借一道高考题探析高师学生解题能力的提升
王成强
（成都师范学院 数学学院，四川 成都 611130）
[摘 要] 科学合理的习题训练能帮助提升高师院校数学专业学生的解题能力、职业素养与专业本领；针对2019年高考数学全国卷I（文、理）第23题的（i）和（ii）问分别给出的11种和5种解答策略，探讨提升高师数学专业学生的解题能力中存在的一些问题，并就提升学生解题能力提出策略建议。
[关键词] 政府绩效评估；信息熵；信息增益
大学要回归本科教育，本科教育要回归能力培养。高等师范院校（简称“高师”）最核心的办学目的是培养出具有较高的职业素养与较强的专业本领的教师教育类高级专门人才。进入新时期以来，这种需求越来越迫切。一定的解题能力于高师数学专业学生而言既是专业本领，又是职业素养的体现。因此，在数学师范生的培养过程中，高师院校要注重其解题能力的培养。高考题是高中阶段数学练习题的集大成者，它是用以培养高校数学师范生的解题能力的重要素材。
本文旨在以2019年高考数学全国卷I（文、理）第23题为例，探析高师数学专业学生的解题能力的培养：
问题（*）设正数a，b与c满足abc=1。证明：
。
1 问题（＊）的解法探究
1.1 （i）问的11种证法
证法1 作差并稍加整理便得
因abc=1，故
。由此就能判断出
，其中等号成立当且仅当a=b=c且abc=1，或当且仅当a=b=c=1。
注1 证法1的过程可简要描述为“作差+整理+辨号”，是中学阶段证明不等式的适用手段之一。在证法1的过程中，直到最后一步才用到条件abc=1，事实上可以在解答过程初始阶段就利用该条件，它能将原问题转化为证明不等式ab+bc+ca≤a2+b2+c2。
注2 经分析可知：在条件abc=1下，
中等号成立的充要条件都是当（且仅当）a=b=c=1。为简洁计，后文不再赘述等号成立的条件。
证法2 可验证，下述恒等式成立
仿照证法3，结合考虑注1与2，可完成余下步骤。
证法3 由均值不等式，有a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc且c2+a2≥2ca。上述三不等式求和并将其化简可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca。仿照证法1，结合考虑注1与2，可完成余下步骤。
证法4 由Cauchy-Schwarz不等式 [1]，有
。整理可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca。仿照证法3，结合考虑注1与2，可完成余下步骤。
随着信息化教学的发展，越来越多的教师开始尝试多种教学方法，以期获得较好的教学效果。混合式教学是其中比较有代表性的一种，它融合了课堂教学和网络教学的优势，而基于“互联网+课堂”的混合式教学过程更加突出了传统学习方式与在线学习方式的优势，有效弥补了“互联网+教育”的短板，实现学生为主体、教师为主导的教学过程。对于公共选修课来说，课堂人数过多，在课堂中学生被动接受知识，因此如何充分利用线上的“互联网+”资源，线下做好有效讨论和师生互动，尽快适应这种混合式教学模式，提高教学效率是需要探索和解决的关键问题。下面就“互联网+课堂”混合式教学在“食品安全学”公共选修课中的应用进行探讨。
证法5 令H(t)=(a+bt)2+(b+ct)2+(c+at)2。经计算，有
且显然地有H(t)≥0。由一元二次函数理论，
经整理便得a2+b2+c2≥ab+bc+ca。仿照证法3，结合考虑注1与2，可完成余下步骤。
证法6 由线性代数理论[2]可知，矩阵
1号井始建于1995年，水位埋深330 m，出水量40 t/h，因地下煤矿的开采，矿坑污染水源经腐蚀井管破损后泄漏向深层岩溶水中，该深井的泄漏污染，对娘子关泉域地下水危害严重，拟采取分段治理和封层止水，阻断矿坑水污染通道。
雪萤一直有意无意地注意着他。他挤在两个女子中间，车启动后，借着车的自然晃动，故意站不稳似的，朝前面那位年轻漂亮的女子身上靠，那女子回头看了他一眼，便转过身，往前移了移位置。男子的身子又跟着贴过去。两只眼睛直盯着女子的屁股，握着拉手的手指蠢蠢欲动地扭来扭去。
证法7 点O(0,0,0)在平面π：ax+by+cz=0上。则点P(b,c,a)到点O的距离大于等于点P到平面π的距离，于是有
