x2-x-a+1对任意a∈（0，+∞） 都成立，求实数x的取值范围。
解析：由题设知ax2-3x+（a+1）>x2-x-a+1对a∈(0，+∞)都成立，即a(x2+2)-x2-2x>0对a∈(0，+∞)都成立。
设g（a）=（x2+2）a-x2-2x（a∈R），则g（a）是一个以a为自变量的一次函数。
∵x2+2>0恒成立，则对a∈R，g（a）为R上的单调递增函数。∴对a∈（0，+∞），g（a）>0恒成立的充分必要条件是g（0）≥0，-x2-2x≥0；∴-2≤x≤0，于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}。
由上可见，不等式恒成立的题型和解法还有很多，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决。只有这样，才能真正提高分析问题和解决问题的能力。
论文作者:褚丹阳
论文发表刊物:《教育学文摘》2015年10月总第171期供稿
论文发表时间:2015/11/24
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