数学解题指导教学策略初探，本文主要内容关键词为：教学策略论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
解决问题是数学的核心思维活动.在教学实践中，教师对解题教学是普遍重视的，但对解题训练的核心价值的短视和缺乏对学生解题学习的有效指导，使数学解题教学滑向了题海战术的深渊.如，希望用大量的题目来覆盖考试试题，用大量训练来达成“熟练”水平；热衷于“多讲多练”、“多快好省”，采用“放映式”、“快节奏”的问题讲解.一节课（特别是复习课）讲7、8道甚至10多道题目的现象层出不穷，造成的后果是学生的学习“蜻蜓点水”，学习负担超重和学习效率低下.学生学习解题时有“两怕”：一怕阅读量大的应用题；二怕没有见过的陌生题.究其原因，首先，是习惯于倾听教师的讲解而缺乏独立思考的能力；其次，是习惯于套题型，缺少具有心理学意义的分析问题、解决问题的过程，缺少解决问题后的反思总结活动.学生出现的这些问题的根源在于教师希望用题型覆盖考试，没有让学生完整地经历解决问题的认知操作过程，贪多求快、浅尝辄止，期望把解题经验告知学生.
数学问题解决的过程包括感知问题、定义问题、确定策略、组织信息、分配资源等认知操作活动及在线监控、评估总结等元认知活动.在解题活动中，主要包括以下5个步骤.
首先，需要感知问题，即从问题情境中分离出问题的起点（条件）和目标（结论）；
其次，要用数学的方法（数、式、图、表、程序等）描述问题的起点和目标，从数学的角度定义问题；
第三，需要对问题的数量关系和空间结构进行分拆、组合和映射等操作，从而进一步感知问题的关键结构，进行问题结构表征的转换，从中发现熟悉的模型结构，确定适当解决问题的策略；
第四，根据问题的结构特点回顾并组织与之相关的知识经验；
第五，明确解决问题的重点，合理分配注意资源，并采用启发法或顿悟法分析解题思路，制定解题计划，实施解题计划（用合乎逻辑的语言符号表达解题过程），在解决问题的过程中和解决问题后，还需要不断评估自己的思考以及解决问题过程中的方法和步骤.
在解题活动中，数学感知、数学表征、数学抽象概括、数学推理计算等认知水平和自我体验、自我评价、自我监控等元认知水平可以得到发展，提出问题、分析问题和解决问题的能力也得到提高.因此，数学解题的核心价值是培养提出问题、分析问题和解决问题的能力；发展数学认知和元认知水平.这些核心教育价值的实现，需要在问题感知、问题表征、问题操纵（转换、分拆、组合、映射）、经验搜索重组、确定策略、制定计划、实施计划（解题过程表达）、评估（在线监控与总结归纳）等认知和元认知活动中才能实现，这些就构成了学生解题实践中的关键认知和元认知活动.要让学生经历这些数学解题的实践活动，就需要选择合理的教学样例；需要让学生积极主动地参与解题实践活动，处理好做与讲之间的关系；需要引导学生及时反思；需要进行适当的解题训练.
教学策略之一：选择和编制合理的教学样例
数学解题指导教学以问题为载体，因此，问题的合理选择和编制，对学生的学习效果有重要的影响.
1.所选择和编制的问题应该具有典型性
所谓典型性，指的是问题承载着适当的数学认知活动，蕴含着重要的数学思想方法，联系着数学核心的知识，而且问题中的数学思想方法是通性通法，而不是小技巧.
例1 含有同类但浓度不同的A、B两瓶果蔬饮料，瓶A饮料重40千克，瓶B饮料重60千克.现从这两瓶饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每瓶饮料所倒出的部分与另一瓶饮料余下的部分混合.如果混合后的两瓶饮料所含的果蔬浓度相同，求每种饮料中倒出的相同的重量.
分析：
在此题中，不知道两种果蔬的浓度，但是因为倒出和倒入的果蔬溶液质量相同，所以原瓶A饮料混合后的溶液总质量仍然是40千克，原瓶B饮料混合后溶液的总质量仍然是60千克.可设A种饮料的浓度为a，B种饮料的浓度为b，各自倒出和倒入的果蔬溶液质量相同为x千克.
由于混合后的浓度相同，由题意，可得
60（40-x）a+60xb=40·（60-x）b+40xa.
2400a-60xa+60xb=2400b-40xb+40xa.
100xb-100xa=2400b-2400a.
100（b-a）x=2400（b-a）.
所以x=24.
