山西省榆次第一中学校 030600
摘 要：针对有些文章中的性质“圆锥曲线过定点（极点）的弦的中点向极线作垂线交点为P，则PA、PB与圆锥曲线相切。反之亦然”的错误进行纠正，分成抛物线和椭圆（或双曲线）两部分分别得到结论，最后又得到一个新的统一的结论：在射影几何中，经过非退化圆锥曲线弦的中点与中心直线，与弦上一点的极线相交于点P，则PA、PB与圆锥曲线相切。反之亦然。
关键词：极点 极线 切线
在《数理化解题研究》（高中数学篇）2013年第3期《极点与极线在圆锥曲线中的应用》一文中关于极点极线的性质3：（2）“圆锥曲线过定点（极点）的弦的中点向极线作垂线交点为P，则PA、PB与圆锥曲线相切。反之亦然。”
《中学生数理化》（学研版）2013年第10期《用圆锥曲线极点与极线的性质解题》一文中也有同样的性质。
我利用几何画板反复验证上述结论，发现该命题不成立。只有圆锥曲线为抛物线而且极点在对称轴上（不是顶点）的时候该性质才能成立。经过研究，我得到如下系列结论：
一、弦中点向极线作垂线——极点在抛物线内的对称轴上
定理1：抛物线过定点Q（在抛物线内对称轴上）的弦AB的中点向极线作垂线交点为P，则PA、PB与抛物线相切。反之亦然。
证明：已知抛物线y2=2px，定点Q（t,0）（t＞0）。设过点Ｑ的直线方程为x=my+t，代入抛物线方程后可得 =pm，即弦AB的中点M的纵坐标为pm。因为点Q的极线l的方程为x=-t，因此从M向极线l作垂线，垂足为点P（-t,mp）。又因为点P的极线方程为pmy=p（x-t），即x=my+t，恰为弦AB所在的直线方程，所以直线PA、PB与抛物线相切，得证。
逆命题可以类似证明，过程略。
二、过弦中点作对称轴的平行线——极点在抛物线内
定理2：抛物线过定点Q（在抛物线内）的弦AB的中点作对称轴的平行线，交Q的极线于点P，则PA、PB为抛物线的切线。反之亦然。
证明：设抛物线y2=2px内有一点Q（t,s），则点Q的极线l的方程为：sy=p（x+t）。
设过点Q的直线方程为x-t=m（y-s），与抛物线方程联立，可解得该直线与抛物线相交所得的弦AB的中点坐标为M（t+pm2-ms,pm），因此，过M平行于（或重合）x轴的直线为y=pm，它与极线sy=p（x+t）相交于点P（sm-t,pm）。
又因为点P的极线方程为pmy=p（x+sm-t），即x-t=m（y-s），恰为弦AB所在直线方程，所以PA、PB为抛物线的切线，得证。
逆命题可类似证明，过程略。
三、弦中点与中心连线——极点在椭圆（或双曲线）内
定理3：椭圆（或双曲线）过定点Q的弦AB的中点与中心的连线，和点Q的极线l相交于点P，则PA、PB为椭圆（双曲线）的切线。反之亦然。
证明：以椭圆为例证明。
逆命题可类似证明，过程略。
四、结论
从射影几何的角度看，抛物线的直径是平行于轴的直线（或轴），因此上述定理1到定理3可以统一为下列结论：在射影几何中，经过圆锥曲线弦的中点的直径，与弦上一定点的极线相交于点P，则PA、PB与圆锥曲线相切。反之亦然。
参考文献
[1]劳建祥 极点与极线在圆锥曲线中的应用[J].数理化解题研究（高中数学篇），2013，（3）。
[2]黄彩红 用圆锥曲线极点与极线的性质解题[J].中学生数理化（学研版），2013，（10）。
[3]梅向明 高等几何（第二版）[M].高等教育出版社，2000年，5月，183-186。
作者简介
薛晋军，男，1965年生，汉族，山西省榆社县人，现就职于山西省榆次第一中学校，中小学高级教师，最高学历本科。主要研究方向：课堂教学，学习心理。
论文作者:薛晋军
论文发表刊物:《素质教育》2019年6月总第309期
论文发表时间:2019/4/19
标签：抛物线论文; 圆锥曲线论文; 中点论文; 极点论文; 方程论文; 对称轴论文; 垂线论文; 《素质教育》2019年6月总第309期论文;