数学—科学—数学：拉卡托斯哲学思想轨迹，本文主要内容关键词为：数学论文,哲学思想论文,轨迹论文,卡托论文,科学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B561.59 文献标识码：A 文章编号：1000—5455（2000）02—0017—08
拉卡托斯是当代著名数学哲学家和科学哲学家。他的数学哲学的主要观点是：尽管数学与经验科学存在着巨大的差别，但就其理论的真理性质而言，数学理论与经验科学理论一样，也是一种猜测，是易谬的、可证伪的；数学发现不仅是一个心理学的范畴，同时也需要理性分析，即存在着传统意义上的“发现的逻辑”。拉卡托斯的科学哲学研究成就集中地体现在他的“科学研究纲领方法论”理论中，他通过一定量深刻的“案例分析”，“理性地重建”了科学发展的动态过程，提出了科学研究纲领进步和退化的问题转换理论，并对科学理论的结构、科学理论的评价标准等问题作出了较为合理的解释。
对拉卡托斯哲学思想的研究，以前多是从不同的侧面单向展开的，要么是侧重于他的数学哲学，要么是侧重于他的科学哲学。这种状况客观上给了人们这样一种印象，即拉卡托斯的数学哲学思想和他的科学哲学思想是彼此脱节的，两者并无联系和相通之处。这显然是一个错误。本文正是试图通过“重建”这两者之间本来存在的联系，从而寻求拉卡托斯整个哲学研究的思想轨迹。本文的主要观点是：拉卡托斯的“科学研究纲领方法论”是以其数学哲学理论为框架而建立起来的，是其数学哲学思想渗透到其科学哲学研究中的结果；尔后，拉卡托斯又尝试性地要把“科学研究纲领方法论”推广到数学哲学中去，试图建立起“数学研究纲领方法论”。这种“数学－科学－数学”的循环正是拉卡托斯哲学思想发展的轨迹。
一、拟经验的数学观
拉卡托斯的数学哲学思想通常被称为“拟经验的数学观”，它包括相互联系的两个方面的内容：数学的拟经验论和证明分析法的数学方法论。拉卡托斯这一理论的建立，一方面体现了他对当时的科学哲学特别是波普尔证伪主义科学哲学理论的批判性继承，另一方面也为其后来建立自己的科学哲学理论——“科学研究纲领方法论”构筑了理论框架。
1.数学的拟经验论
千百年来，数学一直被认为是可靠性和真理性的典范，是永恒真理的积累。在这一领域，先验论始终占据主导地位。然而，随着数学的发展和新问题的不断出现，这种认识逐渐发生了动摇，先验论出现危机。虽然逻辑主义、直觉主义和形式主义的数学家们就数学基础问题进行了大量的研究，企图为数学建立一个一劳永逸的可靠的基础，但是这三大纲领却相继失败了。在这样的背景下，拉卡托斯提出了其关于数学性质的新见解——数学是拟经验的（quasi－empirical）。
在理性主义被认为只有演绎主义和归纳主义这两种逻辑形式的传统观点的基础上，根据波普尔证伪主义的演绎逻辑理论，拉卡托斯提出了理性主义纲领三分的论断，即理性主义有三个纲领：欧几里德纲领、归纳主义纲领和拟经验纲领。拉卡托斯的欧几里德纲领事实上就是传统意义上的演绎主义，它遵循由普遍到特殊的推理模式；而其归纳主义纲领遵循由特殊到普遍的推理形式，属于传统的归纳主义；拟经验纲领是拉卡托斯的一个新的纲领，它遵循由“特殊”到“一般”的假值流动的推理模式，是拉卡托斯理论的关键所在。在拉卡托斯看来，无论是欧几里德纲领、归纳主义纲领还是拟经验主义纲领都提出用演绎系统把知识组织起来，但它们的组织方式是不同的。欧几里德纲领演绎系统的特点是顶部由公理组成，真值从顶部注入，通过真值传递（证明）的演绎渠道向下流满整个系统；归纳主义纲领演绎系统的特点是底部由经验事实组成，真值从底部注入，通过逻辑原则向上流满整个系统；拟经验主义纲领演绎系统底部的基本陈述也是由以经验为依据的一些词组成，但从底部注入的是假值，这种假值通过逻辑渠道向上流满整个系统。三种纲领的直观表示分别是：
