四川省简阳市石桥中学 641400
摘 要：通过对一元函数到多元函数基本性质的讨论，分析了从一元函数到多元函数中异同点的原因，归纳出一元函数中命题的正确性在多元函数中能否得以保持的内在结构。多元函数是一元函数的推广,因此它保留着一元函数的许多性质,但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到了n维空间(n≥2),使研究的问题更加复杂化,研究的方法更加多样化。
关键词：一元函数 多元函数 差异 相似 规律
多元函数是一元函数的推广，在研究多元函数时，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。多元函数关于其中一个自变量的变化率，以二元函数z=f(x,y)为例，如果只有自变量x变化，而自变量y固定（即看作常量），这时它就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数z对于x的偏导数，从研究多元函数的思想方法入手,分析了从一元函数到多元函数的研究中出现新问题的原因;并归纳了原来在一元函数中表述概念间关系的命题的正确性在多元函数中能否得以保持的规律。
一元函数与多元函数的积分性质有许多相似，但一元函数与多元函数的广义积分却存在显著的差别，一元函数的收敛性并不蕴含其绝对收敛性；反之对多元函数则不然，多元函数的广义积分的收敛性本身蕴含其绝对收敛性，也就是说多元函数广义积分的收敛性与其绝对收敛性等价。
一、一元函数与多元函数的统一
1.连续性
“连续有极限”的关系在多元函数中成立。在多元函数中，由于连续和有极限这两个概念都是用多元法给出的,这样，一元函数f(x)在点x0处连续的表达式limf(x)=f(x0),可以换成多元函数f(p)在点p0处连续的表达式（点p和点p0是多维空间的点）,limf(p)=f(p0)。从而使f(x)在点 x0处“连续有极限”的关系在多元函数中仍然成立。
2.可微性
“可微可导”的关系，在多元函数中也成立。在多元函数中，由于可微这一概念是用多元法给出的，f(x,y)在点(x0,y0)处可微，既有△z=A?△x+B?△y+o（ρ）（其中ρ= （△x）2+（△y）2）成立，此式中的△x?△y是任意的，其中蕴含了当△x=0时，fy(x0,y0)存在或△y=0时，fx(x0,y0)存在的情况下也成立。显然，可微这一概念囊括了用单一法给出的偏导数概念，所以一元函数中“可微可导”的关系，在多元函数中也成立。
二、一元函数与多元函数的差异
1.连续性
（1）多元函数中“偏导数存在连续”的结论不一定成立。
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（2）多元函数中“连续偏导数存在”不一定成立。
2.可微性
（1）多元函数中“偏导数存在可微”不一定成立。
（2）多元函数中“可微连续”不一定成立。
3.可积性
（1）累次极限是多元函数的特殊内容。累次极限（混合与原函数偏导数、累次积分）是多元函数极限论中与一元函数极限论相比较而言的特殊点，从原则上讲是一个新概念，它在一元函数极限论中是没有的。
（2）分割在重积分中的多样性。在定积分的计算中，分割对象是有限闭区间，分割方式只有一种，即在区间内任意插入有限个分点，分割的任意性只体现在这些分点的自由选择上，但在二重积分的定义中，分割对象是平面上的有界闭区域，分割方式多种多样、千变万化，从理论上讲甚至有无穷多种。如：直角坐标网分割、极坐标网分割，以及任意曲线坐标网分割等，因此给重积分的计算方法和技巧带来多样化。
（3）重积分与定积分的换元。比较重积分与定积分的换元公式f(x)dx=f[φ（t）?φ`（t）dt,x=φ（t）， f(x,y)dδ= f[x(u,v),y(u,v)]||dudv，相似处：dx=φ`(t)dt，dδ=||dδ1`，相异处：定积分换元公式φ`（t）无绝对值，而在二重积分换元公式中||带有绝对值。其原因在于定积分是在有向线段[a,b]上取的，而二重积分是在无向区域D上取的。
（4）“瑕积分收敛定积分或无穷积分收敛”不成立。在广义重积分理论中有：瑕积分 f(x,y)dxdy收敛 |f(x,y)|dxdy收敛，但在一元函数的瑕积分中只有：瑕积分|f(x)|dx收敛f(x)dx收敛成立，而逆命题不成立。无穷积分 |f(x)|dx收敛 f(x)dx收敛成立，而逆命题却不成立。
（5）多元函数与一元函数微积分之间的本质差异。 f(x,y)沿平面曲线LAB上的第一型曲线积分 f(x,y)ds的定义与f(x)在[a,b]上的定积分定义完全类似，几何意义类似，而且还有许多类似的性质。但是： f(x,y)ds= f(x,y)而f(x)dx=-f(x)dx。另一方面， f(x,y)沿平面曲线LAB的第二型曲线积分 f(x,y)dx的定义一般情况下与f(x)在[a,b]上的定积分定义不相同，可是： f(x,y)dx=- f(x,y)dx与f(x)dx=-f(x)dx类似。所以说，它们是多元函数与一元函数微积分之间的本质差异。
若关于多元函数的命题，其题设条件中所涉及的概念是用单一法给出的，而结论中所涉及的概念是用多元法给出的，则这一命题的正确性在多元函数中不再保持。因为在多元函数中，偏导数概念是用单一法给出的，可微、连续、有极限等概念是用多元法给出的，则上述命题的正确性在多元函数中不再保持即“偏导数存在可微”、“偏导数存在连续”、“偏导数存在有极限”不成立。
论文作者:陈正芝
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年10月总第315期
论文发表时间:2019/8/21
标签：函数论文; 积分论文; 导数论文; 自变量论文; 极限论文; 概念论文; 命题论文; 《教育学文摘》2019年10月总第315期论文;