经整理得a2+b2+c2≥ab+bc+ca。仿照证法3，结合考虑注1与2，可完成余下步骤。
阿鱼不让人骑，干活却是憋足力气的。所以，爷爷待阿鱼很好，每天半夜起身给它加草料，隔三岔五用自己做的大毛刷给它梳理毛发。
证法8 令u={a,b,c}，v={b,c,a}。由不等式|u·v|≤|u||v|[1]整理可得
“公民记者”的概念是伴随新媒体时代的到来而被大家熟知的，单从字面上来看，“公民记者”这个词的中心语是“记者”，而“公民”只是一个修饰语。一般地，人们把非专业化新闻传播者或公民新闻的提供者称‘公民记者”。公民记者同我们之前所熟知的专业记者有所不同，它指的是在一个新闻事件的报道和传播过程中，可能发挥着记者在某一方面的作用，但并不是专业的新闻传播者，只是普通社会公众。“公民记者”的背后所体现的是“参与式新闻”的理念，因为他不是专业的记者，而是出于民间，因此也被称为“民间记者”。
仿照证法1，结合考虑注1与2，可完成余下步骤。
证法9 仿照证法8，令u={a,b,c}，v={b,c,a}。由Lagrange[1]恒等式，有
其中u×v={ab-c2,bc-a2,ca-b2}，将u×v代入可得
于是有a2+b2+c2≥ab+bc+ca。仿照证法3，结合考虑注1与2，可完成余下步骤。
随着我国各个领域企业的不断发展，商业经济领域的发展规模也在不断扩大，在各式各样的企业中，财务管理所涉及的管理工作已经不再局限于企业各个阶段的数据分析以及整理反馈，传统的管理模式已经不能使企业发展得到满意的效果。就当今企业而言，企业运作的核心与资金链的把控都与财务管理息息相关，企业的财务部门可以为企业的发展提供资金方案，确保企业的正常运作，从而使企业的发展可以更加稳定，因此，企业的财务管理在决策和管理上是非常重要的，因此，在财务管理上要科学合理的进行管制。在经济快增长的新中国，财务管理在管理模式上要适当加以改进。
证法10 令
+xy)。经计算，有
解方程组Fx=0，Fy=0可得(1,1)或
（仅(1,1)合题意）。因F在点(1,1)处的Hesse矩阵
正定，故因F在点(1,1)处取得最小值。于是，F(a,b)≥F(1,1)或
。因abc=1，故
。
赛努奇收藏的绘画题材主要集中于道教神仙形象，包括麻姑、八仙等，对这类题材的钟爱与赛努奇本人的西方文化背景有关，也与西方社会思想历程中对于中国哲学和道家思想的崇奉有关。加之敦煌藏经洞的文物在法国引起一定的对道释相关问题的关注，19世纪末的汉学家对道家文化、中国历史的深入研究在当时欧洲形成了解道释相关内容的氛围。在这些文化因素的推动下，在中国绘画方面欧洲普遍表现出对道教题材的倾向，比如吉美博物馆也收藏了大量道教题材的中国绘画。
证法11 令
。经计算，有
，
。解方程组Lx=0，Ly=0，Lz=0，Lλ=0可得(-1,-1,1,-3)，(-1,1,-1,-3)，(1,-1,-1,-3)或(1,1,1,-3（)仅(1,1,1,-3)合题意）。最后，仿照证法10，可证
。
(2)初步接触设计工作。安排1位专业技术过硬的专册作为导师，带领参加至少1个项目的可研、初步设计工作，掌握本专业的设计内容及设计重点，同时了解主要站前专业及接口专业的主要设计内容。
1.2 （ii）问的5种证法
证法甲 可验证，以下恒等式成立
注4（ii）问还可借助于消元的思想，利用
，它可转化成证明不等式
半正定。特别地，有detM≥0，或等价地，a2+b2+c2≥ab+bc+ca。仿照证法3，结合考虑注1与2，可完成余下步骤。
证法乙 将(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3展开、整理并对其运用均值不等式，有
证法丙 直接用两次均值不等式，有
证法丁 先运用均值不等式，对新得的式子整理，最后再仿照证法乙，有
水利行业建设管理总体水平是好的，也是较规范的,但同时部分项目在前期与设计、建设管理、计划下达与执行、资金使用与管理、工程质量与安全等方面,还不同程度地存在一些共性和个性问题,需要进一步规范建设与管理行为，进一步加大整改落实力度。二是对发现的问题进行汇总分析，从完善制度、规范管理等方面提出了许多建设性意见，供有关主管部门参考。三是积极帮助被检查单位解决技术和管理难题，促进了基层水利建设与管理水平的提高。四是对提升地方水利建设与管理工作起到了较好的引领、示范和带动作用。