例2 如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B的坐标为（6，2
），顶点A、C分别在x轴和y轴上.点P是x轴正半轴上的一个动点，其横坐标为x，点Q是点P关于矩形对角线OB的轴对称点.
（1）①设连接C、Q、P三点的线段所围成的图形的面积为S，求S与x之间的函数解析式，并求S的最大值.
②点P在边OA上运动，当点P在何处时，S有最大值？最大值为多少？
（2）连接C、O、Q三点的线段能否构成一个等腰三角形？若能，求出该等腰三角形中顶点P的坐标，若不能，试说明理由.
【说明】例1虽然蕴含着方程思想，但需要用参数法，这种方法不是初中阶段的核心思想方法，技巧性太强，而且解方程的要求明显超出了《数学课程标准》的要求（只要求解数字系数一元一次方程），因此问题的典型性不强，不适宜作为解题指导课的教学样例.
例2中涉及矩形、等腰（等边）三角形、轴对称、二次函数、方程等核心知识，蕴含着分类讨论思想、数学转化思想、函数思想、数形结合思想等重要数学思想方法，需要进行问题感知、问题表征、问题操纵、经验搜索重组、确定策略、制定计划、实施计划、评估等数学认知和元认知操作才能顺利解决问题，因此，例2具有典型性，作为解题指导教学的样例是妥当的.
2.所选择和编制的问题，应该具有一定的新颖性
所给的问题太熟悉，学生容易直接从记忆中提取解题方法，使问题失去了发展学生提出问题、分析问题、解决问题的能力以及发展数学元认知水平的核心价值.
例3 已知，y是x的一次函数，当x=1时，y=0，当x=0时，y=2，求y与x之间的函数解析式.
例4 A、B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回.如图2是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象.
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）它们行驶了7小时后，两车相遇，求乙车的速度.
【说明】以上两个问题中，例3中虽然承载了待定系数法和方程思想，联系着一次函数的概念和二元一次方程（组）等相关知识，但解题方法是可以直接从记忆中提取的，不需要进行问题的感知、表征、操纵、计划、决策等过程，因此不宜作为解题指导教学中的样例；例4则是适当的，因为例4不仅蕴含着函数方程思想、数形结合思想等数学思想方法，而且需要进行问题的感知、表征、“起点—目标”分析和计划决策.
解题指导教学中的样例应以“结构良好”型问题为主，以“结构不良”问题为辅，以“启发法”策略解决问题为主，以“顿悟”策略解决问题为辅.
例6 比较34567×65432和45678×54321的大小.
分析：例5可以用“目标—手段”分析方法（启发法的一种），目标是比较当边长取不同的值时，对应面积的大小.可以建立函数模型，把不同的y值看作自变量取不同的值所对应的函数值，用函数的增减性比较大小.
要解决例6，则难以发现这样的思路.因为给出的问题是比较具体的积的大小，根据以往经验，首先想到的是直接进行计算，如果不借助计算器，用笔算的方法不胜其烦，而要通过建立函数模型解决问题，就要突破原有的心理定势，首先想到用矩形面积表示两数的积，再从中发现矩形的周长不变（99999），从而建立函数模型解决问题.
【说明】例5是用“启发法”策略解决的问题，而例6对大多数学生来说，需要用“顿悟”策略解决问题.
3.所选择和编制的问题，应该具有广泛的覆盖性
所选择和编制的问题，应该具有广泛的覆盖面.这里所说的覆盖面，不是用题目类型覆盖考试试题（因为这是不可能的），而是用核心知识、核心思想方法和核心认知活动覆盖数学课程标准和《考试说明》中的要求.这不仅是可能的，也是必要的，是全面达成数学课程标准中的学习目标所要求的.分析数学课程标准和《考试说明》可以发现：数、代数式、函数、方程、不等式是数与代数领域的核心知识；基本几何图形的性质、判定，图形的变换（全等（包括平移、轴对称、旋转）、相似、投影）是几何的核心知识；数据的收集、整理、描述和分析、随机事件及概率的意义理解、概率与频率的关系、用树形图和列表法等求古典概率是统计和概率中的核心知识；初中数学的核心思想包括函数方程思想、数形结合思想、图形变换思想、分类讨论思想、特殊化与一般化思想、数学转化思想等.除此之外，还有数学认知活动要求，如感知、表征、抽象概括、推理计算等.当然，广覆盖并不是要求每个样例都面面俱到，而是要求问题中涉及的知识、思想方法不要太单一.在解决问题的过程中，对知识的选择构成了思想方法，而对思想方法的选择构成了策略，解题的计划决策过程意味着选择思想方法和知识的过程，没有选择就没有决策，不断地进行思想方法和知识的选择，可以促进解决问题中的目标转换，形成子目标体系（这是解题中的目标导向行为取得成功的前提）.这种目标体系的形成需要进行目标保持和目标冲突协调管理.
