“点差法”在解析几何中的灵活运用，本文主要内容关键词为：解析几何论文,灵活论文,点差法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在历年高考中，经常会出现有关直线与圆锥曲线关系的试题。特别在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题时，我们常用如下解法：设直线与曲线的两个交点的坐标为
后，将其分别代入曲线方程中，两式相减后分解因式，利用
（其中点
为弦AB的中点）整体消元，并加以求解，这就是“点差法”。利用该方法达到“设而不求”的目的，还可以降低解题的运算量，优化解题过程。
一、求曲线方程
例1 过椭圆
内一点P(1，1)作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程。
分析：设直线l与椭圆的交点坐标，利用“点差法”得出直线l的斜率与交点的中点P的关系，求出斜率，从而得到直线l的方程。
评析：“点差法”在求圆锥曲线截直线所得弦的中点的轨迹问题方面应用颇多，其优点为思路简洁清晰，不足之处是难以确定所求得轨迹方程中变量的取值范围。考生在作答此种类型的问题时往往容易忽视确定轨迹方程中变量的取值范围。
评析：解析几何中求一些参数的范围是难点问题，在条件允许的情形下，应用“点差法”将有利于挖掘参数满足的条件，更方便于求参数的取值范围。
评析：解析几何中解决定值和定点问题一般比较困难，并且解题过程复杂，运算量较大。然而，在涉及到弦的中点时若能利用“点差法”，将简化解题过程，降低运算量。
五、求证存在性问题
例6 已知双曲线
，过B(1，1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且B是线段PQ的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
分析：先假设直线l存在，再利用“点差法”求出该直线方程，然后代入双曲线方程，得到一个一元二次方程。若此方程有实数解，则说明直线l存在；否则，说明直线l不存在。
评析：与圆锥曲线有关的相交弦的中点问题应用“点差法”，可能求出看似成立的曲线方程。我们要将求出的曲线方程进行验证。否则，求出的曲线方程可能是不存在的。
“点差法”是我们学习圆锥曲线时必然会接触到的方法。在条件允许的情形下，利用它可以简洁地求解相交弦的中点、对称问题，并且这种方法的解题格式较为固定，学生也比较容易掌握。但需要注意的是，在利用“点差法”解决相交弦的中点、对称问题时，求出的曲线（或点的轨迹）方程一定要加以验证，并且确定其变量的取值范围。