注3（ii）问不等式的上述5种证明过程中，等号成立的充要条件都是a=b=c=1。证法戊是官方参考答案。
证法戊 与证法丙类似，直接用两次均值不等式，有
由此可知，只要正数a，b及c满足abc=1，就有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24。
余下的步骤可仿照证法10完成。此外，（ii）问还可利用Lagrange函数法对其加以证明。利用这些方法处理
（ii）问时过程非常复杂。
2 探析高师数学专业学生解题能力的提升
根据近几年的教学经验，基于上一节中探究问题（*）解法的经验感受，笔者总结出四点关于提升高师数学专业学生的解题能力的认识。
足量的练习是提升解题能力的基础条件。数学解题能力的提升是一个无休止的积累过程，是“模仿+动手做+反思”的过程，在其中试错、发觉规律、产生共鸣，因此亲自参与足量的习题解答训练是必不可少的条件。“思而不学则殆”，在习题训练过程中，一定要广泛阅读并学习别人的解答，感知其中用到的知识、方法与技能，并适时适量地模仿别人的方法解决新的问题。习题训练中要注意由浅入深、由易到难、由简到繁、由特殊到一般的原则，提升解题能力的初始阶段，要从简单题入手，它们有助于发现问题的规律与本质，可从中获得成就感，随着解题能力越来越纯熟，对新的问题就会“迸发”出创新解法，解题能力就得到了提升。
(1)膨润土开发利用水平MEL值同“三率”及权重值有较重要的契合关系，计算时选矿回收率从蒙脱石角度评价，综合利用率从其它共(伴生)矿物角度评价，MEL值中综合利用率权重项高于采矿回采率和选矿回收率权重项。
有选择的练习是提升解题能力的有力保障。有如准备高考数学的过程那样，数学习题训练提升解题能力的过程很容易“掉进”题海战术的“陷阱”，重复做大量的题，遇到同一道题会做，遇到“陌生”的题就不会做，整个过程犹如大海捞针，学习效率极低。此外，题海战术事实上只会让人机械地做题，不会思考，无助于提升解题能力，反而让人失去继续学习的信心与兴趣。习题练习时要选择那些有代表性的典型问题或例题，它们的形式结构往往不复杂，但能反映出一大类复杂的问题考查的知识、方法、技能与易错点；一般而言，高考数学题，因顾及公平公正原则、全国一盘棋的想法等，它们一般具有极佳的代表性与典范性，例如，问题（*）涉及考查均值不等式的应用与科学计算能力，它的解答思路可用来处理一大类高中数学教材、高考试卷中的问题。习题练习时要适量选择那些针对特殊知识、方法与技能的问题，它们的代表性可能不突出，但能帮助加深对某一特定知识、方法与技能的理解与记忆。
反思总结是提升解题能力过程的关键。“学而不思则罔”，只会模仿前人已经总结好的知识与技能开展习题训练，而不对解题过程进行反思、对解题思路进行总结，只会让付出的所有努力都成为一种徒劳。在反思总结过程中，一是要认真对比自己的解题步骤与能找到的参考答案并找出两者之间的出入之处，想清楚两种答案是不是都正确，想清楚究竟是哪种答案有问题（若本身有问题），想清楚导致问题的可能原因；二是要试图揣摩出题人设置问题的意图并争取做到对其能“自圆其说”，感受题目是否与出题意图相符，并想出可能的改善之策；三是要思考问题是不是具有多种解法，亲自动手感受一下各种方法的局限性与优点，要想清楚有没有最初等的方法；四是要想清楚问题的特殊情形、可能的推广与变形。总之，为提升解题能力而开展的习题训练需要边做边思考边总结，要敢于“不走寻常路”，注重一题多解、一题多变、一题多思。
改善职业素养与专业本领是提升解题能力的目的。高师数学专业学生提升解题能力的最主要目的是为了提升教学技能[3-4]，进而帮助其养成更好的职业素养与更高地专业本领，增强就业竞争力。
基于上述四点认识，笔者认为，高师院校可以采取两条策略帮助其学生提升解题能力、职业素养与专业本领。一是要在课程课堂教学中加强引导。一方面，在《数学分析》《高等代数》及《解析几何》这三门课程的授课过程中，授课教师要有意识地引导学生将大学阶段学习的数学与中小学阶段的数学进行衔接，采用一些中小学阶段的经典问题作为课堂练习，让学生在在学习理论的过程中学会实践。另一方面，开设有针对提升解答中小学数学能力的课程，这些课程不仅要传授解题技巧，更有必要从思想方法上讲授如何解题。二是要定期组织开展关于中小学数学解题能力的考试或者竞赛活动，为学生提供检验学习效果的平台，让学生科从中获得反馈与成就感。