拉卡托斯特别强调了欧几里德系统与拟经验系统的区别。他说：“一个演绎系统是欧几里德式系统还是拟经验系统，这个问题是由该系统的真值流向的模式来决定的。如果特有的流向是真值从公理集向下传递到系统的其余部分——这里的逻辑是一种证明的推理法，那么这个系统就是欧几里德式的；如果特有的流向是假值从假的基本语句向上重新传递到‘前提’——这里的逻辑是一种批判的推理法，那么这个系统就是拟经验的。”（注：拉卡托斯：《数学、科学和认识论》，商务印书馆1993年版，第39—40页。）
作为对波普尔证伪主义思想的继承，拉卡托斯认为，演绎系统具有两个最根本特征；真值从上而下的流动，谬误从下而上的传递，“不可能存在意义和真值的部分向上转移”，（注：拉卡托斯：《数学、科学和认识论》，商务印书馆1993年版，第11页。）即只有前提真才能在逻辑上保证结论真；如果结论谬误则可逻辑地说明前提谬误。反之，其他任何流动都是违反逻辑法则的。拉卡托斯是通过其演绎理论和无穷回归理论来对归纳主义纲领和欧几里德纲领进行批判从而确立他的拟经验理论的。首先，归纳主义纲领不符合演绎系统的基本特征，从而是不可能实现的；欧几里德纲领虽然符合演绎系统的基本特征，但是其追求顶部公理的真理性却导致了不能自拔的无穷回归。其实，即便是归纳主义纲领也不能避免无穷回归。
欧几里德纲领和归纳主义纲领都避免不了无穷回归，而拉卡托斯认为其拟经验主义纲领却可以避免这一问题。拟经验主义纲领的突出特点是其注入的真假值是假值，且由下到上的真值传递是说明性质而非证明性质的。这样，一个理论就要么是猜测性的，要么是假的。从而，拟经验主义纲领就克服了欧几里德纲领和归纳主义纲领的弊端。它不是追求停止无穷回归，寻求确定的基础，而是提倡一种批判精神，建立理论的证伪。可见，拉卡托斯的这一思想实质上是继承了波普尔的具有批判性的易谬论思想，对于制止证明和定义的无穷回归不抱任何幻想，并且接受怀疑论者对任何确实可靠的真值注入的批判。拉卡托斯认为，不管是在这些理论的顶部还是底部都不可能存在知识的基础，而无论在什么地方，都只能存在试验性的真值注入和意义注入。他进而指出，“经验理论要么是假的，要么就是猜测性的。”“我们从来就不知道，而只是推测。但是，我们能把推测变成可批判的推测，并且批判和改进这种推测。”（注：拉卡托斯：《数学、科学和认识论》，商务印书馆1993年版，第11页。）而且改进的方法也是“我推测”。在拉卡托斯看来，“推测的无穷回归是不会有什么错误的”。（注：拉卡托斯：《数学、科学和认识论》，商务印书馆1993年版，第11页。）他的结论是：（1 ）数学定义和证明中的无穷回归不可能依靠逻辑的理论来解决，因为“数学的逻辑理论与任何科学理论一样，是一种振奋人心的、高深微妙的思辨，它是一种经验论者的理论，因此，只要没有表明它是假的，它就永远是推测性”。（注：张绥：《数学与哲学》，学林出版社1988 年版， 第267页。）（2）由于“元数学”没有解决怀疑主义提出的无穷回归问题，因此，希尔伯特的“元数学”理论也只是一种大胆的猜测。（3 ）数学基础研究上的这些“不成功例子”说明所有企图证实数学理论真理性的努力都注定不可能实现，其根本原因在于人们不了解数学理论的可证伪性，不了解数学理论是一种拟经验的理论，而拟经验理论的主要特点就在于它的猜测性和可证伪性。或者说，就真理性质而言，数学也像其他经验科学一样是一种猜测。用拉卡托斯自己的话说：“基础研究出人意料地导致了数学的欧几里德式重建在整体上不可能的结论，从而，至少就最有意义的数学理论而言，它们与科学理论一样是拟经验的。”（注：转引自郑毓信著：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第91页。）
2.证明分析法的数学方法论
拉卡托斯在数学方法论上的研究成果——启发性的证明分析法（亦称助探法heuristic）；表明，数学发现不仅是一个心理学的范畴， 同时也需要理性分析，即存在着传统意义上的“发现的逻辑”。这不仅标志着拉卡托斯拟经验数学观的进一步发展和深化，而且从后面的分析中我们还会看到，也正是这种理性的启发性思想导致了拉卡托斯“科学研究纲领方法论”的科学哲学理论的产生。
