（沈阳师范大学，110000）
摘要：数学解题教学，重在教会学生解题的方法，帮助学生养成良好的解题习惯。本文通过波利亚的“怎样解题表”的解题的四个步骤: 阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思，演绎解决一道圆锥曲线压轴题的具体过程，并给出一些解题教学建议。
关键词：波利亚解题表；解题方法；圆锥曲线
《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出“让学生在现实情境中体验什么是数学”。初中数学教学注重培养学生的问题解决能力。数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务是加强问题解决的训练。”这种“解题”不同于“题海战术”。他认为，问题解决应该作为培养学生数学能力和教他们思考的一种手段，方法。[1]波利亚《怎样解题》中为人们提供了一套系统的解题途径，这有利于人们掌握解题过程的一般规律，也有利于数学教师探索解题教学的一般规律。笔者结合2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题论述“怎样解题表”在数学解题教学中的应用。
一、问题的由来——2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题
案例：已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点(1/3m,m)，延长线段OM与C交与点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
二、寻觅依据——波利亚解题“解题四部曲”
本研究通过圆锥曲线问题来激发学生对数学问题解决的兴趣，转变学生对待数学解题的态度，培养学生的解题思维。为了提高学生解决问题的能力，波利亚把解决数学问题的过程分为四个阶段：阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思。[2]对每个阶段要考虑的问题，思维活动，具体要做什么，有什么建议，都进行了很详细的叙述，多方面地考虑到了学生在解题过程中会面临的问题。
“弄清问题”是我们拿到一道题首先要考虑的问题，理解题目，找出未知量，分析已知条件，找出已知条件与未知量之间的联系，需要的话还可引进相关符号，让学生充分理解题目的含义。
“拟定计划”就是进一步理解已知条件与未知量之间的联系，尽可能找到以前解过并相似的题目。引导学生独自理清解题思路．要给出解决这道题的整体思路。
“实施计划”就是根据前一阶段拟定的方案来执行，并检查每个步骤，将解题过程完整的写出来。
“回顾反思”是指解决完了一道题后，学生应该静下心来回想此题的思路，检查已经得到的解答，并尝试以不同的方法来推导这个结果，回想此题涉及的思想方法以及自己存在的问题，。
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三、解题策略——遵循波利亚“解题四部曲”
第一步，弄清我们需要解决的问题
（1）学生要求解的是什么？
要求解的是当四边形OAPB为平行四边形时l的斜率。
（2）学生已经知道什么？
已知条件有：椭圆方程; 点M为AB的中点; 直线过点(1/3m,m)；直线方程；
未知条件有：直线OM的斜率与直线l的斜率以及四边形OAPB是否为平行四边形。
第二步，拟定计划
（1）思路一：本题主要考察圆锥曲线相关问题，解决此类问题的首要思路就是通过将直线方程与椭圆方程联立，得到一个关x的一元二次方程，再通过韦达定理即根与系数的关系可以表示出AB的中点M的横纵坐标，从而证明直线OM的斜率与l的斜率的乘积的关系。
（2）思路二：本题想验证四边形OAPB能否为平行四边形，我们不妨假设四边形OAPB就是平行四边形，那么就可以利用平行四边形的性质即对角线互相平分即OP=2OM，再结合第一问得到的结论和题中的已知条件就可以计算出直线l的斜率。本题也可以从向量角度，运用平行四边形法则求解。
第三步，实施计划，写出解题过程（此文省略）
第四步，回顾与反思
本题难度适中，主要考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位关系，但仍有很多同学拿不到满分，只是每个人都对它有心理阴影，而且对基础知识的掌握也不够牢靠，不能多方面的看问题；解答圆锥曲线问题，最关键的是要有明确的思路，必须明白用什么定理、怎么用。充分运用系统的观念，由变量推测不变量之后，利用不变量来证明。[3]只要平时将基础知识掌握牢固并且有针对性的进行练习，考试时仔细分析已知条件和所求问题，慢慢推导，将心态放平和，圆锥曲线拿到满分不是不可能。
四、内心感悟-重质轻量
波利亚认为，解决问题的价值不在于答案本身。他觉得在于 “你如何想到这个解法的？”是什么促使你思考和这样做的呢？”也就是说，问题解决的过程是一个具体的思维过程，是一个对知识和问题进行系列思考、分析和探索的过程。[4]因此，学习数学最重要的是学习思维方法。只有很好地掌握了思维方法，才能做到迎刃而解，举一反三。当学生面对大量的习题时，他们可以有条不紊。自然地将新问题与他们所做的习题进行比较，找出异同，顺畅地分析解决问题的方法，从而解决问题。
参考文献
[1]林燕群.波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道初中九年级几何综合习题为例[J].教育观察,2018,7(18):24-26.
[2]牟世平.基于波利亚理论的高一学生解题能力的培养[D].河北师范大学,2018.
[3]张恒瑀.浅谈高考数学压轴题——圆锥曲线大题解题思路[J].科技经济导刊,2017(34):147.
[4]李寒阳.波利亚解题表在一道立体几何高考题中的应用[J].数学学习与研究,2018(12):132
作者简介：崔玲玲（1996.12-），女，吉林梨树人，民族：满族，学历：教育硕士，专业：学科教学数学。
论文作者:崔玲玲
论文发表刊物:《知识-力量》2019年6月下
论文发表时间:2019/4/4
标签：圆锥曲线论文; 斜率论文; 波利论文; 直线论文; 数学论文; 过程论文; 思路论文; 《知识-力量》2019年6月下论文;