昆明市第一中学西山学校 皮起文
摘要：通过阅读大量的文献，对面积法解中学数学问题有了一定的认识。论文对“面积法解中学数学问题”这一专题进行知识梳理和深入分析，对能用面积法解决的数学问题进行归纳和分类，总结出每一类型的解决方法，并通过相应的例题进行阐述，使这一专题的问题能系统地得到解决。
关键词：面积法；辅助线；数学问题
引言：流经古埃及的尼罗河每年都要泛滥，水退后，需要重新丈量和计算被淹没的土地，这样“算面积”催生了几何学科，几何学从一开始便与面积结下了不解之缘，就连英语单词“Geometry”(几何)，其中“geo”和“metry”也分别是“土地”和“测量”之意。而且面积很早就成为人们认识几何图形性质和证明几何定理的工具。勾股定理，这个被誉为“几何的基石”的重要定理，它的被发现与被证明，不管是在中国还是在古希腊，都与面积有关。
1 利用面积法解代数题
一些代数问题要是只局限于代数范畴不容易解决，通过对“数”的理解正确转化为“形”的范畴所求问题就迎刃而解。
1.1 应用面积法证明代数恒等式
代数恒等式和上述代数不等式一样，也
可以通过构造几何图形，由几何图形的面积
来说明其等式成立。人教版高中数学第三册
“数学归纳法及其应用举例”一节例1用数
学归纳法证明1+3+5+…+(2n-1)=n2完毕后指
出：本例所证明的等式可以用图1来表示[6]。
这实际上就是构造图形用面积来证明代数恒
等式的一种直观证法。上述等式中的1，3，
5等都是特定的值，我们可以把他一般化，
即可得出解决一类代数恒等式的一般方法.
但要求这类等式的左右两边都要是正数或由
几个正数组成的代数式。
1.2 利用面积法解代数应用题
在解数学题时，有些代数问题借助于图形，应用图形的面积来解，可使抽象的问题变得简单，常常使人茅塞顿开。代数问题用面积法解题需满足以下条件：①代数问题中的数是正数②能把代数问题转化为几何问题，并画出相应的几何图形③能求出或者找出画出的几何图形的面积之间的关系。
2 利用面积法解几何问题
2.1 利用面积法证两角相等或两条线段相等
在几何证明题中，证明某两个角相等或两条线段相等是常见的题型，证明的方法很多，证明角相等可以转化为证角平分线上的点到两边得距离相等，证明线段相等可以证明三角形全等。这些方法在证题过程中有时候并不是很简单，我们可以另辟蹊径，根据同（等）底等（同）高得三角形面积相等，把证角或线段相等转化为证面积相等。
2.2 利用面积法证明定值问题
在中学几何证明题中，常常要证明某些定值问题，比如让证明某些线段的和、线段的乘积、线段的比值为一定值。这一类问题常有规律可寻，可以把所证问题转化为证面积问题或用面积作为中间量来证明原问题。在解题过程中只要能抓住三角形等高等底或相似等几何特征，牢固掌握基本性质及由此得出的一些基本形式，熟知一些基本图形，变可以灵活地解决这类几何题了。但必须满足以下两点才能用这种方法：①所证问题与面积有关，问题中的量可以是三角形的高或底，也可以是角。②图形的面积能用说给的量表示出来。
2.3 利用面积法证明线段成比例式或等积式
在使用面积法时，根据面积间确定的数量关系，利用等（或同）高，可以讨论底边之间的数量关系；或者利用等（或同）底，可以讨论高之间的数量关系。但给出的已知量或要求的未知量必须充当三角形的底或高，如果不是三角形的底或高也要通过作辅助线来构造图形使其充当底或高，才能用面积法来解决。如果不是三角形而是其他几何图形，则所给的量必须是求其他几何图形面积的一个元素。总之，所给问题必须与面积有关才能用面积法解题。
2.4 利用面积法求线段的比值问题
在求线段的比值问题时，可以根据三角形的底、高、面积之间的关系，把线段之间的关系转化为面积之间的关系，进而求解。要用面积法解决此类问题，必须熟练掌握以下知识点：①等高（底）的两个三角形的面积比等于底（高）之比；②相似三角形的面积比等于相似比的平方；③两个三角形的面积比等于他们的底与高乘积的比；④一个图形的面积等于各部分面积之和。
3 面积法求概率问题
有些概率问题直接去求会显得无从下手或较难理解，可使用根据实际意义转化为面积大小的解题策略.屠丰庆教授在其发表的文章“也谈面积法解题”中用面积法解决了在一定条件下两人会面的概率问题[12]。用此种方法的重点是①已知的数学问题能建立数学模型②能根据建立的数学模型画出几何图形③能求出相应的几何图形的面积。
总结：“面积法”理论是教学中重要的思想方法之一，是解决数学问题的一个工具，使复杂的数学问题简单化，解决问题方法多样化，不仅培养了学生的数学核心素养，还能体现数学的简单美、应用美，培养学生对数学美的追求，也能寓美育于数学活动之一，让学生在学习活动中欣赏数学的美学价值，陶冶学生的情操，帮助学生树立科学的世界观。而且利于改革墨守成规的教学模式，改变学生的认知规律，开拓知识，提高学生的思维水平。
面积作为平面图形的一个要素，它隐含着边长、夹角等参数，在解题过程中若能善于分析题目的形式和问题的内涵，联想平面图形的面积，并通过重组、割补、转换等手段，应用数形结合的方法，不仅能使解题简洁、明了，而且能很好地培养学生思维的独立性和创造性。
参考文献
[1] 李甚林.用面积法解（证）几何题[J].教学方法，2003，8：35—37.
[2] 康武.平面几何题的面积证法及其发展[J].中学数学研究，2007，12：9—11.
[3] 邹锦丽.利用面积思考问题[J].宁波教育学院学报，2008，8（4）：73—75.
论文作者:皮起文
论文发表刊物:《现代中小学教育》2019第4期
论文发表时间:2019/5/23
标签：面积论文; 角形论文; 代数论文; 线段论文; 几何图形论文; 几何论文; 数学论文; 《现代中小学教育》2019第4期论文;