尽管波普尔将其有关理论冠以“科学发现的逻辑”，但他并不承认科学存在有发现的逻辑。在他看来，科学哲学只讨论“检验的逻辑”，科学发现的全部过程都不属于哲学家的研究范围，而应属于心理学家的研究范围。正如他自己所说：“设想或创立一个理论，我认为，既不要求逻辑的分析，也不接受逻辑的分析”。（注：波普尔著，查汝强、丘仁宗译：《科学发现的逻辑》，科学出版社1986年版，第5页。 ）与此相反，拉卡托斯确信在数学中存在有一个真正的、在为逻辑实证主义及波普尔所否定的传统意义上的方法论，即存在有这样一种实现数学进步的方法，对此可以在事先明确地予以表达，并且是可以实际地予以教学的。
应该说，拉卡托斯与波普尔的差异根源于他们对各自证伪逻辑的不同认知。波普尔的证伪逻辑可以这样表述：（注：参见竹尾治一郎：《科学哲学》，上海译文出版社1994年版，第131页。 ）在假定作为前提的背景知识g的基础上，由某一假说h和初始条件i推导出某一个别预测p。如果观察和实验的结果判定它为假，由于h内含p，
拉卡托斯的“证明分析法”就是以此为基础而提出的。
拉卡托斯的证明分析法是一种有助于作出新发现的“启发性方法”，因此也常被称为“助探法”。它的核心是借助反例对已给出的“证明”进行分析，并使隐蔽的前提明朗化，从而对原先的猜想进行改进，以期最终获得“可靠”的定理。
拉卡托斯的这一方法是通过对欧拉多面体公式V－E+F＝2（V ——顶点数，E——棱数，F——面数）的证明这段历史的所谓“理性重建”而得到表述的。在这一方法中，原始猜想是证明分析的出发点，同时也是证明分析检验和改进的对象；已给出的证明是证明分析的材料，它属于不严格的思想实验论证；反例的出现则为这种证明分析提供了必要的催化剂；最后，问题的关键是如何对待反例。拉卡托斯认为，在面对“全局性反例”的情况下，我们既不应采取“投降的方法”，即轻易地舍弃原先的猜想，也不应采取“例外除外法”，即对原有猜想加以过度的限制，通过全面撤退来消除反例。正确的方法应该是通过对“证明”的分析，找出其中的症结所在，确定应对反例的出现负责的隐蔽的引理，通过并入必要的前提而改进原来的猜想。不断重复这一过程，以期最终获得最后的定理。
证明分析法的实质就是对猜想的证明与反驳。这一方法除了对数学发现本身的意义之外，它的主要目的就是要试图说明：“非形式、准经验数学的生长，靠的不是单调增加千真万确的定理的数目，靠的是运用玄想和批判、用证明和反驳的逻辑不停地改进推测。”（注：拉卡托斯：《证明与反驳》，上海译文出版社1987年版，第5页。 ）即数学理论在微观上的增长模式为：原始猜想（定理及引理）——证明与反驳——改进了的猜想（定理及引理）——……。从而，“数学理论并非永恒真理的积累，它也像经验科学理论一样是一种猜测”这一拟经验的数学观也就成为这一方法论研究的自然结论。因此，拉卡托斯关于数学方法论的研究与关于数学性质的研究也是统一的。
二、科学研究纲领方法论
由于拉卡托斯已经认可了数学与一般的经验科学具有某种程度上的同一性，因此，在他把波普尔科学哲学的主要思想批判地推广到数学哲学中去并建立起自己的数学哲学理论之后，再把自己的数学哲学思想带到他的科学哲学的研究中去就是很自然的了。他用自己数学哲学的概念框架构建了他的著名的“科学研究纲领”。
1.精致的证伪主义
拉卡托斯的数学哲学思想向其科学哲学理论的渗透首先体现在其所谓“精致的证伪主义”之中，拉卡托斯的精致证伪主义与波普尔的朴素证伪主义（拉卡托斯之称谓）的差异源于其两种不同的理论发展模式。波普尔的模式是：（问题和）猜想——反驳——（新的问题和）新的猜想——……；而拉卡托斯的模式是：原始猜想（定理及引理）——证明与反驳——改进了猜想（定理及引理）——……。在第一个模式中，原来的“猜想”与“新的猜想”并无必然联系，而在第二个模式中前后两个猜想却是通过“证明与反驳”紧密地联系在一起的。在拉卡托斯看来，正是由于这种差异导致波普尔证伪主义存在两大问题：第一，坚持“证伪即摒弃”，这样就会把一些卓越的理论排除在科学之外，或作为“除错”淘汰；第二，没能合理解决科学理论的评价问题。在波普尔那里，由于新的猜想不是原来猜想的改进，因此就不可能根据“发现的逻辑”对未来理论作出预见和评价。