教学策略之二：先做后讲，合理引导
1.先做后讲
数学解题指导教学是在新授课、基础复习课，专题复习课教学的基础上开展的教学活动，学生已经具备了比较系统的知识体系和数学思想方法体系，因此，让学生先做是有基础的.初中数学学业考试试题，大部分是再现性问题，学生可以从记忆中直接提取解题的思路或问题的解，综合性的试题中，大部分也是结构良好型问题，可以用心理学中的“启发法”策略获得解决问题的方法.这样的问题，学生至少可以进行部分独立思考，即使是“结构不良”问题解决中的“顿悟”，也可以在教师的启发下进行有关的“顿悟”加工.让学生先做，可以引导学生主动深入地参与解题过程，使学生的大脑“沉浸”在解决问题的活动中，以自主学习促进学生投入，提高教学效率；让学生先做，教师可以把握学生在解决问题中分析到了何种程度，在何处受阻，受阻的原因是什么，同时，也能让学生经历问题解决的失败过程，学会分析失败的原因，这样可以让学生深刻体会解决问题的挫折与成功，体验“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”的快乐.
学生独立经历问题解决的过程（不管是成功还是失败），至少进行过独立的认知操作，这是非常重要的，经过艰苦努力思考过的问题，会留下深刻的记忆痕迹.在学生先做后，让成功解题的学生讲自己的解题思路和思考过程，教师参与讨论，进行适当的指导.“先做后讲”是能充分尊重学生主体地位和发挥教师引领作用的良好交互启发机制.
2.合理引导
数学问题解决过程中，大脑进行着两个层次的信息加工：首先，是针对问题进行认知操作，以完成解题、获得答案为任务的工作算法的形成；其次，是对工作算法形成程序和方法进行高一抽象层次的概括加工，表现在脑机制上，是大脑自组织活动的自组织机制.
因此，在解题指导教学中，应该从工作算法的形成和组织算法的形成两个层次进行有针对性的指导，也就是解题思路形成过程中的启发性引导和在线监控引导.
（1）解决问题过程中的启发性引导
如上所述，数学解题过程中的关键认知操作是：问题感知、表征、操纵、经验搜索重组、确定策略、制定计划、实施计划、评估.因此，怎样结合具体的解题过程，在适当的时机、针对合适的学生、用适当的方法引导学生感知问题（审题）、表示问题、操纵问题，获得解题策略，进行“启发法”加工和“顿悟”法加工，体验、监控和调节自己的解题过程，是解题指导的核心所在.下面是教师解题指导教学中的一个案例.
例7 （2011年四川·凉山卷）我州出产苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这3种土特产共120吨，参加全国农产品博览会.现有A型、B型、C型3种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满.根据表1、表2的信息，解答问题.
①设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式.
②如果3种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有多少种方案？并写出每种方案.
③为节约运费，应采用②中的哪种方案？并求出最少运费.
教师用学案的形式给出问题，并要求学生在课前尝试解题.因此，在给出问题后，直接让学生展示自己的解题过程.一位学生（优秀学生）完成了部分解题：
①由4x+6y+7（21-x-y）=120，得到y=-3x+27.
②因为y≥4，所以-3x+27≥4.所以x≤6（其实这个范围并不正确）.
在此学生思维受阻，于是教师直接引导学生根据“每种型号的汽车都不少于4辆”列出不等式组：
根据汽车辆数为整数，得到x的可能值为5，6，7，进而通过计算得到其余型号汽车的对应辆数，获得车辆安排的3种方案.
对于第③小题，学生采用直接计算3种方案的运费，再进行比较的方法解决问题；教师则介绍了先确定运费W与x之间的函数关系（一次函数），再运用增减性解决问题的方法.
关注本节课的教学效果，观察学生的课堂表现，发现大多数学生感到迷茫，经过调查，发现学生的困难在于：难以独立地根据问题的条件建立起正确的一次函数模型并确定自变量的取值范围，而教师在教学中恰恰没有让学生自然合理地想到建立函数模型的方法！
那么，如何才能让学生在问题感知、问题表征和结构操纵中发现解题思路呢？
首先，要引导学生阅读问题，由于问题的阅读量大，学生往往容易“读了前面忘后面，读了后面忘前面”，这就需要用一种简约的图示或表格描述问题的整体结构（如下页图3），在阅读过程中采用“划去无关语句”的方法提取关键语句.这就是“读题目，画图表”.