3 结束语
经过探究，本文对2019年高考数学全国卷I（文、理）第23题（即问题（*））的（i）和（ii）问分别给出了11种和5种解答策略，基于这些解答过程中的体会与笔者近几年的教学经验，本文继续探讨了提升高师数学专业学生的解题能力的一些问题并得出了四点认识，数学解题能力的提升是以足量的练习为基础，有选择的练习是提升解题能力的有力保障，解题结束后的反思总结是提升解题能力过程的关键，提升解题能力的终极目的是改善职业素养与专业本领，最后，提出了高师院校为帮助学生提升解题能力可行的三点策略建议。
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参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]高志强，庞彦军.线性代数[M].北京：科学出版社，2016.
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[4]蔡文联.“3+X”高考模式下的高师综合理科教育[J].漳州师范学院学报（自然科学版），2002，15（2）：72-75.
An NCEE Problem-based Analysis on Methods to Improve Problem-solving Ability of Students in Normal Universities
Wang Chengqiang
（School of Mathematics,Chengdu Normal University,Chengdu Sichuan 611130）
Abstract: Scientific and reasonable exercises training would help to improve the problems-solving capability,vocational accomplishment and professional capability of mathematics-majored students in Normal Universities.Eleven and five strategies are provided respectively to solve questions (i)and (ii)of Problem 23 of TEST III of NCEE Mathematics in 2019.Four remarks are provided after the investigation of the improvement of problem-solving capability of mathematics-majored students in Normal Universities,and finally,three suggestions on strategies to help students improve their problem-solving abilities are provided.
Keywords: Normal universities;NCEE mathematics problems;Problem-solving ability
[中图分类号] G642.0
[文献标识码] A
doi: 10.3969/j.issn.1674-9340.2019.05.016
[文章编号] 1674-9340（2019）05-064-04
收稿日期： 2019-07-02
基金项目： 国家自然科学基金青年基金项目“几类色散波方程能稳问题的统一处理”（项目编号：11701050）；四川省教育厅项目（项目编号：18ZB0098）；成都师范学院校级培育项目（项目编号：CS18ZD07）；成都师范学院校级教改项目（项目编号：2017JG13）。
作者简介： 王成强（1985－），男，四川武胜人，博士，副教授，研究方向为数学控制论与数学教育。
标签：政府绩效评估论文; 信息熵论文; 信息增益论文; 成都师范学院数学学院论文;