拉卡托斯认为，首先，“理论并不能……很快被经验证伪，经验的破坏性反驳并不能淘汰一个理论。”（注：拉卡托斯：《科学研究纲领方法论》，商务印书馆1992年版，第92页。）“科学理论不仅不能被经验所证实；同样也不能被经验所证伪。”（注：拉卡托斯：《科学研究纲领方法论》，商务印书馆1992年版，第19页。）即理论不应是“一证即伪”的。其次，任何科学理论都必须与它的辅助假说、初始条件等一起来评价，尤其是与它的前驱理论一起来评价。评价的不应是一个孤立的理论，而应是一个理论系列。在这个理论系列中，如果一个理论T[,1]受到了事实的反驳，那么可以用改进的方式来调整T[,1] 的理论背景或初始条件以消除反常，从而产生一个新理论T[,2]。T[,2]不仅涵盖了T[,1]的内容，而且说明了T[,1]所不能说明的事实。进而如果T[,2] 又受到反驳，那么再通过调整T[,2]的背景知识从而提出更新的理论T[,3]，T[,3]的经验内容又多于T[,2]的经验内容……这样，在一个理论系列T[,1]，T[,2]，T[,3]……中， 每一个后继理论都因在以前的理论上增加辅助假说而产生，以适合某种反常。如果每一个新的理论都具有比它的前驱者超量的经验内容，即如果它预见某种新颖的、迄今未预料的事实，那么这个理论系列在理论上是进步的，或构成理论上进步的问题转换。如果它的某些经验内容又得到确认，即如果每一个新理论引导我们实际发现新事实，那么这个理论上进步的理论系列在经验上也是进步的，或构成经验上进步的问题转换。我们承认某种问题转换是“科学的”，仅当它们至少在理论上是进步的；如果不是这样，我们就把它作为“伪科学”予以摒弃。在理论系列中，仅当一个理论被另一个具有更高确认度的理论代替时，这个理论才被证伪。经过对波普尔朴素证伪主义改造后的这些认识，构成了拉卡托斯所谓的“精致的证伪主义”。
联系前面对拉卡托斯数学哲学研究的分析我们可以看到，拉卡托斯的这一精致的证伪主义思想实际上就是其数学哲学思想中所谓“发现的逻辑”理论在科学哲学中推广后的直接结论。在拉卡托斯的“数学发现逻辑”即证明分析法中，反例可以通过调整隐蔽的引理而得到说明，基本猜想并不仅凭个别反例就遭淘汰，基本引理加上调整后的引理构成新的猜想，新的猜想经过更新的反例更新为更新的猜想……新旧猜想不是彼此孤立的，它们通过证明分析联系起来。可见，拉卡托斯关于一般科学的证伪理论正是其“数学发现逻辑”在科学哲学中的直接翻版。
2.科学研究纲领方法论
科学研究纲领方法论是拉卡托斯科学哲学的中心思想和最高成就，是他的精致证伪主义的进一步发展。拉卡托斯以其精致证伪主义思想为主线，以他在数学哲学中的证明分析法的数学方法所提供的框架为轮廓，建构了一个具有内在联系和层次结构的科学理论系统，以期对科学理论的进步作出说明。这就是他的“科学研究纲领方法论”。
由于拉卡托斯认为只有以理论系列代替单一的理论才能符合实际地说明科学的发展，因此理论系列才是科学的最基本单元，才是区分科学与非科学、评价科学进步的基本单位，拉卡托斯的科学研究纲领实际上就是这种作为科学基本单元的理论系列。如哥白尼理论、牛顿理论、爱因斯坦理论等等。它跟库恩的“范式”一样，都是一种极广泛的理论模型。我们完全可以用“理论”这一术语来理解“研究纲领”，只是在这里，“理论”是个极大的有内在结构的理论体系。该研究纲领是由以下三个相互联系的部分组成：（1 ）由最基本的理论构成的相对稳定的“硬核”；（2 ）由许多辅助假说构成的具有很强柔韧性的“保护带”；（3）保卫硬核的反面启发法以及改善和发展理论的正面启发法。