第二步，在图形上标出已知数据和未知数据，把相关的量用含变量的式子表示（如下页图4），这就是“标数据，做表示”.
第三步，根据问题在上面表示中还没有用到的数量关系——总运量120吨，列出关系式4x+6y+7（21-x-y）=120，进一步得到y与x之间的函数关系式y=-3x+27.并根据问题②中的条件“每种型号汽车都不少于4辆”，列出不等式组，确定自变量的取值范围，这就是“找关系，建模型”.
第四步，根据对应关系得到答案，解释其实际意义获得问题的解，这就是“解模型，做解释”.
第五步，在完成解题后，需要进行解题结果的意义解析和评估，解题过程的反思总结.这就是“查过程，做反思”.
问题③的解决可以采用分方案计算的方法，但这不是通法.其通法是建立函数模型，再根据增减性和自变量的取值范围确定最小值方案，需要重复上面的分析和思考过程.
上述操作程序，不仅适用于函数、方程、不等式建模问题；也适合于几何题和综合题.
“结构良好”的问题，常采用“手段—目标分析”方法、从起点到终点的“向前推理”方法、从目标到起点的“向后推理”方法，以及“假设检验”方法作为启发的线索，这种解决“结构良好”类型问题的心理学方法——启发法，应该让学生在实践中加以体验和运用.而对于“结构不良”问题，用启发法获得解决问题的捷径.对于“结构不良”问题，需要用“顿悟”机制获得解决问题的思路.根据顿悟的“三重加工”理论，顿悟机制的基本加工方式是选择性编码加工、选择性对比加工和选择性组合加工.对于“结构不良”问题，通常没有现成的思路可供提取，而且往往需要克服个体的心理定势、产生新的信息才能解决问题.
如在“比较34567×65432和45678×54321的大小”问题中，如果从已有的经验中搜索，最先想到的是通过计算进行比较，发现这种方法很烦琐后，可能还会想到用差法、商法进行比较，当这些方法都尝试后，发现没有什么进展，这些经验都成为“顿悟”的阻力.在这种情况下，引导学生回到题目，对数据特征进行选择性编码，发现两个因数的和都是99999，把问题转化为“比较34567×（99999-34567）和45678×（99999-45678）”的大小，在此基础上，把问题一般化为“如果m是常数，a＜b，比较a（m-a）和b（m-b）的大小”，再把不同的a、b的值看作一个变量的两个取值
，把两个积看作函数y=m（m-x）对应的函数值的大小，问题就转化成二次函数增减性的问题.把积看作因数的函数，这是在具体和抽象关系之间的选择性类比，把其中的一个因数看作是一个固定的数与另一个因数的差，这是选择性组织加工.当然，如果学生理解“周长固定的变化矩形中，越接近正方形，面积越大”，把积与面积进行选择性类比，也能获得解决问题的思路.
由此可见，在数学解题指导教学中，适当地解决一些“结构不良”问题，对学生进行顿悟加工训练，能有效地发展学生的数学认知水平和数学发现能力，这对创造性思维的发展是很有意义的.在顿悟训练中，最重要的是让学生通过自己的选择性信息编码加工、选择性比较加工和选择性组合加工，克服心理定势，在对问题的重新表示中超越问题的表面相似性，获得结构和属性相似性的新认知，从而产生新颖的解决问题的思路，获得顿悟的体验.
解决问题的顿悟加工过程的心理操作程序，同样可以用“读题目，画图表→标数据（条件），做表示→找关系，建模型→解模型，做解释→查过程，做反思”来表示，只不过在顿悟加工过程中，需要反复经历这一过程，每经历一个周期，都是一次自我否定和自我超越.
上述数学问题解决的操作程序分别是与解题的关键认知操作相对应的，具体说明如下.
①“读题目，画图表”对应于问题的感知.数学感知过程中，既有平行加工又有系列加工，需要工作记忆和执行控制加工的参与，通过画图表，把语言叙述转化为图形表格，使问题描述变得更简约、直观，也使原来的语言系列加工变成图形平行加工，提高了问题结构感知的效率，减轻了工作记忆和注意加工的负荷，使问题操纵更方便、更直观.
②“标数据，做表示”与问题操纵相联系，将问题进行数量化和图表化表示，使其数学属性更突出地显现出来，有利于发现问题中的关键结构要素，启发搜索相关的知识经验，获得联系已知和未知的数学模型.如果必要，则进一步操纵问题，用不同的形式表示问题，把问题进行分拆、组合等.
③“找关系，建模型”是与形成策略相联系的，数学问题的解决，往往需要找（建）一个联系已知与未知的模型，进行数学问题的转化.
④“解模型，做解释”就是实施解题计划，并根据问题情境对结果意义进行合理的解释.
⑤“查过程，做反思”指的是对自己的解题过程进行在线监控，并在解题任务完成时，对整个解题过程进行评估，总结经验，吸取教训，丰富解题策略.
上述口语化的解题程序总结，把抽象的心理学术语转化成学生容易理解的口语，更便于学生理解和记忆.
（2）引导在线监控和反思总结
如果说形成和实施解题计划过程的核心价值是巩固知识、发展数学认知水平，那么，反思的核心价值是发展学生解题中的在线监控意识、自我评价和自我调控的能力，这些都与个体的元认知能力相关.通过反思，个体可以审视和评价自己的解题过程，总结解题的方法，通过概括获得新的有价值的策略和经验，并储存于长期记忆中.同时，与具体解题过程相结合的在线监控和解后反思评价训练，能有效地促进学生元认知水平的发展.初中学生与元认知相关的执行控制脑区正处于高速发育时期，而数学元认知的训练恰好与这种发育时期相适应，是促进学生形成理性、自控的大脑的有效训练手段.那么，如何进行在线监控？解后反思反思什么？怎样反思？这是解题指导教学需要解决的核心问题.
在线监控指的是在解题策略形成和实施的过程中，实时对现有的状态进行评估，评估现有状态与目标状态的差距，即评估现有状态与目标状态是越来越近还是越来越远，在此基础上不断地调整解题的方向.
这是一次考试的试题，有很多学生从这个问题中发现了关键的图形结构，联想到了“顶点在等腰直角三角形斜边上的中点的直角，被直角三角形两直角边所截的线段相等”的证明方法：
如图6（1），在等腰Rt△ADC中，E是AC中点，FE⊥GE.连接DE，由△AEF≌△DEG，就可以证得EF=EG.
从而想把这种方法迁移到问题解决中，把三角形全等变成相似.花大量时间去寻找相似的条件，结果都以失败而告终.其原因是没有对现有状态进行在线监控.事实上，在图6（2）中，这两个三角形不一定相似.如果能进行解题过程的在线监控，及时分析方案的可行性，就会发现问题，及时做出调整，重新构建联系CE、AE、EG、EF的模型，通过作三角形两边垂线的方法就可解决问题（如图7）.
解题后的反思是总结解题方法，形成新的解题策略的重要元认知活动.反思的核心问题有：
（1）解题过程和解的合理吗？
（2）解题思路是怎样想到的？先想什么再想什么，并把这一过程用简约的流程图表示，进而总结出初中数学问题解决的一般步骤.
（3）解题过程中用到了什么思想方法和策略，这些思想方法和策略能用到相关的新问题中吗？
（4）问题还有新的不同的解法吗？问题还可能有什么变化吗？
解题后的反思活动应该具有层次性，从解题过程合理性的质疑到整体思路的总结，从一种解法到解法变化，从原型到变式.通过这样有序的解题过程的反思，不断丰富解决问题的方法和策略，形成内隐的观念，并通过适当的训练自觉加以运用，从而提高解题效率，促进分析问题、解决问题能力的发展.
教学策略之三：适当训练
在解题的实践中发展解题能力，是解题学习训练的有效教学策略.所谓适当训练有两层意思：一是需要训练；二是训练要适当.解题训练的目标是让学生经历解题的认知操作和元认知活动过程，在这些活动中提高学生的数学认知和元认知水平，进而发展大脑神经的认知加工功能.从这一价值观出发，就不需要进行大量的训练，只要从核心知识、核心思想方法和主要数学认知活动角度选择（或编制）覆盖面广的数量有限的问题，充分挖掘每一个问题解决过程中的训练价值，让学生完整地经历解题过程和反思过程，形成解陌生问题的操作程序，理解数学解题思路分析中的“启发法”和“顿悟法”，并能运用这些方法寻找解题思路，应该说就已经达成了解题训练的目的.这也尊重了大脑运行“少即是多”的规律.没有必要也不可能用现有大量解题训练覆盖考试试题，不必去进行题海训练这种事倍功半、违反规律的事.