硬核是科学理论系统的核心和表征。“所有科学研究纲领都可用其‘硬核’来刻划其特征。”（注：拉卡托斯、马斯格雷夫：《批判与知识的增长》，华夏出版社1987年版，第172页。 ）硬核表现为某种非常一般的、构成研究纲领发展基础的理论学说，是坚韧的、不可反驳的和不许改变的。它由约定认可，被辅助性假说和初始条件等构成的保护带加以保护。如果它遭到反驳，整个研究纲领的大厦就要发生动摇；如果它被否定，整个研究纲领也就彻底被否定。但这并不意味硬核是永恒的，硬核在研究纲领不再能预见新颖事实的情况下是可以放弃的。从拉卡托斯所举的例子中，我们可看出，硬核就是最基本的理论公设或公理。如果理论T[,1]，T[,2]……T[,n]是同一个研究纲领的成员， 如果它们都公有某些基本理论公设，那么，这些公设就构成了该纲领的硬核。所以说，硬核是该纲领的基本理论和根本主张，它构成了纲领发展的基础，表现了纲领的本质。
拉卡托斯的“硬核”的原型来自于他的证明分析方法论中的“基本猜想”。因为在证明分析方法论中，基本猜想是不被轻易改变的，反例的指责常常首先被引向辅助的假说——引理，它实际上就是这种数学理论中的“硬核”。
保护带是构成理论结构其他部分的那些假定所形成的复杂综合体。它包括那些补充硬核的辅助假说和初始条件，即相当于拉卡托斯证明分析方法论中的引理部分。保护带的功能是保护硬核不受反驳，不使硬核遭到经验事实的证伪。这是通过把经验反驳的矛头主动地引向自身，不是让理论的硬核，而是让构成这个保护带的辅助性假说来承担错误的责任，并通过修改、调整这些辅助性假说来达到这一目的。正是由于这些辅助性假说所构成的保护带不得不首当其冲地遭受到经验的检验，而不断调整和再调整，甚至完全更换，硬核才得到保护而成为硬核。
启发法是在拉卡托斯研究中最重要的思想。拉卡托斯在许多地方是把启发法和发现的逻辑相提并论的。这主要是因为拉卡托斯研究纲领的结构直接来源于他的“数学发现的逻辑”。拉卡托斯的启发法是属于其研究纲领中的方法论层次，这是由反面启发法和正面启发法组成的。硬核和保护带之所以能构成一个严谨的研究纲领，关键在于纲领有着这两类启发法。
反面启发法就是禁止把经验反驳的矛头指向硬核的方法论规则。它规定研究纲领的硬核，禁止科学家把经验反对矛头指向硬核，而要科学家们千方百计、竭尽全力把它们从硬核指向保护带，并以调整、改善甚至更换保护带的办法保护硬核，使它免受经验的证伪，可以看出，拉卡托斯这里的反面启发法是和他的数学发现逻辑中的谬误反传递原则相对应的。
正面启发法是一种积极的鼓励性规定，它由部分明确的建议和暗示所组成，提倡并鼓励科学家们通过增加、精简、修改或完善辅助性假设等办法来发展整个科学研究纲领。因而，如果说反面启发法的任务是消极的免使硬核受经验的攻击，那么正面启发法的任务就在于积极地发展科学研究纲领。此外，正面启发法还有助于决定科学家对所研究问题的选择。科学家在提出第一个理论或模型时，它已经预计到会有哪些问题以及如何解决这些问题。可以发现，正面启发法在拉卡托斯数学哲学中的原型就是所谓的“前提并入法”。
启发法在纲领的发展中起着极为重要的作用。因为只有启发法才能预见新事实，使纲领保持理论上和经验上的进步，而理论上和经验上的进步是拉卡托斯判断一个纲领是否科学的两条标准。这样，拉卡托斯实际上又把启发法的因素引进了理论评价的过程中，这是研究纲领方法在精致证伪主义基础上的一个发展。拉卡托斯认为，甚至在研究纲领被淘汰以后，我们也可以根据它们的启发力来评价研究纲领：它们产生了多少新的事实？在它们成长的过程中，它们解释反驳的能力如何？由此就可以对相互竞争的研究纲领的优劣作出评价。
由以上的分析可以看出，拉卡托斯科学研究纲领模式的框架直接来源于他的证明分析法所揭示的“数学发现逻辑”的模式；但较后者而言，科学研究纲领又有了较大的发展。拉卡托斯数学发现逻辑中的模式只是在微观层次上分析了具体数学理论即定理的发现过程，对于作为理论体系的“数学知识的增长”问题并没作出结论。而科学研究纲领模式却从宏观上考察了一般科学理论的增长问题，提出了科学进步的理论。这正是其数学哲学思想中所欠缺的。正是由于存在这种欠缺，拉卡托斯才意欲以他建立在其数学哲学基础上的科学研究纲领方法论为模板，“重建”其数学哲学，即建立“数学研究纲领方法论”，从而系统地完善他的理论。
三、数学研究纲领方法论
“数学研究纲领方法论”应该说是拉卡托斯生前尚未实现的梦想。正当拉卡托斯雄心勃勃地打算把他在科学哲学中的新观点应用到他的拟经验的数学哲学中去从而建立起“数学研究纲领方法论”之时，他却不幸英年早逝（1922—1974，52岁）。所幸的是，拉卡托斯在留下他未了的心愿及一堆未及发表的材料的同时，“也留下了（这是他最能引以为自豪的成就）一个在伦敦经济学院和其他地方由一些年轻学者正在实行的兴旺的研究纲领，他们正在从事于发展和批判他的激励人心的思想，并应用这些思想于新的领域。”（注：复旦大学哲学系编：《现代西方科学哲学文集》，第435—436页。）从某种意义上说，这些工作可以看作是拉卡托斯数学哲学研究的一部分。
虽然拉卡托斯的“科学研究纲领方法论”是以其数学哲学理论为框架而建立的，但它毕竟是对自然科学所作的结论。如它在判断一个研究纲领是否为进步的纲领的时候，关键就是看新纲领是否比旧纲领能够更多地预见经验事实。那么在数学中，什么是数学的经验事实呢？因此，要想把在自然科学的前提下建立起来的“科学研究纲领方法论”推广应用到数学中去，首先需要解决的问题就是：数学是否也与自然科学一样具有完全的经验性质？或者退一步讲，数学是否存在着与自然科学中“经验事实”相对应的同源物？拉卡托斯虽然对数学经验论持同情态度，但是他在这一方向上并没有走得如此之远以致采取彻底的经验论立场。他的观点为：数学是拟经验的。其意即指，对于像公理集合论那样高层次的数学理论，可以通过检查它们在如数论那样低层次的数学理论中的结论加以检验，这一过程与通过观察对一般的自然科学理论进行检验是相类似的。两者的区别在于：对于数学，另一类基本命题取代了观察命题。可见，建立“数学研究纲领方法论”所面对的首要困难又一次涉及到数学的性质这一本体论问题。这就是为什么在拉卡托斯之后关于数学性质的研究仍一度成为数学哲学热点问题的原因之一。在这些研究中，比较突出的观点有米歇尔·哈利特（Micael Hallett）非经验的数学观，D.吉利斯（D·Gillies）彻底经验论的数学观，徐利治先生和郑毓信先生的模式论的数学观以及林夏水先生的“二重性”论的数学哲学观点。
在建立“数学研究纲领方法论”的尝试中，较为突出的有M ·哈利特的“一个进行中的数学研究纲领”（注：Michae Hallet: Towardsa Theory of Mathematical Research Programmes (I), in BritainJournal of Philosophy of Scicece,30(1979).），P ·马奇（PeggyMarchi）的“定理事实论”纲领（注：Peggy Marchi: Mathematicsas a Critical Enterprise.），C·豪森（C.Howson）的“非经验科学的方法论”（注：C.Howson：《非经验科学的方法论》，参见郑毓信著：《数学哲学新论》，江苏教育出版社1990年版，第221页。），T·凯特西尔（Tewn Koetsier ）的“数学研究传统方法论”（注：TewnKoetsier:Lakatos' Philosophy of Mathematics, A HistoricalApproach,North－Holland,Elseries Saence Publishers,1991.）等等。
总之，围绕着“科学研究纲领方法论”在数学中的推广应用问题，继拉卡托斯之后的数学哲学研究中出现了不少的“规划”和“纲领”。它们分别从不同途径和依不同的方法，对拉卡托斯的哲学思想进行了不同程度的批判、发展和完善。尽管这些观点的正确性还有待于对此问题的进一步研究及数学实践的不断检验，但它却从另一个侧面反映了拉卡托斯的研究成果及其所开创的研究方向对现代数学哲学研究的重大影响。
收稿日期：1999—03—20
标签：波普尔论文; 数学论文; 哲学研究论文; 科学论文; 数学猜想论文; 科学哲学论文; 拉卡论文; 归纳演绎论文; 证伪主义论文;